ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ
ΠΡΡΡΡ Π² n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ°Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, 1? i? m;, 1? j? p. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ (n — m)-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ, Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° inf Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ n ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ … Π§ΠΈΡΠ°ΡΡ Π΅ΡΡ >
ΠΠΎΠΈΡΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ (ΡΠ΅ΡΠ΅ΡΠ°Ρ, ΠΊΡΡΡΠΎΠ²Π°Ρ, Π΄ΠΈΠΏΠ»ΠΎΠΌ, ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»ΡΠ½Π°Ρ)
ΠΠ°Π΄Π°ΡΠΈ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠ°ΠΊΡΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½Ρ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ Π·Π½Π°ΠΊ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π΄ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠ΅ΠΉ. ΠΠ»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΠΈΡΡ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π», Π½Π° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠ³Π»Π° Π±Ρ ΠΈΠΌΠ΅ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡ (1) Π³ΡΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ, (2) Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π°Π½Π°Π»ΠΈΠ· Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ (3) ΡΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠ΄Π΅Π»ΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° (Ρ.Π΅. Π·Π°ΠΊΠΎΠ½Ρ ΠΏΠΎΠ²Π΅Π΄Π΅Π½ΠΈΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ).
Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ.
ΠΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΏΡΠΈ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠ°Ρ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½Π°Ρ ΠΎ-ΠΎΠΊΡΠ΅ΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ»Π΅ΠΌΠ΅Π½ΡΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ,. Π’ΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ X ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠΎ ΠΊΡΠ°ΠΉΠ½Π΅ΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½ΠΎΠΉ.
Π’ΠΎΡΠΊΠ°, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π³ΠΎ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠ΅ΡΡΠ²Π΅ X Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ, Π½Π°Π·ΡΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠΎΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ Π°Π±ΡΠΎΠ»ΡΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ Π²ΡΠ΅ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ ΠΈ Π²ΡΠ±ΡΠ°ΡΡ Π½Π°ΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅.
ΠΠ°Π΄Π°ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΠΏΠΎΠ³ΡΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ Π²ΡΡΠΈΡΠ»Π΅Π½ΠΈΡ (ΠΈΠ»ΠΈ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»Π΅Π½ΠΈΡ) ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π½Π΅Π±ΡΠ΅ΡΡ. Π ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π·Π°Π΄Π°ΡΡ Π½Π°Π·ΡΠ²Π°ΡΡ ΡΡΠΎΡ Π°ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ. ΠΡΠ΅ ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠ΅ Π΄Π°Π»Π΅Π΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΠΈΠΌΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΊ Π΄Π΅ΡΠ΅ΡΠΌΠΈΠ½ΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΌ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°ΠΌ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΏΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠΎΡΠ½Π΅ΠΉ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ f (x) Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π΄ΠΈΡΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ°, ΡΠΎ ΡΠ΅ΡΠ°Π΅ΠΌ f /(x) = 0 ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ, ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ Π² ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΡ Π³Π»Π°Π²Π°Ρ . ΠΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ f //(x) > 0 Π² Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π°ΠΌ Π½Π° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠ»Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ ΡΡΠΈΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎ Π·Π½Π°ΡΡ Π»ΠΈΠ±ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ , Π»ΠΈΠ±ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ ΠΈΡ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΠΏΡΠΈΠ²Π΅Π΄Π΅Ρ ΠΊ ΠΏΠΎΡΠ΅ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΡ.
ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΡΡΡΡ Π΄Π°Π½Π° Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ° x0, Π° ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Π° ΠΈ Π·Π½Π°ΠΊ ΡΠ°Π³Π° h, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° f (x). ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠΌ Π΄ΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ°Π³Π° h Ρ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅Π½Π΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ Π΅Π³ΠΎ Π·Π½Π°ΠΊΠ° ΠΏΡΠΈ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ f (xk+1) > f (xk), Π³Π΄Π΅ k — ΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΊΠΎΠ²ΡΠΉ Π½ΠΎΠΌΠ΅Ρ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΡΠ΅ΠΌΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΊΠ°ΠΊ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Π½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π»ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅Π³ΠΎ, Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΡΠ΅ΡΡΡ h = - h/3 ΠΈ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠΎΠ΄ΠΎΠ»ΠΆΠ°Π΅ΡΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡ, ΠΏΠΎΠΊΠ°.
|xk+1 — xk|? ΠΎ. (1).
ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΈΠΌ ΠΈΠ· ΡΠ°ΠΌΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΡΡ Π΄Π»Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. ΠΡΠ½ΠΎΠ²Π½ΠΎΠ΅ Π΄ΠΎΡΡΠΎΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌΠ° — Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π² ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ°Ρ ΡΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΠΊΡΠΏΠ΅ΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΌΠΈ ΠΈΡΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡΠΌΠΈ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (x) ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΡΡΡΡΡ Ρ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ h? hmin.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΡΡΡΡ f (x) Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΠΈ ΠΊΡΡΠΎΡΠ½ΠΎ-Π½Π΅ΠΏΡΠ΅ΡΡΠ²Π½Π° Π½Π° [xL, xR], ΠΈ ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ Π½Π° ΡΡΠΎΠΌ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ Π»ΠΎΠΊΠ°Π»ΡΠ½ΡΠΉ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ. ΠΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ΅ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΡΠΏΠΎΠΌΠΈΠ½Π°Π» Π΅ΡΡ ΠΠ²ΠΊΠ»ΠΈΠ΄, ΡΠΎΡΡΠΎΠΈΡ Π² ΡΠ°Π·Π±ΠΈΠ΅Π½ΠΈΠΈ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π° [xL, xR] ΡΠΎΡΠΊΠΎΠΉ x1 Π½Π° Π΄Π²Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, ΡΡΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π΄Π»ΠΈΠ½Ρ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΠΊ Π΅Π³ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΡΠ°Π²Π½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ°ΡΡΠΈ ΠΊ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ΠΉ:
. (2).
Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΎΠ·ΡΠΌΠ΅ΠΌ Π½Π° ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ΅ Π΄Π²Π΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ x1 ΠΈ x2, ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΠΎ ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡ Π΄Π΅Π»ΡΡΠΈΠ΅ ΠΈΡΡ ΠΎΠ΄Π½ΡΠΉ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ:
.
.
Π³Π΄Π΅ ΠΊΠΎΡΡΡΠΈΡΠΈΠ΅Π½Ρ .
ΠΡΠ»ΠΈ f (x1) < f (x2), ΠΌΡ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ½Ρ ΡΡΠ·ΠΈΡΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ ΡΠΏΡΠ°Π²Π°, Ρ. Π΅. Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ xR = x2, Π² ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ xL = x1. ΠΡΡΠ°Π²ΡΠ°ΡΡΡ Π²Π½ΡΡΡΠΈ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΊΠ° ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΠΌ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ ΠΈ Π΄Π΅Π»ΠΈΡ ΡΡΠΎΡ ΠΎΡΡΠ΅Π·ΠΎΠΊ Π² ΠΎΡΠ½ΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π·ΠΎΠ»ΠΎΡΠΎΠ³ΠΎ ΡΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π° ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ (ΡΠΌ. ΡΠΈΡΡΠ½ΠΎΠΊ) Π½Π°ΠΌ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΠ°Π²ΠΈΡΡ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ ΠΎΠ΄Π½Ρ ΡΠΎΡΠΊΡ (x1 ΠΈΠ»ΠΈ x2), Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ ΡΡΠ°Π²Π½ΠΈΠ²Π°ΡΡ Π΅Π³ΠΎ Ρ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠΈΠΌ. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄Π° ΠΈΠ· ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π±ΡΠ΄Π΅Ρ, ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½ΠΎ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ, ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ |x2 — x1|? ΠΎ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ, ΠΎΠ±ΡΡΠ½ΠΎ ΠΈΠ·ΡΡΠΊΠ°Π½Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΌΠΏΠ°ΠΊΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠ½ΠΎΠΉ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ΅Π³Π΄Π° Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΡΡ Π½Π° Π·Π°Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΈΠ½ΡΠ΅ΡΠ²Π°Π»Π΅.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ» ΠΡΡΡΡ f (x) ΠΈΠΌΠ΅Π΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΡΡ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ. Π Π°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ f (x) Π² ΡΡΠ΄ Π’Π΅ΠΉΠ»ΠΎΡΠ° Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xk, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠΈΠ²Π°ΡΡΡ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ΅ΠΌΡ ΡΠ»Π΅Π½Π°ΠΌΠΈ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ:
(3).
ΠΠ½ΡΠΌΠΈ ΡΠ»ΠΎΠ²Π°ΠΌΠΈ, Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xk ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΡΡ ΠΏΠΎΠ»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ° ΠΊΠ°ΠΊ ΠΊΠΎΡΠ΅Π½Ρ ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΎΡ (3):. ΠΡΡΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ xk+1. Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Π²ΡΡΠΈΡΠ»ΠΈΠ² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ f (xk+1), ΠΌΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ°Π΅ΠΌ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ.
ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π² ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ ΡΠ΅Π°Π»ΠΈΠ·Π°ΡΠΈΡΡ Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π½Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡΡ Π°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΠΉ Π²ΠΈΠ΄ ΠΏΠ΅ΡΠ²ΠΎΠΉ ΠΈ Π²ΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ΄Π½ΡΡ f (x). ΠΡ Π·Π°ΠΌΠ΅Π½ΡΡΡ ΠΊΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΠΎ-ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠ½ΡΠΌΠΈ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΡΠΌΠΈ. ΠΠ°ΠΈΠ±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΎ Π±Π΅ΡΡΡ ΡΠΈΠΌΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π½ΠΎΡΡΠΈ Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΡΠΌ ΡΠ°Π³ΠΎΠΌ h:
;
ΠΡΠΎ ΡΠΊΠ²ΠΈΠ²Π°Π»Π΅Π½ΡΠ½ΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΏΠ°ΡΠ°Π±ΠΎΠ»ΠΎΠΉ, ΠΏΡΠΎΡ ΠΎΠ΄ΡΡΠ΅ΠΉ ΡΠ΅ΡΠ΅Π· ΡΡΠΈ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ xk+h, xk, xk-h. ΠΠΊΠΎΠ½ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π²ΡΡΠ°ΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅, ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌΡ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΡΡΠΎΠΈΡΡ ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ, ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²ΠΎ:
. (4).
ΠΠ°Π½Π½ΡΠΉ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ Π²ΡΡΠ΅ΠΈΠ·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈ ΡΠΊΡΡΡΠ΅ΠΌΡΠΌΠ°, Π²ΠΏΠ»ΠΎΡΡ Π΄ΠΎ ΡΠ°ΡΡΡΠΎΡΠ½ΠΈΠΉ ~h2, ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½Π΅ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΎΡ ΠΊΠ²Π°Π΄ΡΠ°ΡΠΈΡΠ½ΠΎΠΉ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π°Π»Π³ΠΎΡΠΈΡΠΌ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅Ρ ΠΏΠΎΡΡΠΎΡΠ½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΊΠΎΠ½ΡΡΠΎΠ»Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ. ΠΠ°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΡΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ, Π΅ΡΠ»ΠΈ.
Π·Π½Π°ΠΌΠ΅Π½Π°ΡΠ΅Π»Ρ ΡΠΎΡΠΌΡΠ»Ρ (4) Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ >0. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ, Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°Π³ Π² ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΎΠΉ. ΠΠ±ΡΡΠ½ΠΎ Π² ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΠΎΠ½Π½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ΅ ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ. ΠΠ½ΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠ°Π΄ΠΈ ΡΠΏΡΠΎΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΡΡΠ΅ΡΠΎΠ² ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°ΡΡ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎ ΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°Π΅Ρ ΡΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ.
. ΠΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΠ°ΠΊ, ΡΠΎ ΠΎΡ xk ΡΠ»Π΅Π΄ΡΠ΅Ρ ΡΠ΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°Π³ Ρ Ρ = Π . ΠΡΠ»ΠΈ ΠΈ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½Π΅Π½ΠΎ, ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ°ΡΡ Ρ ΠΈ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ Π΄Π΅Π»Π°ΡΡ ΡΠ°Π³.
Π§ΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ .
ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² ΠΌΠ½ΠΎΠ³ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Π½Π° ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅ΡΠ΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π΄Π²ΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ f (x, y), ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΡΡΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ Π»Π΅Π³ΠΊΠΎ Π°ΠΏΠΏΡΠΎΠΊΡΠΈΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°ΡΡ Π½Π° ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ. ΠΡΠ΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΠ²ΠΎΠ΄ΡΡΡΡ ΠΊ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ, Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ. Π Π°Π·Π½ΡΠ΅ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Ρ ΠΎΡΠ»ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π°ΠΌΠΈ ΠΏΠΎΡΡΡΠΎΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΉ, ΡΠ°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄, ΠΏΡΠΈΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±Π»Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΠΊ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΌΡ ΡΠΈΠΏΡ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ΡΠ°, ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°ΡΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ ΠΈΠΌ Π΄Π»Ρ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ΡΠ° Π΄ΡΡΠ³ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΠΏΠ°. Π Π°Π·Π»ΠΈΡΠ°ΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠ΅ ΡΠΈΠΏΡ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ΡΠ°:
2) ΠΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³.
1) ΠΠΎΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π½ΡΠΉ (Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠ°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ). |
3) Π Π°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΠΉ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³. | 4) ΠΠ΅ΡΠΏΠΎΡΡΠ΄ΠΎΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ. |
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
ΠΡΡΡΡ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ f (x, y). ΠΡΠ±Π΅ΡΠ΅ΠΌ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (x0, y0). Π Π°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠΈΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ f (x, y0) ΠΈ Π½Π°ΠΉΠ΄Π΅ΠΌ Π΅Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΡ Π»ΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΈΠ· ΡΠ°ΡΡΠΌΠΎΡΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π²ΡΡΠ΅ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ±ΠΎΠ². ΠΡΡΡΡ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x1, y0). Π’Π΅ΠΏΠ΅ΡΡ ΡΠΎΡΠ½ΠΎ ΡΠ°ΠΊ ΠΆΠ΅ Π±ΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΈΡΠΊΠ°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ f (x1, y). ΠΡΠΎΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅ (x1, y1). ΠΠ΄Π½Π° ΠΈΡΠ΅ΡΠ°ΡΠΈΡ ΡΠΏΡΡΠΊΠΎΠ² Π·Π°Π²Π΅ΡΡΠ΅Π½Π°. ΠΡΠ΄Π΅ΠΌ ΠΏΠΎΠ²ΡΠΎΡΡΡΡ ΡΠΈΠΊΠ»Ρ, ΠΏΠΎΡΡΠ΅ΠΏΠ΅Π½Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ°ΡΡΡ ΠΊΠΎ Π΄Π½Ρ ΠΊΠΎΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ Π²ΡΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ .
Π‘Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ Π²ΠΈΠ΄Π° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΈ Π²ΡΠ±ΠΎΡΠ° Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ. ΠΠ±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π½Π΅Π²ΡΡΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΡΠΊ ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ. ΠΡΠ»ΠΈ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΡΡΡ ΠΈΡΡΠΈΠ½Π½ΡΠΉ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³, Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ΅Π½ ΡΠ»ΡΡΠ°ΠΉ, ΠΊΠΎΠ³Π΄Π° ΡΠΏΡΡΠΊ ΠΏΠΎ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ²ΠΎΠ΄ΠΈΡ Π½Π° Π΄Π½ΠΎ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π°, Π° Π»ΡΠ±ΠΎΠ΅ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΏΠΎ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ΅ Π²Π΅Π΄Π΅Ρ Π½Π° ΠΏΠΎΠ΄ΡΠ΅ΠΌ. ΠΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π΅ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ ΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΡ.
ΠΡΠΈ ΠΏΠΎΠΏΠ°Π΄Π°Π½ΠΈΠΈ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΠΈ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° Π² ΡΠ°Π·ΡΠ΅ΡΠΈΠΌΡΠΉ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡΡ ΡΡΠ΅Π·Π²ΡΡΠ°ΠΉΠ½ΠΎ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π ΡΠΈΠ·ΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΡΠΉ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅Ρ ΡΠΊΠ°Π·ΡΠ²Π°Π΅Ρ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎ Π½Π΅ ΡΡΡΠ΅Π½Π° ΠΊΠ°ΠΊΠ°Ρ-ΡΠΎ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΡ, ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΡΡΠ°Ρ ΡΠ²ΡΠ·Ρ ΠΌΠ΅ΠΆΠ΄Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ. Π―Π²Π½ΡΠΉ ΡΡΠ΅Ρ ΡΡΠΎΠΉ Π·Π°ΠΊΠΎΠ½ΠΎΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π΅Π³ΡΠ°Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ².
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ (Π½Π°ΠΈΡΠΊΠΎΡΠ΅ΠΉΡΠ΅Π³ΠΎ) ΡΠΏΡΡΠΊΠ°.
Π ΡΡΠΎΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π΅ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠΈΠ·ΠΈΡΡΠ΅ΡΡΡ ΠΏΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΌ ΠΎΠ½Π° Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠ±ΡΠ²Π°Π΅Ρ, Ρ. Π΅. Π² Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠΈ, ΠΎΠ±ΡΠ°ΡΠ½ΠΎΠΌ. ΠΠ΄ΠΎΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ°ΡΠ°ΠΌΠ΅ΡΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ t, Π΄Π»Ρ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π²ΠΎΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°ΡΡΡΡ Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΠΈΠ·Π²Π΅ΡΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ ΠΎΠ΄Π½ΠΎΠΉ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΠΎΠΉ. Π‘ΠΏΡΡΠΊ ΠΈΠ· ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ² Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π΄ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° t ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅Ρ Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ, Π² ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π½ΠΎΠ²Ρ ΠΎΠΏΡΠ΅Π΄Π΅Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ ΠΈ Π΄Π΅Π»Π°Π΅ΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΡΡΠΊ. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ΅ΠΌ ΠΎΠΊΠΎΠ½ΡΠ°Π½ΠΈΡ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ°, ΠΊΠ°ΠΊ ΠΈ Π² ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°, Π±ΡΠ΄Π΅Ρ .
Π‘ ΠΏΠΎΠΌΠΎΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π° Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ Π³Π»Π°Π΄ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Π² ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΌ ΡΠ»ΡΡΠ°Π΅ Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π±ΡΡΡΡΠ΅Π΅, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΏΡΡΠΊΠ°, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½Π°Ρ ΠΎΠΆΠ΄Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΡΠΈΡΠ»Π΅Π½Π½ΡΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π½Π° Π½Π΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠ΅Π½Π½ΡΠΉ Π²ΡΠΈΠ³ΡΡΡ. Π‘Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΡ ΠΏΠ»ΠΎΡ Π°Ρ Π΄Π»Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ Ρ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΡΠΌ ΡΠ΅Π»ΡΠ΅ΡΠΎΠΌ, Ρ. Π΅. Ρ ΡΠΎΡΠΊΠΈ Π·ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ½ΡΠΉ ΡΠΏΡΡΠΊ Π½Π΅ Π»ΡΡΡΠ΅ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΏΠΎ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ°ΠΌ.
ΠΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠΏΡΡΠΊ Π·Π°ΠΊΠ°Π½ΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ΅, Π³Π΄Π΅ Π»ΠΈΠ½ΠΈΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° ΠΊΠ°ΡΠ°ΡΠ΅Π»ΡΠ½Π° ΠΊ Π»ΠΈΠ½ΠΈΠΈ (ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΠΈ) ΡΡΠΎΠ²Π½Ρ. ΠΡΠΎ ΠΎΠ·Π½Π°ΡΠ°Π΅Ρ, ΡΡΠΎ ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΡΠΉ ΡΠ»Π΅Π΄ΡΡΡΠΈΠΉ ΡΠΏΡΡΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ Π±ΡΡΡ ΠΏΠ΅ΡΠΏΠ΅Π½Π΄ΠΈΠΊΡΠ»ΡΡΠ΅Π½ ΠΏΡΠ΅Π΄ΡΠ΄ΡΡΠ΅ΠΌΡ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π²ΠΌΠ΅ΡΡΠΎ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΠ° Π² ΠΊΠ°ΠΆΠ΄ΠΎΠΉ Π½ΠΎΠ²ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠΎΡΡΠΈΡΠ°ΡΡ Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½Ρ Π² Π½Π°ΡΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠΊΠ΅, ΠΈ ΡΠ°Π·Π²Π΅ΡΠ½ΡΡΡ ΠΎΡΠΈ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΡΠ°ΠΊ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΈΡ ΠΎΡΠ΅ΠΉ Π±ΡΠ»Π° ΠΏΠ°ΡΠ°Π»Π»Π΅Π»ΡΠ½Π° Π³ΡΠ°Π΄ΠΈΠ΅Π½ΡΡ, Π° Π·Π°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΡΡ ΡΠΏΡΡΠΊ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°ΡΠ½ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ.
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³ΠΎΠ².
Π‘ΡΠ°Π²ΠΈΡΡΡ Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌ Π΄Π»Ρ ΠΎΠ²ΡΠ°ΠΆΠ½ΠΎΠΉ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ. ΠΠ»Ρ ΡΡΠΎΠ³ΠΎ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°ΡΡΡΡ Π΄Π²Π΅ Π±Π»ΠΈΠ·ΠΊΠΈΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΠΈ, ΠΈ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΡΠΊ ΠΈΠ· ΡΡΠΈΡ ΡΠΎΡΠ΅ΠΊ (Π»ΡΠ±ΡΠΌ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠΌ), ΠΏΡΠΈΡΠ΅ΠΌ Π²ΡΡΠΎΠΊΠΎΠΉ ΡΠΎΡΠ½ΠΎΡΡΠΈ ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΡΡΠΈ Π½Π΅ ΡΡΠ΅Π±ΡΠ΅ΡΡΡ. ΠΠΎΠ½Π΅ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΠΎΡΠΊΠΈ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ Π»Π΅ΠΆΠ°ΡΡ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π΄Π½Π° ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π°. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ Π΄Π²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ Π² ΡΡΠΎΡΠΎΠ½Ρ ΡΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅Π½ΠΈΡ (ΠΊΠ°ΠΊ Π±Ρ Π²Π±Π»ΠΈΠ·ΠΈ Π΄Π½Π° ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π°). ΠΠ²ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»Π΅Π½ΠΎ ΡΠΎΠ»ΡΠΊΠΎ Π½Π° ΠΎΠ΄ΠΈΠ½ ΡΠ°Π³ ~ h, Π½Π°ΠΏΡΠ°Π²Π»Π΅Π½ΠΈΠ΅ Π²ΡΠ±ΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ ΠΈΠ· ΡΡΠ°Π²Π½Π΅Π½ΠΈΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ Π² ΡΠΎΡΠΊΠ°Ρ ΠΈ. Π’Π°ΠΊΠΈΠΌ ΠΎΠ±ΡΠ°Π·ΠΎΠΌ, Π½Π°Ρ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π½ΠΎΠ²Π°Ρ ΡΠΎΡΠΊΠ°. Π’Π°ΠΊ ΠΊΠ°ΠΊ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΡΠΎΡΠΊΠ° ΡΠΆΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π½Π° ΡΠΊΠ»ΠΎΠ½Π΅ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π°, Π° Π½Π΅ Π½Π° Π΄Π½Π΅, ΡΠΎ ΠΈΠ· Π½Π΅Π΅ ΡΠ½ΠΎΠ²Π° ΠΎΡΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠΏΡΡΠΊ Π² Π½ΠΎΠ²ΡΡ ΡΠΎΡΠΊΡ. ΠΠ°ΡΠ΅ΠΌ Π½Π°ΠΌΠ΅ΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ ΠΏΡΡΡ ΠΏΠΎ Π΄Π½Ρ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π° Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΏΡΡΠΌΠΎΠΉ, ΡΠΎΠ΅Π΄ΠΈΠ½ΡΡΡΠ΅ΠΉ ΠΈ. ΠΡΠ»ΠΈ — ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡ ΠΏΡΠ΅ΠΊΡΠ°ΡΠ°Π΅ΡΡΡ, Π° Π² ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π΄Π°Π½Π½ΠΎΠΌ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π΅ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ .
ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³ΠΎΠ² ΡΠ°ΡΡΡΠΈΡΠ°Π½ Π½Π° ΡΠΎ, ΡΡΠΎΠ±Ρ ΠΏΡΠΎΠΉΡΠΈ Π²Π΄ΠΎΠ»Ρ ΠΎΠ²ΡΠ°Π³Π° ΠΈ Π²ΡΠΉΡΠΈ Π² ΠΊΠΎΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Ρ ΠΎΠΊΠΎΠ»ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°. Π ΡΡΠΎΠΉ ΠΊΠΎΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠ½Π΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π»ΡΡΡΠ΅ ΡΡΠΎΡΠ½ΡΡΡ Π΄ΡΡΠ³ΠΈΠΌΠΈ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄Π°ΠΌΠΈ.
ΠΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊΠ° ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° Π² Π·Π°Π΄Π°ΡΠ°Ρ Ρ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΠΌ ΡΠΈΡΠ»ΠΎΠΌ ΠΈΠ·ΠΌΠ΅ΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ.
ΠΡΡΡΡ Π² n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ Π²Π΅ΠΊΡΠΎΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π·Π°Π΄Π°Π½Π° ΡΠΊΠ°Π»ΡΡΠ½Π°Ρ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ. ΠΠ°Π»ΠΎΠΆΠΈΠΌ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΠ΅ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ, 1? i? m;, 1? j? p. Π£ΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ Π² ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΡ (n — m)-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡ, Π° ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΡ ΡΠΈΠΏΠ° Π½Π΅ΡΠ°Π²Π΅Π½ΡΡΠ² Π²ΡΠ΄Π΅Π»ΡΡΡ n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΡΡ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ, ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½Π½ΡΡ Π³ΠΈΠΏΠ΅ΡΠΏΠΎΠ²Π΅ΡΡ Π½ΠΎΡΡΡΠΌΠΈ. Π§ΠΈΡΠ»ΠΎ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·Π²ΠΎΠ»ΡΠ½ΡΠΌ. Π‘Π»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ, Π·Π°Π΄Π°ΡΠ° inf Π΅ΡΡΡ ΠΏΠΎΠΈΡΠΊ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ° ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΈ n ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΌΠ΅Π½Π½ΡΡ Π² Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ (n — m)-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ E. Π€ΡΠ½ΠΊΡΠΈΡ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π΄ΠΎΡΡΠΈΠ³Π°ΡΡ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΠ°Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΡ ΠΊΠ°ΠΊ Π²Π½ΡΡΡΠΈ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ, ΡΠ°ΠΊ ΠΈ Π½Π° Π΅Π΅ Π³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΠΏΠ΅ΡΠ΅ΠΉΡΠΈ ΠΊ (n — m)-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΈΡΡΠ΅ΠΌΠ΅ ΠΊΠΎΠΎΡΠ΄ΠΈΠ½Π°Ρ ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ ΡΠ΄Π°Π΅ΡΡΡ, ΠΏΠΎΡΡΠΎΠΌΡ ΡΠΏΡΡΠΊ ΠΏΡΠΈΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡΡΡ Π²Π΅ΡΡΠΈ Π²ΠΎ Π²ΡΠ΅ΠΌ n-ΠΌΠ΅ΡΠ½ΠΎΠΌ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠ°Π½ΡΡΠ²Π΅.
ΠΠ°ΠΆΠ΅ Π΅ΡΠ»ΠΈ Π½ΡΠ»Π΅Π²ΠΎΠ΅ ΠΏΡΠΈΠ±Π»ΠΈΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ Π»Π΅ΠΆΠΈΡ Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ E, Π΅ΡΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½Π°Ρ ΡΡΠ°Π΅ΠΊΡΠΎΡΠΈΡ ΡΠΏΡΡΠΊΠ° ΡΡΠ°Π·Ρ Π²ΡΡ ΠΎΠ΄ΠΈΡ ΠΈΠ· ΡΡΠΎΠΉ ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΠΈ. ΠΠ»Ρ ΠΏΡΠΈΠ½ΡΠ΄ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎΠ³ΠΎ Π²ΠΎΠ·Π²ΡΠ°ΡΠ° ΠΏΡΠΎΡΠ΅ΡΡΠ° Π² ΠΎΠ±Π»Π°ΡΡΡ E, Π½Π°ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Ρ, ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΡΠ΅ΡΡΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΡΡΡΠ°ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ½ΠΊΡΠΈΠΉ: ΠΊ ΠΏΡΠΈΠ±Π°Π²Π»ΡΡΡΡΡ ΡΠ»Π΅Π½Ρ, ΡΠ°Π²Π½ΡΠ΅ Π½ΡΠ»Ρ Π² E, ΠΈ Π²ΠΎΠ·ΡΠ°ΡΡΠ°ΡΡΠΈΠ΅ ΠΏΡΠΈ Π½Π°ΡΡΡΠ΅Π½ΠΈΠΈ Π΄ΠΎΠΏΠΎΠ»Π½ΠΈΡΠ΅Π»ΡΠ½ΡΡ ΡΡΠ»ΠΎΠ²ΠΈΠΉ (ΠΎΠ³ΡΠ°Π½ΠΈΡΠ΅Π½ΠΈΠΉ). ΠΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΏΡΠΎΡΡ ΠΈ ΡΠ½ΠΈΠ²Π΅ΡΡΠ°Π»Π΅Π½, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΈΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π½Π΅Π΄ΠΎΡΡΠ°ΡΠΎΡΠ½ΠΎ Π½Π°Π΄Π΅ΠΆΠ½ΡΠΌ. ΠΠΎΠ»Π΅Π΅ ΠΊΠ°ΡΠ΅ΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΡΠΉ ΡΠ΅Π·ΡΠ»ΡΡΠ°Ρ Π΄Π°Π΅Ρ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠ΅ ΡΠΈΠΌΠΏΠ»Π΅ΠΊΡ-ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ΠΎΠ² Π»ΠΈΠ½Π΅ΠΉΠ½ΠΎΠ³ΠΎ ΠΏΡΠΎΠ³ΡΠ°ΠΌΠΌΠΈΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ, ΠΎΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π΄Π°Π½Π½ΡΠΉ Π²ΠΎΠΏΡΠΎΡ Π² ΡΠ°ΠΌΠΊΠ°Ρ Π½Π°ΡΡΠΎΡΡΠ΅Π³ΠΎ ΠΊΡΡΡΠ° Π½Π΅ ΡΠ°ΡΡΠΌΠ°ΡΡΠΈΠ²Π°Π΅ΡΡΡ.