Надежность и помехоустойчивость замкнутых систем

1. Для схемы по варианту задания написать передаточные функции по команде и помехам. На основании принципа суперпозиции написать выражение для реакции системы на команду и помеху.

Уравнение системы — это зависимость выходной (регулируемой) величины или ошибки (рассогласования) от команды и возмущающих воздействий.

В теории управления, как правило, применяется структурный метод, основу которого составляют правила преобразования структурных схем.

Основы структурного метода.

Различают три основных способа включения (соединения) звеньев: последовательно, параллельно и антипараллельно (обратная связь).

1. Последовательное (каскадное) включение (соединение) звеньев (рис. 2.7.1а).

В случае любой схемы задача заключается в определении результирующей передаточной функции W, т. е. в замене схемы одним звеном (рис. 2.7.2).

Метод решения заключается в том, что изображение выхода выражается через изображение входа. При этом используется определение передаточной функции.

Так для схемы рис. 2.7.1а имеем.

.

Отсюда результирующая передаточная функция, как отношение изображения выхода к изображению входа равна.

. (2.7.1).

Следовательно, при последовательном соединении передаточные функции перемножаются.

2. Параллельное включение звеньев (рис. 2.7.1б).

В этом случае имеем.

.

откуда.

(2.7.2).

т.е. при параллельном включении передаточные функции складываются.

3. Антипараллельное включение (обратная связь).

Обратная связь бывает двух видов (рис. 2.7.1в) — положительная (верхний знак «+») и отрицательная (нижний знак «-»).

Используя определение передаточной функции, последовательно находим. Теперь разделим переменные. Обратим внимание на то, что при переносе члена из правой части в левую часть равенства знаки меняются местами, так, что верхний знак «-» будет соответствовать положительной обратной связи, а нижний знак «+» — отрицательной: .

Отсюда следует результирующая передаточная функция.

. (2.7.3).

Согласно этой передаточной функции справедливо следующее правило. Если мы входим в замкнутый контур, то результирующая передаточная функция будет дробью, в числителе которой стоит передаточная функция прямой цепи передачи сигнала от входа к выходу (прямо по стрелкам). Знаменатель формируется как единица «-» в случае положительной обратной связи или «+» в случае отрицательной, и далее произведение передаточных функций по замкнутому контуру от входа после сумматора до выхода из него перед сумматором.

Пример. Записать изображение реакции для схемы, изображенной на рис. 2.7.3.

Так как система линейная и справедлив принцип суперпозиции (наложения), то найдем изображение реакции как сумму изображений реакций на отдельные сигналы Придерживаясь сформулированного правила, получим.

Пример. По структурной схеме системы стабилизации оборотов двигателя рис. 1.2.4, считая М_н = 0, составить уравнение для рассогласования (ошибки).

В системе неединичная отрицательная обратная связь, но между сигналом обратной связи и регулируемой величиной пропорциональная связь (). Эти переменные отличаются масштабом. Характер переходных процессов одинаков и по любой из них мы найдем одно и тоже время регулирования и динамическую ошибку. Поэтому заменим физическую регулируемую величину на, по отношению к которой система замкнута единичной отрицательной обратной связью. В этом случае рассогласование является ошибкой, а передаточная функция разомкнутой системы равна.

.

Теперь по правилу антипараллельного соединения имеем передаточную функцию замкнутой системы для ошибки и для выходной величины.

.

Структурная схема системы По правилу антипараллельного соединения получим:

выражение для реакции системы на команду и помеху, где.

— передаточная функция по команде.

— передаточная функция по помехе.

— передаточная функция по помехе.

выражение для реакции системы на команду и помеху, где.

— передаточная функция по команде.

— передаточная функция по помехе.

— передаточная функция по помехе.

выражение для реакции системы на команду и помеху, где.

— передаточная функция по команде.

— передаточная функция по помехе.

— передаточная функция по помехе.

выражение для реакции системы на команду и помеху, где.

— передаточная функция по команде.

— передаточная функция по помехе.

— передаточная функция по помехе.

4. По заданным корням характеристического уравнения записать общее решение однородного дифференциального уравнения, определить , указать расположение корней на плоскости и по их расположению отметить характер переходного процесса (монотонный, немонотонный). Определить устойчивость системы.

,.

Общее решение дифференциального уравнения находим по формуле.

.

где — постоянные интегрирования, — корни характеристического уравнения — алгебраического уравнения, которое характеризует общее решение дифференциального уравнения.

определим по формуле:

В понятие устойчивости системы входит только факт наличия или отсутствия затухания переходного процесса. Устойчивость линейной системы определяется только характеристическим уравнением и его корнями.

Корни характеристического уравнения:

1. Вещественный корень.

а).

б).

Кривая переходного процесса по экспоненте монотонно возрастает (убывает). Характер переходного процесса монотонный.

2. Комплексные корни. Попарно сопряженные корни.

.

.

где — постоянные интегрирования; - круговая частота колебаний; - показатель затухания — определяет затухание огибающей к кривой переходного процесса.

а).

Колебания переходного процесса затухающие.

б).

Колебания переходного процесса расходящиеся.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный).

3. Чисто мнимые корни (корни с нулевой вещественной частью).

.

Колебания переходного процесса с постоянной амплитудой.

Характер переходного процесса немонотонный (колебательный) Система будет называться устойчивой, если с течением времени при переходная составляющая будет стремиться к нулю:

Для затухания переходного процесса необходимо, чтобы вещественные части корней были отрицательными.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели строго отрицательные вещественные части, т. е. Rep_i < 0, i = 1…n.

Для наглядности корни характеристического уравнения принято изображать на комплексной плоскости рис. 2.9.1а. При выполнении необходимого и достаточного условия все корни лежат слева от мнимой оси, т. е. в области устойчивости.

Поэтому условие (2.9.2) можно сформулировать следующим образом.

Для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения располагались в левой полуплоскости.

Система будет находиться на границе устойчивости при наличии:

1. Нулевого корня.

Система будет устойчивой не относительно регулируемой величины, а относительно её скорости изменения. Такую систему называют нейтрально устойчивой, имея в виду её безразличие к значению самой регулируемой величины.

2. Пары чисто мнимых корней.

Граница устойчивости второго типа называется колебательной границей устойчивости. Система будет иметь незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой.

Пример:

,.

Общее решение дифференциального уравнения.

Характер переходного процесса немонотонный.

Корни характеристического уравнения находятся в левой полуплоскости. Система устойчива.

5. Для схемы по варианту задания составить передаточную функцию системы, разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи, передаточную функцию замкнутой системы, характеристические уравнения разомкнутой и замкнутой систем.

— передаточная функция системы разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи.

— характеристическое уравнение разомкнутой системы.

передаточная функция замкнутой системы.

— характеристическое уравнение замкнутой системы.

— передаточная функция системы разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи.

— характеристическое уравнение разомкнутой системы.

передаточная функция замкнутой системы.

— характеристическое уравнение замкнутой системы.

— передаточная функция системы разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи.

— характеристическое уравнение разомкнутой системы.

Для определения передаточной функции замкнутой системы воспользуемся правилами преобразования структурных схем.

где ,.

— передаточная функция замкнутой системы.

— характеристическое уравнение замкнутой системы.

6. Определить величину ошибки установившегося режима от задающего воздействия с помощью коэффициентов ошибок.

Коэффициенты ошибок.

Метод может применяться как для управляющего, так и для возмущающих воздействий. В конкретном случае необходимо использовать передаточную функцию по соответствующему воздействию. Поэтому ограничимся только случаем управляющего воздействия.

Если функция времени имеет произвольную форму, но достаточно плавную, так что вдали от начальной точки существенное значение имеет только конечное число производных; ;…;, то ошибку системы можно определить следующим образом. Пусть.

. (2.8.3).

Разложим передаточную функцию по ошибке в ряд Тейлора (по возрастающим степеням комплексной величины) в окрестности. Тогда.

. (2.8.4).

Степенной ряд сходится при малых значениях, т. е. при достаточно больших значениях времени, что согласно теореме о конечном значении оригинала соответствует установившемуся режиму. Коэффициенты ряда Тейлора можно определить по формуле.

. (2.8.5).

Переходя от (2.8.4) к оригиналу, получаем формулу для установившейся ошибки. (2.8.6).

Таким образом, ошибка установившегося режима выражена через входной сигнал и его производные, а также через коэффициенты, которые в связи с этим называются коэффициентами ошибок.

Так как передаточная функция по ошибке представляет собой дробно-рациональную функцию, то производные для (2.8.4) вычислять сложно и коэффициенты ошибок более просто получить делением числителя на знаменатель младшими степенями вперед и сравнением получающегося ряда с выражением в (2.8.3).

Пример 2.8.2. Найти ошибку установившегося режима от команды для системы рис. 2.8.1, у которой .

Имеем передаточную функцию для ошибки.

.

Делим числитель на знаменатель, начиная с младших степеней переменной :

Теперь сравниваем результат деления с рядом в общем виде. В результате деления нет свободного члена и поэтому .

Имеем также; и т. д.

Пусть. Тогда по (2.7.4) найдем.

Пусть, т. е. команда изменяется по линейному закону (с постоянной скоростью). Тогда по (2.8.4) найдем.

Порядок астатизма системы.

Обобщая предыдущий пример, можно заметить, что в системе с астатизмом порядка первые коэффициентов ошибок равны нулю. Если сигнал является полиномом степени, то первые слагаемых в (2.8.6) обращаются в нуль за счет нулевых коэффициентов ошибок, а следующие — за счет нулевых производных. Если сигнал представляет собой полином степени, то ()-е слагаемое не равно нулю.

В последнем примере имели систему с астатизмом первого порядка. В случае сигнала — полинома нулевой степени (константа) ошибка была равна нулю. В случае сигнала — полинома первой степени ошибка не равна нулю.

Не трудно заметить, что порядок астатизма связан с количеством интегрирующих звеньев в системе. Если бы их было, то младший член числителя передаточной функции по ошибке содержал бы и при делении числителя передаточной функции на знаменатель младший член результата также содержал.

. Соответственно первые коэффициентов ошибок были бы равны нулю.

Таким образом, для повышения точности желательно увеличивать порядок астатизма, т. е. количество интегрирующих звеньев в системе. Однако это трудно сделать по двум причинам. Во-первых, набор аналоговых интегрирующих звеньев ограничен. Это двигатели (электрические, гидравлические и т. д.). Включать в систему несколько двигателей несуразно. Во-вторых, интегрирующее звено вносит отставание по фазе (- на всех частотах), что приводит к потере устойчивости. Поэтому одновременно приходится вводить корректирующие звенья. Этого можно избежать за счет включения интегрирующего звена параллельно основному тракту прохождения сигнала. В этом случае передаточная функция равна, где. Это так называемое изодромное звено, содержащее, кроме интегрирующего, форсирующее звено, компенсирующее отставание по фазе на высоких частотах.

Пример..

— передаточная функция системы разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи.

,.

— передаточная функция ошибки от команды.

Разделим числитель на знаменатель младшими степенями вперед и результат деления сравним с (2.8.4).

, …

Пусть. Тогда.

Пусть, где. Тогда.

помеха устойчивость астатизм дифференциальный Исследовать устойчивость разомкнутой системы по Стодоле.

Исследовать устойчивость замкнутой системы по Гурвицу.

Исследовать устойчивость замкнутой системы по Михайлову Исследовать устойчивость замкнутой системы по Найквисту (по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы).

Исследовать устойчивость замкнутой системы по Найквисту (по АФХ разомкнутой системы).

Условие Стодолы.

Условие получено словацким математиком Стодолой в конце 19-го столетия. Оно интересно в методическом плане для понимания условий устойчивости системы.

Запишем характеристическое уравнение системы в виде.

D (p) = a₀pⁿ + a₁p^n-1 +…a_n= 0. (2.9.3).

По Стодоле для устойчивости необходимо, но недостаточно, чтобы пpи a₀ > 0 все остальные коэффициенты были строго положительны, т. е.

a₁ > 0,…, a_n > 0.

Необходимость можно сформировать так:

Если система устойчива, то все корни характеристического уравнения имеют, т. е. являются левыми.

Доказательство необходимости элементарное. По теореме Безу характеристический полином можно представить в виде.

.

Пусть, т. е действительное число, а — комплексно-сопряженные корни. Тогда.

…

Отсюда видно, что в случае полинома с действительными коэффициентами комплексные корни попарно-сопряженные. При этом, если, , то имеем произведение многочленов с положительными коэффициентами, которое дает многочлен только с положительными коэффициентами.

Недостаточность условия Стодолы заключается в том, что условие не гарантирует, что все. В этом можно убедиться на конкретном примере, рассмотрев полином степени .

Заметим, что в случае условие Стодолы одновременно необходимо и достаточно. Из вытекает. Если, то и, чтобы .

Для из анализа формулы корней квадратного уравнения также вытекает достаточность условия.

Из условия Стодолы вытекает два важных следствия.

1. Если условие выполняется, а система неустойчива, то переходный процесс имеет колебательный характер. Это следует из того, что уравнение с положительными коэффициентами не может иметь действительных положительных корней. По определению корень — это число, обращающее характеристический полином в нуль. Никакое положительное число не может обратить в нуль многочлен с положительными коэффициентами, то есть быть его корнем.

2. Положительность коэффициентов характеристического полинома (соответственно выполнение условия Стодолы) обеспечивается в случае отрицательной обратной связи, т. е. в случае нечетного числа инверсий сигнала по замкнутому контуру. В этом случае характеристический полином. В противном случае имели и после приведения подобных некоторые коэффициенты могли оказаться отрицательными.

Заметим, что отрицательная обратная связь не исключает возможности невыполнения условия Стодолы. Например, если, а, то в случае единичной отрицательной обратной связи. В данном полиноме коэффициент при равен нулю. Отрицательных коэффициентов нет, но, тем не менее, условие не выполняется, так как оно требует строго выполнения неравенств .

Это подтверждает и следующий пример.

Пример 2.9.1. Применить условие Стодолы к схеме рис. 2.9.2.

Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной обратной связи системы равна и характеристическое уравнение замкнутой системы есть сумма числителя и знаменателя, т. е.

D (p) = p² + k₁k₂ = 0..

Так как отсутствует член с р в первой степени (a₁ = 0), то условие Стодолы не выполняется и система неустойчива. Данная система структурно неустойчива, так как ни при каких значениях параметров k₁ и k₂ не может быть устойчивой.

Чтобы сделать систему устойчивой, нужно ввести дополнительную связь или корректирующее звено, т. е. изменить структуру системы. Покажем это на примерах. На рис. 2.9.3. звено прямой цепи представлено последовательно включенными звеньями с передаточными функциями и. Параллельно первому введении дополнительная связь.

Передаточная функция разомкнутой по единичной отрицательной связи системы и характеристическое уравнение замкнутой системы соответственно равна.

.

.

Теперь условие Стодолы выполняется при любых. Так как в случае уравнения второй степени оно не только необходимо, но и достаточно, то система устойчива при любых положительных коэффициентах усиления .

На рис. 2.9.4 в схему введено последовательно форсирующее звено. Передаточная функция разомкнутой по цепи единичной отрицательной связи системы в этом случае равна и характеристическое уравнение замкнутой системы равно.

.

Аналогично предыдущему система устойчива при любых положительных .

Критерий устойчивости Раусса-Гурвица.

Математики Раусс (Англия) и Гурвиц (Швейцария) разработали этот критерий приблизительно в одно время. Отличие заключалось в алгоритме вычислений. Мы познакомимся с критерием в формулировке Гурвица.

По Гурвицу для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при a₀ > 0 определитель Гурвица = _n и все его главные миноры ₁, ₂,…, _n-1 были строго положительны, т. е.

(2.9.4).

Cтруктура определителя Гурвица легко запоминается, если учесть, что по главной диагонали расположены коэффициенты а₁,…, а_n, в строчках расположены коэффициенты через один, если они исчерпаны, то свободные места заполняются нулями.

Пример 2.9.2. Исследовать на устойчивость по Гурвицу систему с единичной отрицательной обратной связью, в прямой цепи которой включены три инерционных звена и, следовательно, передаточная функция разомкнутой системы имеет вид.

(2.9.5).

Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы как сумму числителя и знаменателя (2.9.5):

Следовательно,.

Определитель Гурвица и его миноры имеют вид.

(2.9.6).

с учетом a₀ > 0 из строгой положительности определителя Гурвица и миноров (2.9.6) вытекает условие Стодолы и, кроме того, условие a₁ a₂ - a₀ a₃ > 0, что после подстановки значений коэффициентов дает.

(Т₁Т₂+ Т₁Т₃+Т₂Т₃)(Т₁+Т₂+Т₃)>Т₁Т₂Т₃(1+k). (2.9.7).

Отсюда видно, что при увеличении k система из устойчивой может превратиться в неустойчивую, так как неравенство (2.9.7) перестанет выполняться.

Передаточная функция системы по ошибке равна.

(2.9.8).

Согласно теореме о конечном значении оригинала установившаяся ошибка отработки единичного ступенчатого сигнала будет равна 1/(1+k). Следовательно, обнаруживается противоречие между устойчивостью и точностью. Для уменьшения ошибки надо увеличивать k, но это приводит к потере устойчивости.

Принцип аргумента и критерий устойчивости Михайлова.

Критерий Михайлова основан на так называемом принципе аргумента.

Рассмотрим характеристический полином замкнутой системы, который по теореме Безу можно представить в виде.

D (p) = a₀pⁿ+ a₁p^n-1+…+ a_n = a₀(p — p₁)…(p — p_n)..

Сделаем подстановку p = j.

D (j) = a₀(j)ⁿ+ a₁(j)^n-1+…+ a_n = a₀(j — p₁)…(j — p_n) = X ()+jY ()..

Для конкретного значения имеет точку на комплексной плоскости, задаваемую параметрическими уравнениями.

Если изменять в диапазоне от — до, то будет прочерчена кривая Михайлова, т. е. годограф. Изучим поворот вектора D (j) при изменении от — до, т. е. найдем приращение аргумента вектора (аргумент равен сумме для произведения векторов):

.

При = - разностный вектор, начало которого в точке р_i, а конец на мнимой оси, направлен вертикально вниз. По мере роста конец вектора скользит вдоль мнимой оси, а при = вектор направлен вертикально вверх. Если корень левый (рис. 2.9.19а), то arg = +, а если корень правый, то arg = -..

Если характеристическое уравнение имеет m правых корней (соответственно n — m левых), то .

Это и есть принцип аргумента. При выделении действительной части Х () и мнимой Y () мы отнесли к Х () все слагаемые, содержащие j в четной степени, а к Y () — в нечетной степени. Поэтому кривая Михайлова симметрична относительно действительной оси (Х () — четная, Y () — нечетная функция). В результате, если изменять от 0 до +, то приращение аргумента будет в два раза меньше. В связи с этим окончательно принцип аргумента формулируется следующим образом. (2.9.29).

Если система устойчива, т. е. m = 0, то получаем критерий устойчивости Михайлова.

По Михайлову для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы.

(2.9.30).

то есть кривая Михайлова должна последовательно проходить через n четвертей против часовой стрелки.

Очевидно, что для применения критерия Михайлова не требуется точного и детального построения кривой. Важно установить, каким образом она огибает начало координат и не нарушается ли последовательность прохождения n четвертей против часовой стрелки.

Пример 2.9.6. Применить критерий Михайлова для проверки устойчивости системы, показанной на рис. 2.9.20.

Характеристический полином замкнутой системы при k₁k₂ > 0 соответствует устойчивой системе, так условие Стодолы выполняется, а для n = 1 оно достаточно. Можно непосредственно найти корень р₁ = - k₁k₂ и убедиться, что необходимое и достаточное условие устойчивости выполнено. Поэтому применение критерия Михайлова носит иллюстративный характер. Полагая p=j, получим.

D(j) = X()+jY(),.

где Х () =; Y() = .(2.9.31).

По параметрическим уравнениям (2.9.31) построен годограф Михайлова на рис. 2.9.21, из которого видно, что при изменении от 0 до вектор D(j) поворачивается против часовой стрелки на +/2, т. е. система устойчива.

Критерий устойчивости Найквиста.

Как уже было отмечено, критерий Найквиста занимает особое положение среди критериев устойчивости. Это частотный критерий, позволяющий определить устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой. При этом предполагается, что система разомкнута по цепи единичной отрицательной обратной связи (рис. 2.9.22).

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что частотные характеристики разомкнутой системы могут быть получены экспериментально.

Вывод критерия основан на использовании принципа аргумента. Передаточная функция разомкнутой системы (по цепи единичной отрицательной обратной связи на рис. 2.9.22) равна.

Рассмотрим.

. (2.9.32).

В случае реальной системы с ограниченной полосой пропускания степень знаменателя передаточной функции разомкнутой системы п больше степени числителя, т. е. n >. Поэтому степени характеристических полиномов разомкнутой системы и замкнутой системы одинаковы и равны n. Переход от АФХ разомкнутой системы к АФХ по (2.9.32) означает увеличение вещественной части на 1, т. е. перенос начала координат в точку (-1, 0), как показано на рис. 2.9.23.

Предположим теперь, что замкнутая система устойчива, а характеристическое уравнение разомкнутой системы А (р) = 0 имеет m правых корней. Тогда в соответствии с принципом аргумента (2.9.29) получим необходимое и достаточное условие устойчивости замкнутой системы по Найквисту.

(2.9.33).

Т.е. для устойчивости замкнутой системы вектор W₁(j) должен делать m/2 полных оборотов против часовой стрелки, что равносильно повороту вектора W_paз(j) относительно критической точки (-1,0).

На практике, как правило, разомкнутая система устойчива, т. е. m = 0. В этом случае приращение аргумента равно нулю, т. е. АФХ разомкнутой системы не должна охватывать критическую точку (-1,0).

Критерий Найквиста для ЛАХ и ЛФХ.

На практике чаще используются логарифмические характеристики разомкнутой системы. Поэтому целесообразно сформулировать критерий Найквиста для определения устойчивости замкнутой системы по ним. Количество оборотов АФХ относительно критической точки (-1,0) и охват или не охват ее зависят от количества положительных и отрицательных пересечений интервала (-,-1) действительной оси и соответственно пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L() 0. На рис. 2.9.24 изображены АФХ и показаны знаки пересечений отрезка (-,-1) действительной оси.

Справедливо правило.

По АФХ рис. 2.9.24 В построены ЛАХ и ЛФХ, изображенные на рис. 2.9.25, причем на ЛФХ отмечены положительные и отрицательные пересечения. На отрезке (-,-1) модуль больше единицы, чему соответствует L() > 0. Поэтому Критерий Найквиста:

Для устойчивости замкнутой системы ЛФХ разомкнутой системы в области, где L() > 0, должна иметь положительных пересечений линии -180° на больше, чем отрицательных.

Если разомкнутая система устойчива, то число положительных и отрицательных пересечений фазовой характеристикой линии -180° в области L() > 0 для устойчивости замкнутой системы должно быть одинаковым или пересечений не должно быть.

Критерий Найквиста для астатической системы.

Особо необходимо рассмотреть случай астатической системы порядка r с передаточной функцией разомкнутой системы, равной.

.

В этом случае при 0, т. е. амплитудно-фазовая характеристика (АФХ) разомкнутой системы уходит в бесконечность. Раньше мы строили АФХ при изменении от — до и это была непрерывная кривая, замкнутая при = 0. Теперь она также замыкается при = 0, но на бесконечности и при этом не ясно, с какой стороны действительной оси (на бесконечности слева или справа?).

Рис. 2.9.19 В иллюстрирует, что в этом случае возникает неопределенность в подсчете приращения аргумента разностного вектора. Он теперь все время расположен вдоль мнимой оси (совпадает с j). Только при переходе через нуль изменяется направление (при этом поворот вектора против часовой стрелки на или по часовой стрелке на -?), Для определенности считаем условно, что корень левый и огибание начала координат происходит по дуге бесконечно малого радиуса против часовой стрелки (поворот на +). Соответственно в окрестности = 0 представим в виде.

.

где = + при изменении от — 0 до + 0. Последнее выражение показывает, что при таком раскрытии неопределенности АФХ поворачивается при изменении от — 0 до + 0 на угол — по часовой стрелке. Соответственно построенную АФХ надо при = 0 дополнить дугой бесконечности радиуса на угол, т. е. против часовой стрелки до положительной действительной полуоси.

— характеристический полином разомкнутой системы.

— характеристический полином замкнутой системы.

7. Исследовать устойчивость разомкнутой системы по Стодоле.

.

— коэффициенты характеристического полинома разомкнутой системы.

Так как характеристический полином разомкнутой системы является полиномом первого порядка, то условие Стодолы является необходимым и достаточным. Так как коэффициенты полинома положительные, то разомкнутая система устойчива.

8. Исследовать устойчивость замкнутой системы по Гурвицу.

.

— коэффициенты характеристического полинома замкнутой системы.

Определители Гурвица.

По критерию Гурвица для устойчивости необходимо и достаточно, чтобы при определители Гурвица должны быть положительными. Так как условие выполняется, то замкнутая система устойчива.

9. Исследовать устойчивость замкнутой системы по Михайлову.

— характеристическое уравнение замкнутой системы имеет один корень, который находится в левой полуплоскости корней. Поэтому и для устойчивости по Михайлову необходимо и достаточно, чтобы.

.

Где ,.

По критерию Михайлова замкнутая система является устойчивой.

10. Исследовать устойчивость замкнутой системы по Найквисту (по логарифмическим характеристикам разомкнутой системы)..

— передаточная функция разомкнутой системы.

— частотная передаточная функция разомкнутой системы.

рад/с,.

рад/с.

— амплитудная частотная характеристика разомкнутой системы.

— фазовая частотная характеристика разомкнутой системы.

Так как пересечения линии -180^о отсутствуют в области, то по критерию Найквиста замкнутая система устойчива.

11. Исследовать устойчивость замкнутой системы по Найквисту (по АФХ разомкнутой системы).

Введем обозначение:

.

Где — характеристический полином замкнутой системы, — характеристический полином разомкнутой системы.

Известно.

Найдем.

.

Где ,.

По критерию Найквиста замкнутая система устойчива.