Надёжность функционирования автоматизированных систем

Пермский Государственный Технический Университет Кафедра автоматизированных систем управления Липатов И.Н.

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу: «Надёжность функционирования автоматизированных систем»

Пермь 1996

Введение

Надёжность неремонтируемых изделий Проблемы надёжности Факторы, влияющие на надёжность электронной аппаратуры, на надёжность изделий Факторы, влияющие на надёжность при проектировании Факторы, влияющие на надёжность в процессе изготовления Факторы, влияющие на надёжность в процессе эксплуатации Пути повышения надёжности Основные понятия теории надёжности Виды надёжности Основные понятия и теоремы теории вероятностей Классификация событий Теорема сложения вероятностей Теорема умножения вероятностей Теорема полной вероятности Количественные характеристики надёжности Плотность вероятности f (t) времени безотказной работы Т Интенсивность отказов (t)

Определение интенсивности отказов (t) по результатам испытаний Числовые характеристики надёжности Характеристики ремонтопригодности Экспериментальная оценка надёжности изделий Выравнивание статистического закона распределения случайной величины Т Критерий Пирсона Критерий Колмогорова Законы распределения отказов и их основные характеристики Экспоненциальный закон надёжности Нормальный закон распределения Закон распределения Вейбулла Виды соединения элементов в систему Последовательное соединение элементов в систему Параллельное соединение элементов в систему Классификация методов резервирования Схема постоянного резервирования Схема резервирования замещением Схема общего резервирования Схема раздельного резервирования Расчёт надёжности системы с постоянным резервированием Расчёт надёжности системы с постоянным общим резервированием Расчёт надёжности системы с постоянным поэлементным резервированием Режим облегченного (тёплого) резерва Режим нагруженного резерва Режим ненагруженного резерва Основные количественные характеристики надёжности при поэлементном резервировании замещением

Анализ надёжности систем при резервировании с дробной кратностью и постоянно включенным резервом Надёжность ремонтируемых (восстанавливаемых) изделий Надёжность системы с восстановлением Надёжность программного обеспечения Сравнительные характеристики программных и аппаратурных отказов Проверка и испытания программ Основные проблемы исследования надёжности программного обеспечения Критерии оценки надёжности программных изделий Критерии надёжности сложных комплексов программ Математические модели надёжности комплексов программ Проверка математических моделей Литература

Наука о надёжности — молодая наука. Её формирование относится к середине текущего столетия. Но это не означает, что люди не интересовались и не занимались вопросами надёжности создаваемой ими техники до тех пор, пока не возникла наука о надёжности. С первых шагов развития техники стояла задача сделать техническое устройство таким, чтобы оно работало надёжно. Середина текущего столетия ознаменовалась новым качественным скачком в развитии техники — широким распространением больших и малых автоматизированных систем управления (АСУ) различного назначения. Создание и использование такой техники без специальных мер по обеспечению её надёжности не имеет смысла. Опасность заключается не только в том, что новая сложная техника не будет работать (будут возникать простои), но главным образом в том, что отказ в её работе, в том числе и неправильная работа, может привести к катастрофическим последствиям.

Очевидно, что новая автоматизированная техника, выполняющая ответственные функции, имеет право на существование только тогда, когда она надёжна.

С развитием и усложнением техники усложнялась и развивалась проблема её надёжности. Для решения её потребовалась разработка научных основ нового научного направления — наука о надёжности. Предмет её исследований — изучение причин, вызывающих отказы объектов, определение закономерностей, которым отказы подчиняются, разработка способов количественного измерения надёжности, методов расчёта и испытаний, разработка путей и средств повышения надёжности.

Наука о надёжности развивается в тесном взаимодействии с другими науками.

Математическая логика позволяет на языке математики представить сложные логические зависимости между состояниями системы и её комплектующих частей.

Теория вероятностей, математическая статистика и теория вероятностных процессов дают возможность учитывать случайный характер возникающих в системе событий и процессов, формировать математические основы теории надёжности.

Теория графов, исследования операций, теория информации, техническая диагностика, теория моделирования, основы проектирования систем и технологических процессов — такие научные дисциплины, без которых невозможно было бы развитие науки о надёжности. Они позволяют обоснованно решать задачи надёжности.

Основные направления развития теории надёжности следующие.

Развитие математических основ теории надёжности. Обобщение статистических материалов об отказах и разработка рекомендаций по повышению надёжности объектов вызвали необходимость определять математические закономерности, которым подчиняются отказы, а также разрабатывать методы количественного измерения надёжности и инженерные расчёты её показателей. В результате сформировалась математическая теория надёжности.

Развитие методов сбора и обработки статистических данных о надёжности. Обработка статистических материалов в области надёжности потребовала развития существующих методов и привела к накоплению большой статистической информации о надёжности. Возникли статистические характеристики надёжности и закономерности отказов. Работы в этом направлении послужили основой формирования статистической теории надёжности.

Развитие физической теории надёжности. Наука о надёжности не могла и не может развиваться без исследования физико — химических процессов. Поэтому большое внимание уделяется изучению физических причин отказов, влиянию старения и прочности материалов на надёжность, разнообразных внешних и внутренних воздействий на работоспособность объектов. Совокупность работ в области исследования физико — химических процессов, обуславливающих надёжность объектов, послужила основой физической теории надёжности.

В конкретных областях техники разрабатывались и продолжают разрабатываться прикладные вопросы надёжности, вопросы обеспечения данной конкретной техники (полупроводниковые приборы, судовые установки, транспортные машины, вычислительная техника, авиация и т. д.). При этом решается также вопрос о наиболее рациональном использовании общей теории надёжности в конкретной области техники и ведётся разработка новых приложений, методов и приёмов, отражающих специфику данного вида техники. Так возникли прикладные теории надёжности, в том числе прикладная теория надёжности АСУ.

НАДЁЖНОСТЬ НЕРЕМОНТИРУЕМЫХ ИЗДЕЛИЙ

Проблемы надёжности

Проблема надёжности возникла по следующим причинам:

Резкое усложнение изделий, электронной аппаратуры, большое количество элементов, входящих в состав изделия. Чем сложнее и точнее аппаратура, тем менее она надёжна;

Рост сложности системы превышает рост надёжности элементов в этой системе;

Функция, которую выполняет изделие, бывает очень ответственной и отказ изделия может дорого обойтись.

Пример: отказ аппаратуры управления производственным процессом может привести не только к прекращению изготовления продукции, но может вызвать серьёзную аварию.

К каким последствиям могут привести отказы электронной аппаратуры военного назначения, учитывая огромную разрушительную силу ядерного оружия.

Исключение человека — оператора из процесса управления. Это обусловлено скоротечностью процессов либо вредными условиями труда. Важным фактором безотказности аппаратуры является способность человека принимать решения при управлении сложным объектом.

Сложность условий, в которых осуществляется эксплуатация аппаратуры.

Академик Берг: «Не одно достижение науки и техники, сколь бы эффективно оно не было, не может быть полноценно использовано, если его реализация будет зависеть от „капризов“ малонадёжной аппаратуры».

1.2 Факторы, влияющие на надёжность электронной аппаратуры, на надёжность изделия

При анализе надёжности целесообразно рассматривать три этапа в создании аппаратуры или изделия.

Проектирование Изготовление Эксплуатация

Факторы, влияющие на надёжность при проектировании

Количество и качество элементов в системе оказывает влияние на надёжность. Увеличение количества используемых элементов приводит к резкому ухудшению надёжности аппаратуры. К ухудшению надёжности приводит применение менее надёжных элементов.

Режим работы элементов. Самые надёжные элементы, работающие в тяжёлом, не предусмотренном для их применения режиме, могут стать источником частых отказов. Для каждого элемента устанавливаются технические условия на режим работы элемента. Необходимо правильно выбрать режимы работы элементов.

Применение стандартных и унифицированных элементов резко повышает надёжность системы. Технология производства этих элементов отработана, надёжность их известна.

Конструктор должен предусмотреть хороший доступ к блокам, элементам аппаратуры для осмотра, ремонта; предусмотреть сигнализацию об отказе того или иного элемента.

1.2.2 Факторы, влияющие на надёжность в процессе изготовления

Качество материалов. Необходим хороший входной контроль материалов и комплектующих изделий, поступающих от других предприятий.

Качество хранения материалов и комплектующих изделий.

Чистота рабочих мест, оборудования, рабочего помещения.

Соблюдение технологии изготовления и сборки: термообработка, антикоррозийные покрытия и т. п.

1.2.3 Факторы влияющие на надёжность в процессе эксплуатации

Квалификация обслуживающего персонала. Этот фактор доказан практикой.

На надёжность влияют внешние условия: климатические условия, вибрации, перегрузки, удары. Частое включение и выключение аппаратуры нежелательно.

На надёжность влияет фактор времени. Продолжительность эксплуатации аппаратуры с момента выпуска с завода до капитального ремонта может составлять несколько лет. К концу этого периода повышается опасность возникновения отказов отдельных элементов.

Пути повышения надёжности

Устранение влияния факторов, приводящих к снижению надёжности аппаратуры.

Резервирование (вместо одного изделия ставят два). Второе изделие резервное. Если откажет 1-е изделие, то подключают 2-е изделие.

Сбор во время эксплуатации аппаратуры полных и достоверных данных об отказах и простоях аппаратуры. Эта информация может использоваться при решении задачи повышения надёжности аппаратуры.

Основные понятия теории надёжности

Теория надёжности это наука, изучающая закономерности особого рода явлений — отказов технических устройств.

Надёжность — это более узкая характеристика изделия, чем качество изделия.

Качество изделия — это совокупность свойств, определяющих пригодность изделия для работы в соответствии со своим назначением. К таким свойствам относятся надёжность, точность, удобство и т. д.

Надёжность — свойство изделия выполнять заданные функции в заданных условиях эксплуатации.

Надёжность — свойство изделия сохранять значения заданных параметров в заданных пределах при определённых условиях эксплуатации.

Надёжность находится в противоречии с точностью, габаритами и весом изделия. Чем меньше габариты изделия, тем менее оно надёжно.

Вторым фундаментальным понятием теории надёжности является понятие отказа.

Отказ — это событие, после наступления которого изделие перестаёт выполнять свои функции.

Отказы делят на внезапные, постепенные, перемежающиеся.

Внезапный отказ — происходит в результате скачкообразного изменения характеристик изделия.

Постепенный отказ — отказ, возникший в результате постепенного изменения характеристик изделия вследствие износа, старения элементов изделия.

Перемежающийся отказ — самоустраняющийся отказ, возникающий в результате временно действующих причин.

Отказы в АСУ целесообразно подразделять на аппаратурные и программные.

Аппаратурным отказом принято считать событие, при котором изделие утрачивает работоспособность и для его восстановления требуется проведение ремонта аппаратуры или замена отказавшего изделия на исправное.

Программным отказом считается событие, при котором объект утрачивает работоспособность по причине несовершенства программы (несовершенство алгоритма решения задачи, отсутствие программной защиты от сбоев, отсутствие программного контроля за состоянием изделия, ошибки в представлении программы на физическом носителе и т. д.). Характерным признаком программного отказа является то, что устраняется он путём исправления программы.

Второстепенные неисправности: дефекты и неполадки.

Дефект — это неисправность, которая приводит к отказу не сразу, а через некоторое время. Пример: нарушение изоляции провода, а впоследствии короткое замыкание.

Неполадки — неисправности, не приводящие к отказу изделия (перегорание лампочки освещения шкалы).

Ремонтопригодность — приспособленность изделия к предупреждению, обнаружению и устранению отказов.

Сохранность изделия — свойство изделия сохранять свою способность к работе в определённых условиях хранения.

Долговечность (технический ресурс) — это суммарная продолжительность работы изделия, ограниченная износом, старением или другим предельным состоянием.

Ресурс — это установленное время, по истечению которого эксплуатация изделия недопустима. Пример: авиационный двигатель: ресурс 500 часов.

Безотказность — свойство изделия непрерывно сохранять работоспособность в течении некоторого времени или некоторой наработки.

Работоспособность — такое состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции, удовлетворяя требованиям нормативно — технической документации. Работоспособность — характеристика состояния изделия в некоторый момент времени.

Наработка — это продолжительность или объём работы изделия.

Наработка до отказа — продолжительность или объём работы изделия до возникновения первого отказа.

Средняя наработка до отказа — математическое ожидание наработки изделия до первого отказа.

Однако для АСУ, информационных сетей и вычислительной техники оказалось, что этих понятий для характеристики надёжности недостаточно. В практике создания и использования АСУ находят применение дополнительные понятия, без учёта которых нельзя в полной мере представить комплексное понятие «надёжность». Рассмотрим эти понятия.

Живучесть — свойство объекта сохранять работоспособность (полностью или частично) в условиях неблагоприятных воздействий, не предусмотренных нормальными условиями эксплуатации. Главный смысл требования к живучести объекта состоит не только в том, чтобы он длительное время работал непрерывно без отказа в нормальных условиях эксплуатации и чтобы его можно было быстро отремонтировать, но также и в том, чтобы он в ненормальных условиях эксплуатации сохранял работоспособность, хотя бы и ограниченную.

Достоверность информации, выдаваемой объектом. При работе вычислительной машины или тракта передачи информации могут отсутствовать отказы. Поэтому объект может обладать высокой безотказностью, хорошей долговечностью, сохраняемостью и ремонтопригодностью. Однако в нём могут иметь место сбои, искажающие информацию. В изделии «ломается», «портится» не аппаратура, а информация. Это не менее опасная «поломка».

Виды надёжности

При исследовании надёжности часто ставится задача определить причины, приводящие к формированию той или другой стороны надёжности. Без этого невозможно наметить правильную программу работ по повышению надёжности. Это приводит к делению надёжности на:

Аппаратную надёжность, обусловленную состоянием аппаратуры;

Программную надёжность объекта, обусловленную состоянием программ;

Надёжность объекта, обусловленную качеством обслуживания;

Надёжность функциональная.

Особого внимания заслуживает понятие «программная надёжность», так как её важная роль в обеспечении надёжности АСУ является одной из самых характерных особенностей прикладной теории надёжности АСУ. Понятие «программная надёжность» возникло в результате следующих основных причин. В инженерной практике всё большее значение приобретают программно-управляемые изделия: программно-управляемые станки; вычислительные машины и системы машин; системы передачи данных АСУ и др. Для этих изделий характерно то, что они являются органическим слиянием технических средств (аппаратуры) и программы. Без программного обеспечения вычислительный комплекс, или тракт передачи данных, — это «мёртвый» набор технических устройств, который оживает тогда и только тогда, когда он используется как единое целое с программой. Поэтому говорить о надёжности таких устройств бессмысленно, если не учитывать влияния программного обеспечения.

Учёт влияния программного обеспечения приводит к необходимости выделять в особый вид программную надёжность объектов.

Надёжность функциональная — надёжность выполнения отдельных функций, возлагаемых на систему. АСУ, как правило, система многофункциональная, т. е. она предназначается для выполнения ряда функций, различных по своей значимости. Требования к надёжности выполнения различных функций могут быть различными (например, для функции «расчёт зарплаты» требуется высокая точность, но не требуется жёсткого ограничения времени). Поэтому может оказаться целесообразным задавать различные требования к выполнению различных функций. Примером функциональной надёжности в АСУ может быть надёжность передачи определённой информации в системе передачи данных.

Основные понятия и теоремы теории вероятностей

Надёжность изделия зависит от многочисленного комплекса факторов, определяемых как внутренними свойствами изделия, так и воздействием внешних условий.

Это приводит к тому, что процесс возникновения отказов, а также другие характеристики надёжности носят случайный характер.

Для исследования случайных явлений используются вероятностные методы.

Рассмотрим понятие событие.

Событие — это всякий факт, который в результате опыта может произойти или не произойти.

Примеры событий:

А — появление герба при бросании монеты.

В — попадание в цель при выстреле.

С — отказ изделия.

Д — безотказная работа изделия.

Событие достоверное — если оно обязательно появляется в результате данного опыта.

Невозможное событие — если оно не может появиться в результате данного опыта.

Случайное событие — событие, которое может появиться, а может и не появиться в результате данного опыта.

Вероятность события — это степень возможности появления этого события.

Более вероятными являются те события, которые происходят чаще.

Менее вероятными являются те события, которые происходят реже.

Мало вероятными являются те события, которые почти никогда не происходят.

Достоверному событию можно приписать вероятность, равную единице.

Невозможному событию можно приписать вероятность, равную нулю.

P (A) — вероятность события А.

Рассмотрим последовательность n одинаковых опытов. Предположим, что в результате каждого опыта регистрируется появление или непоявление некоторого события А.

Пусть: m — число появлений события, А при n опытах;

n — общее число произведённых опытов.

Здесь — частота события А.

При n .

Частота события при n сходится по вероятности к вероятности этого события .

где E — любое наперёд заданное, сколь угодно малое положительное число.

Классификация событий

Несколько событий в данном опыте образуют полную группу событий, если в результате опыта должно появиться хотя бы одно из них.

Примеры событий, образующих полную группу:

выпадение герба и выпадение цифры при бросании монеты;

появление 1,2,3,4,5,6 очков при бросании игральной кости;

попадание и промах при выстреле;

безотказная работа изделия и отказ изделия.

Несовместные события: несколько событий называются несовместными в данном опыте, если никакие два из них не могут появиться вместе.

Если в данном опыте могут иметь место два несовместных события, то они называются противоположными.

А — событие (безотказная работа изделия)

— противоположное событие (отказ изделия) Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий

;

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий

.

Теорема сложения вероятностей

Вероятность суммы n несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

.

Сумма вероятностей n несовместных событий, образующих полную группу событий, равна единице

;

где — несовместные события, образующие полную группу.

Следствие: Сумма вероятностей двух противоположных событий равна единице

.

Теорема умножения вероятностей

Зависимое событие — это такое событие, вероятность которого зависит от того, произошли или не произошли остальные события.

Независимое событие — это такое событие, вероятность которого не зависит от того, произошли или не произошли остальные события.

Вероятность произведения n независимых событий равна произведению вероятностей этих событий

.

Условная вероятность :

— условная вероятность события, А при условии, что событие В имело место.

Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности 1-го события на условную вероятность 2-го события, при условии, что 1-ое событие имело место:

.

Теорема полной вероятности

Пусть требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий

События образуют полную группу n несовместных событий. Будем называть эти события гипотезами.

Вероятность события, А определяется формулой

— формула полной вероятности.

где — вероятность осуществления гипотезы ;

— условная вероятность события, А при условии, что событие имело место.

Количественные характеристики надёжности.

Предварительно рассмотрим понятие «случайная величина».

Случайная величина — величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причём заранее неизвестно, какое именно.

Примеры случайной величины:

Интервал времени между соседними отказами ЭВМ;

Интервал времени от начала работы изделия до первого отказа или время безотказной работы;

Число деталей, изготовленных рабочим в единицу времени.

Обозначим через T — время безотказной работы изделия (интервал времени от начала работы изделия до первого отказа). T — случайная величина. Величина T также называется наработка на отказ изделия. t — возможные значения случайной величины T.

Введём понятие «вероятность безотказной работы».

— вероятность того, что время безотказной работы изделия будет больше или равно некоторому значению t. Другими словами, вероятностью безотказной работы называется вероятность того, что при заданных условиях эксплуатации в течении интервала времени t не возникнет отказа, т. е.система будет работоспособна.

Вероятность отказа:

— вероятность того, что время безотказной работы изделия меньше некоторого заданного значения t.

Другими словами, вероятностью отказа является вероятность того, что в течении заданного времени произойдёт хотя бы один отказ.

Функция представляет собой функцию распределения случайной величины Т.

События В и С несовместные события (в опыте не могут появиться вместе).

А = В + С; P (A) = P (B) + P (С);

откуда

P© = P (A) — P (B); P (A) =; P (B) = ;

P© = ;

Следовательно

= - ;

или

= - ;

Введём в рассмотрение событие А. Событие, А означает, что, т. е. в интервале времени от 0 до t отказа не произойдёт.

Введём в рассмотрение событие. Событие означает, что T < t, т. е в интервале времени от 0 до t произойдёт отказ. События A и являются противоположными, т.к. они образуют полную группу событий. События образуют полную группу, если в результате опыта одно из них обязательно должно произойти.

Из теории вероятностей известно, что сумма вероятностей противоположных событий равна единице, т. е.

P (A) + P;

P (A) = P (T t); P= P (T

Следовательно

P (T t) + P (T < t) = 1 или

P (t) + q (t) = 1

Для вероятности безотказной работы справедливо приближённое соотношение

P (t), где =

Здесь n (t) — число изделий, не отказавших к моменту времени t;

N — Число изделий, поставленных на испытания.

Испытания изделий должны проводиться при одинаковых условиях так, чтобы отказы изделий были независимы друг от друга.

Для вероятности отказа справедливо приближённое равенство

; где .

Здесь N — n (t) — число изделий, отказавших к моменту времени t.

Плотность вероятности f(t) времени безотказной работы T

; - частота отказов.

Здесь — плотность вероятности случайной величины T или частота отказов.

вероятность того, что отказ изделия произойдёт на интервале времени .

Для плотности вероятности времени безотказной работы T справедливо приближённое равенство:

где — оценка частоты отказов.

Здесь N — число изделий, поставленных на испытания, — число отказавших изделий на участке времени (t, t + t).

1.9 Интенсивность отказов (t)

Рассмотрим вероятность безотказной работы изделия на промежутке времени от до при условии, что изделие до момента времени не отказывало.

Обозначим эту вероятность через .

0 T

Событие, А — изделие работало безотказно на интервале времени от 0 до .

Событие В — изделие работало безотказно на интервале времени от до (=+)

AB — произведение событий, А и В. Произведением событий, А и В является событие, заключающееся в совместном появлении этих событий.

P (AB) = P (A) P (B/A).

P (B/A) — условная вероятность события B при условии, что событие, А произошло (имело место).

P (A) = P (t) — вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t

P (B/A) = P (AB) / P (A); P (B/A) = P.

Но вероятность P (AB) есть вероятность безотказной работы изделия на интервале

;

т.е. P (AB) = P.

Поэтому

P (.

Вероятность отказа изделия на интервале равна

;

Так как =+, то

;

;

;

Введём обозначение

; (1.2)

; - интенсивность отказов.

При малом t из (1.1) имеем

.

Отсюда. (1.3)

Из (1.3) видно, что интенсивность отказов представляет собой отношение вероятности отказа на интервале (t, t + t) к длине этого интервала (при малом t).

Из (1.1) имеем

.

Из (1.2) имеем

.

Отсюда ;

или (1.4)

; ;

или (1.5)

Для практически важного частного случая; формула (1.4) принимает вид

(1.6)

Формула (1.6) называется экспоненциальным законом надёжности. На практике этот закон ввиду его простоты нашёл широкое применение при расчёте надёжности изделий.

График функции (t):

(t)

1-й участок 2-й участок 3-й участок

0 t

1 — й участок — период приработки изделия.

2 — й участок — период нормальной работы.

3 — й участок — период старения или износа изделия.

Определение интенсивности отказов (t) по результатам испытаний

Интенсивность отказов (t) может быть определена по результатам испытаний. Пусть на испытания поставлено N изделий. Пусть n (t) — число изделий, не отказавших к моменту времени t. Тогда:

;

; ;

;

где n (t) — число отказавших изделий на интервале времени (t, t + t). Тогда:

или

Числовые характеристики надёжности

Рассмотренные количественные характеристики надёжности являются функциями времени. Для определения этих характеристик на основе опытных данных с достаточной точностью требуется большой объём испытаний. Более просто найти числовые характеристики надёжности. К ним относятся:

среднее время безотказной работы;

дисперсия времени безотказной работы;

Определим среднее время безотказной работы или математическое ожидание случайной величины T. Имеем Величина также называется средняя наработка на отказ.

Известно, что f (t) =. Тогда:

.

Этот интеграл можно вычислить по частям

;

u = t; ;

du = dt; v = P (t) ;

;

т.к. P (t) при t убывает быстрее, чем растёт t.

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

;

.

Итак, для экспоненциального закона надёжности среднее время безотказной работы есть величина, обратная интенсивности отказов.

Приближённое значение можно определить по формуле, где

Здесь — время безотказной работы — го изделия; N — общее число изделий, поставленных на испытания.

Определим дисперсию времени безотказной работы. Имеем

;

.

Интеграл берём по частям

; ;

; v = P (t) ;

;

Для экспоненциального закона надёжности имеем:

; ;

.

Интеграл берём по частям:

u = t; ;

du = dt; ;

;

; ;

Дисперсия характеризует степень разброса значений T относительно .

На основании результатов испытаний можно определить приближённое значение дисперсии

;

где .

Характеристики ремонтопригодности

Рассмотрим систему длительного (многократного) использования. В этом случае система после отказа восстанавливается и затем продолжает функционировать.

Время восстановления системы — суммарное время обнаружения и устранения отказов.

зависит от многих факторов, имеющих случайный характер (вид отказа, тип и число отказавших элементов).

— случайная величина.

Ремонтопригодность системы характеризуется следующими вероятностными характеристиками:

вероятность выполнения ремонта в заданное время ;

вероятность невыполнения ремонта в заданное время ;

плотность вероятности времени восстановления ;

интенсивность восстановления ;

среднее время восстановления ;

дисперсия времени восстановления .

Вероятность выполнения ремонта в заданное время — это вероятность того, что отказ изделия будет устранён в течении заданного t

.

Вероятность невыполнения ремонта в заданное время — это вероятность того, что отказ изделия не будет устранён в течении заданного времени t

.

Плотность вероятности времени восстановления равна

.

Событие, А — отказ изделия не устранён на интервале времени от 0 до t.

Событие В — отказ изделия не устранён на интервале времени от до .

АВ — произведение событий, А и В. Произведением событий, А и В является событие, заключающееся в совместном появлении этих событий

P (AB) = P (A) P (B/A).

P (B/A) — условная вероятность события В при условии, что событие, А произошло (имело место).

— вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени от 0 до t.

P (B/A) = P (AB) / P (A).

Вероятность P (AB) есть вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале т. е. P (AB) =

— вероятность того, что отказ изделия не устранён на интервале времени при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.

Таким образом

;

— вероятность того, что отказ изделия будет устранён на интервале времени при условии, что отказ изделия не был устранён на интервале времени от 0 до t.

.

Пусть; тогда

;

;

;

.

Таким образом:; (*)

или:

Из (*) имеем ;

или ;

или ;

;

вероятность выполнения ремонта в заданное время.

При получаем экспоненциальный закон ремонтопригодности

Определим среднее время восстановления :

;

;

;

Это интеграл можно вычислить по частям

u = t; ;

du = dt; ;

;

;

— дисперсия времени восстановления

В случае экспоненциального закона ремонтопригодности имеем:

; .

Экспериментальная оценка надёжности изделий

Для решения теоретических и практических задач надёжности необходимо знать законы распределения исходных случайных величин. При оценке надёжности изделий может решаться задача определения по данным эксплуатации или специальных испытаний среднего времени безотказной работы, среднего времени восстановления .

Рассмотрим случайную величину Т — время безотказной работы. При эксплуатации или испытаниях изделий в течении определённого времени случайная величина Т может принять n различных значений. Совокупность этих значений случайной величины Т называется статистической выборкой объёма n. Эта выборка может использоваться для статистической оценки закона распределения случайной величины Т.

Приведём пример статистической выборки для 10 однотипных изделий.

При большом числе n удобнее перейти от статистической выборки к статистическому ряду. Определяем диапазон значений случайной величины Т.

где , — максимальное и минимальное значение случайной величины Т.

Этот диапозон R разбивается на интервалы длины

;

где Kколичество интервалов. Целесообразно выбирать число интервалов порядка 10 — 20. Обозначим через количество значений случайной величины Т, попавших в интервал i — й длины. Полагаем; i = 1, 2,…, K.

Определим частоту попадания в i — й интервал

.

Определяем статистическую плотность вероятности времени безотказной работы Т

.

Результаты сведём в таблицу:

Наглядное представление о законе распределения случайной величины Т дают статистические графики. Из них самые распространённые: полигон, гистограмма, статистическая функция распределения.

Полигон строится следующим образом: на оси абцисс откладываются интервалы, i = 1, 2, …k, в серединах интервалов строятся ординаты, равные частотам и концы ординат соединяются.

Построение гистограммы: над каждым интервалом, i = 1, 2, …k строится прямоугольник, площадь которого равна частоте в этом интервале.

Построение статистической функции распределения случайной величины Т. Над каждым интервалом проводится горизонтальная линия на уровне ординаты, равной величине накопленной частоты.

Второй способ построения статистической функции распределения случайной величины Т:

где — частота выполнения события .

где — число опытов, при которых

Статистическая плотность вероятности и статистическая функция распределения случайной величины Т представляют статистический закон распределения случайной величины Т.

Выравнивание статистического закона распределения случайной величины Т

На практике число опытов n ограничено, и статистический закон распределения является каким-то приближением к теоретическому (истинному) закону распределения случайной величины Т. Стремятся подобрать такую теоретическую кривую, которая бы отражала существенные черты статистического закона распределения и не отражала бы случайностей из-за малого количества данных. Вид закона распределения подбирают из существа задачи, либо по внешнему виду статистического закона распределения.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т экспоненциальным законом распределения f (t).

Для экспоненциального закона распределения имеем

;

.

Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный экспоненциальный закон распределения зависит от одного параметра. Оценку параметра обозначим через. Оценку мы определяем из результатов опытов.

Используем для определения метод моментов; приравниваем теоретические и статистические моменты данного закона распределения. Имеем

.

Здесь — первый теоретический момент. По результатам опытов определяем статистический первый момент. Имеем

;

гдевремя безотказной работы i — го изделия; n — число опытов или число изделий, поставленных на испытания. Приравниваем эти моменты

или

откуда

Пример 2: из результатов опытов определим i =1, 2, …, k.

Будем аппроксимировать статистический закон распределения случайной величины Т нормальным законом распределения f (t) вида Нужно определить параметры выбранного закона распределения. Выбранный нормальный закон распределения зависит от двух параметров и. Определим оценки и этих параметров из результатов опытов. Используем для определения и метод моментов. Теоретические моменты закона распределения случайной величины Т:

начальные моменты порядка S определяются соотношением

; S = 1, 2,…;

центральные моменты порядка S определяются формулой

; S = 1, 2, …

Здесь .

Определим и (- начальный момент 1 — го порядка; - центральный момент 2 — го порядка). Имеем:

;

;

Таким образом ;

;

По результатам опытов определяем статистические моменты и .

Имеем: ;

.

Приравниваем и, и; Имеем

=, = ;

или, .

Следовательно ;

.

Для оценки степени расхождения статистического закона распределения с теоретическим законом распределения выбираем меру расхождения, по величине которой можно судить о том, вызвано ли расхождение случайными причинами, или разница между распределениями настолько велика, что выбранный теоретический закон распределения непригоден.

Обозначим меру расхождения через, которая может быть выбрана различными способами.

где — статистическая функция распределения случайной Т; q (t) — функция распределения случайной величины Т.

Например:

;

;

где частота попадания случайной величины Т в интервал, i = 1, 2, …, K;

— вероятность попадания случайной величины Т в интервал, i = 1, 2, …K.

Чем меньше, тем лучше согласуется статистический закон распределения с теоретическим законом распределения.

Выдвигаем гипотезу H о том, что выбранный нами закон распределения случайной величины Т не противоречит статистическому закону распределения. На основании имеющегося статистического материала следует проверить эту гипотезу H. Широко используются два критерия проверки гипотезы H: критерий Пирсона и критерий Колмогорова.

Критерий Пирсона

Разбиваем полученные в опытах значения Т на k интервалов:

k — число интервалов. Выдвигаем гипотезу H о том, что выбранная теоретическая плотность вероятности случайной величины Т есть функция f (t).

В качестве величины выбираем величину, определяемую по формуле

;

где n — число опытов (число отказов);

— частота попадания случайной величины Т в интервал ;

— количество значений случайной величины Т, попавших в интервал ;

— вероятность попадания случайной величины Т в интервал ;

;; i = 1, 2, …, K; ;

— это случайная величина.

Можно доказать, что если верна гипотеза Н, то при распределение величины независимо от вида функции f (t) стремится к распределению с числом степеней свободы

; где K — число интервалов, r — число параметров функции f (t), оцениваемых по результатам опытов, по результатам статистической выборки объёма n.

Т.о. при

;

Пусть — такое число, что можно считать практически невозможным осуществление события с такой вероятностью .

Если то .

маловероятное событие для гипотезы Н.

Т.о, в этом случае гипотеза Н отклоняется, т. е выбранная теоретическая плотность вероятности не согласуется с результатами опытов.

Область Область

— область принятия гипотезы Н (выбранная теоретическая плотность вероятности согласуется с результатами опытов).

— область отклонения гипотезы Н.

n — порядка сотен.

Критерий Колмогорова

Критерий Пирсона можно применять как для непрерывных, так и для дискретных случайных величин. Критерий Колмогорова применяется только для непрерывных случайных величин.

При использовании критерия Колмогорова сравниваются статистическая функция распределения случайной величины Т и выбранная теоретическая функция распределения q (t). Предполагается, что значения параметров функции q (t) известны.

Если параметры теоретической функции распределения q (t) неизвестны, то вместо параметров могут использоваться оценки этих параметров, полученные по результатам опытов, т. е. по статистической выборке. В этом случае принимают .

Определяем

.

Определяем величину

;

— случайная величина.

Выдвигаем гипотезу Н о том, что выбранная нами теоретическая функция распределения не противоречит статистической функции распределения .

Колмогоров доказал следующую теорему.

Если верна гипотеза Н, то при независимо от вида функции q (t) случайная величина имеет функцию распределения вида

;

тогда

.

Методика проверки гипотезы Н по критерию Колмогорова:

определяем статистическую функцию распределения ;

определяем ;

для заданного определяем по таблице распределения Колмогорова.

Если, то проверяемая гипотеза Н отклоняется, т. е. выбранная теоретическая функция распределения q (t) не согласуется (противоречит) статистической функции распределения .

Если <, то проверяемая гипотеза Н принимается, т. е. теоретическая функция распределения q (t) не противоречит функции распрделения .

Область Область

— область принятия гипотезы Н,

— область отклонения гипотезы Н.

Законы распределения отказов и их основные характеристики

Рассмотрим законы распределения случайной величины Т, где Т — время безотказной работы изделия до первого отказа (время наработки на отказ).

Экспоненциальный закон надёжности

При экспоненциальном законе распределения времени безотказной Т интенсивность отказов является постоянной, т. е.

.

Выпишем формулы по которым определяются количественные характеристики надёжности.

Экспоненциальный закон надёжности справедлив для описания внезапных отказов, когда изделие не успевает ещё износиться, т. е. не стареет.

Для экспоненциального закона вероятность безотказной работы на каком-то интервале времени не зависит от прошедшего времени, а зависит от .

.

Здесь — вероятность безотказной работы изделия на интервале времени при условии, что на интервале времени (0, t) изделие работало безотказно.

Нормальный закон распределения

Он характеризует вероятность отказа при длительном изменении характеристик изделия (старение, износ). Нормальный закон распределения характеризует распределение времени безотказной работы изделия при возникновении отказов из-за износа и старения.

Плотность распределения времени безотказной работы Т изделия равна:

где , — параметры закона распределения.

— среднее значение случайной величины Т;

— дисперсия случайной величины Т;

Имеем

;; ;

Для нормального закона распределения q (t) примет вид

.

Введём новую переменную:

;; .

Если, то .

Следовательно

.

Введём в рассмотрение нормированную функцию Лапласа

,

.

Свойства функции Лапласа Запишем q (t) в виде

;

; .

Определим вероятность безотказной работы изделия в интервале времени

Определим интенсивность отказов. Имеем Определим — время безотказной работы изделия на интервале времени при условии, что на интервале времени изделие работало безотказно. Имеем

;

Закон распределения Вейбулла

Для распределения Вейбулла плотность распределения времени безотказной работы Т изделия имеет вид

;

здесь, а и k — параметры закона распределения Вейбулла.

Определим q (t). Имеем Введём новую переменную x вида

;

Определим P (t). Имеем

;

Определим. Получим

Определим среднее время безотказной работы. Имеем Введём новую переменную u вида

;

если t = 0, то u = 0.

если t =, то u = .

— гамма — функция

Определим дисперсию времени безотказной работы Т.

Имеем Введём новую переменную u вида если t = 0, то u = 0. ;

если t =, то u = .

Известно следующее соотношение для гамма — функции.

Следовательно .

Тогда

Рассмотрим случай, когда k = 1; a = .

В этом случае имеем .

Т.е. в этом случае имеем экспоненциальный закон надёжности.

Пусть k = 2. В этом случае имеем закон Рэлея. Закон Вейбулла лучше описывает время безотказной работы изделия, чем экспоненциальный закон, т.к. в этом случае имеется два параметра: a и k. Пусть k = 2; Тогда имеем ;

— закон распределения Рэлея.

;

;

;

;

Виды соединения элементов в систему

Последовательное соединение.

Паралельное соединение.

Последовательное соединение элементов в систему

Соединение элементов называется последовательным, если отказ, хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последовательно соединённых элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все её элементы.

Рассчитаем надёжность системы при последовательном соединении элементов в систему. Рассчитать надёжность системы — это значит по заданным количественным характеристикам надёжности элементов определить количественные характеристики надёжности системы.

Рассмотрим события, i = 1, 2, …, n.

Событие означает безотказную работу элемента i за время t.

Считаем, что события независимые, т. е. вероятность события P () не зависит от события, j i.

В этом случае элементы системы называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие А.

Событие, А означает безотказную работу системы из n последовательно соединённых элементов за время t.

Событие, А имеет место, если одновременно выполняются события, i = 1, 2, …, n. Следовательно событие, А равно произведению событий, т. е.

…

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

…

Обозначим — вероятность безотказной работы системы за время t.

— вероятность безотказной работы i — го элемента за время t.

Откуда …

Т.о., вероятность безотказной работы системы за время t равна произведению вероятностей безотказной работы за время t элементов системы.

В частном случае, когда все элементы системы одинаковы, имеем

Выразим вероятность безотказной работы элементов через их интенсивность отказов

. Имеем

; i = 1, 2, …, n

Запишем формулы для определения вероятности безотказной работы системы. Имеем

или

где

Здесь — интенсивность отказов системы.

Т.о., при последовательном соединении элементов их интенсивность отказов складывается, и интенсивность отказов системы есть сумма интенсивностей отказов элементов системы.

Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна

или

Интенсивность отказов системы

Среднее время безотказной работы системы

В случае экспоненциального закона надёжности всех элементов имеем:

;

; ;

;

;

Т.о. закон распределения времени безотказной работы системы является экспоненциальным.

Определим среднее время безотказной работы системы. Имеем

;

Параллельное соединение элементов в систему

1 Здесь отказ всего соединения элементов наступает только тогда, когда отказывают все входящие в соединения элементы.

Рассмотрим события, j = 1, 2, … m .

2 Событие означает отказ элемента j. Считаем, что события … — независимые, т. е. вероятность появления события P () j не зависит от события, i j. В этом смысле элементы соединения называются независимыми в смысле надёжности.

Рассмотрим событие В.

m Событие В означает отказ всех входящих в соединение элементов. Событие В имеет место, если одновременно выполняются события, j = 1, 2,…, m. Следовательно, событие В равно произведению событий, т. е.

Из теории вероятностей известно, что в этом случае

Обозначим

— вероятность отказа системы;

— вероятность отказа j — го элемента.

Откуда

или

Т.о., вероятность отказа системы паралельно соединённых элементов равна произведению вероятностей отказов всех элементов этого соединения.

Вероятность безотказной работы системы

или

Классификация методов резервирования

Резервирование — это способ повышения надёжности системы путём введения в систему избыточных элементов.

Систему с избыточными элементами называют резервированной.

По способу включения в систему резервных элементов различают постоянное резервирование и резервирование замещением.

Схема постоянного резервирования

Э0 При постоянном резервировании резервные элементы соединены параллельно с основными элементами в течении всего времени работы и находятся в одинаковых условиях Э1 работы с основными элементами.

Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах элементов не происходит, отказавший элемент не отключается.

Эm Плюсы постоянного резервирования — простота, отсутствие перерывов в работе, возможных при других способах резервирования.

Недостатки постоянного резервирования — повышенный расход ресурса резервных элементов, так как резервные элементы находятся в рабочем нагруженном режиме.

При резервировании замещениием отключается основной элемент и включается резервный элемент. Эта операция может выполняться автоматически или вручную.

Схема резервирования замещением

В зависимости от использования резервных элементов до Э0 момента их включения в работу различают три типа режимов резервирования:

1) Режим нагруженного (горячего) резерва;

2) Режим облегченного (тёплого) резерва;

3) Режим ненагруженного (холодного) резерва;

Режим нагруженного (горячего) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в том же режиме, что и основной элемент. Надёжность резервного элемента совпадает с надёжностью основного элемента.

Режим облегченного (тёплого) резерва.

В этом случае резервные элементы находятся в облегченном режиме до момента их включения в работу. Надёжность резервного элемента в этом случае выше надёжности основного элемента.

Режим ненагруженного (холодного) резерва.

В этом случае резервные элементы находяться в выключенном состоянии до момента их включения в работу вместо основного элемента.

Заметим, что при способе постоянного резервирования резервные элементы находятся только в режиме нагруженного резерва. При резервировании замещением резервные элементы могут находиться в любом из трёх режимов.

Резервирование замещением требует дополнительных устройств для контроля состояния элементов, выключения отказавших элементов и включения резервных элементов.

Эта группа устройств называется переключателями.

Переключатели обладают некоторой ненадёжностью. Поэтому при оценке надёжности системы надо учитывать это факт.

Резервирование называется общим, если резервируется вся система.

Схема общего резервирования

Резервирование называется раздельным (поэлементным), если резервируются отдельно элементы системы.

Схема раздельного резервирования

Расчёт надёжности системы с постоянным резервированием

При постоянном резервировании резервные элементы 1,2,…, m соединены параллельно с основным (рабочим) элементом в течении всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается.

Определим вероятность отказа системы.

Вероятность безотказной работы системы.

.

Будем называть элементы системы равнонадёжными, если

j = 0, 1, …, m

Для равнонадёжных элементов имеем

.

При экспоненциальном законе надёжности отдельных элементов имеем

.

Тогда

; .

Определим среднее время безотказной работы резервированной системы

.

Введём новую переменную x вида ;

Если t = 0, то x = 0;

Если t =, то x = 1;

В результате получим Запишем формулу для определения суммы n членов геометрической прогрессии где — первый член суммы; - n — ый член суммы; q — знаменатель прогрессии;

(); .

Выражение

есть сумма n членов геометрической прогрессии, где q = x; n = m + 1;

Следовательно

;

где — среднее время безотказной работы нерезервированной системы. Введём обозначение

;

Для разных значений m имеем

m = 0; = 1;

m = 1; = 1,5;

m = 2; = 1,83.

Результаты сведём в таблицу По данным таблицы строим график зависимости от m.

Расчёт надёжности системы с постоянным общим резервированием

Резервирование называется общим, если резервируется вся система, состоящая из последовательного соединения n элементов.

Основная цепь содержит n элементов.

Число резервных цепей равно m, кратность резервирования равна m. Общее число резервных элементов равно mn.

Определим количественные характеристики надёжности в случае постоянного включения резервных цепей.

Введём обозначения

i = 1, 2, …, n — вероятность безотказной работы элемента Эio ;

j = 1, 2, …, m; i = 1, 2, …, n — вероятность безотказной работы элемента Эij.

Запишем вероятность безотказной работы j — ой цепи

j = 0, 1, …, m (1.7)

Вероятность отказа j — ой цепи

(1.8)

Определим вероятность безотказной работы системы

(1.9)

Подставим (1.7) в (1.9). Получим