Энергетические переходы, теория излучения

Спонтанные переходы. Спонтанные переходы есть переходы самопроизвольные из верхнего энергетического состояния Е_m в нижнее с меньшим значением энергии Е_n. Такие переходы сопровождаются электромагнитным излучением (испусканием квантов энергии). Частота излучения определяется из постулата Бора, по которому энергия излучённого кванта равна Е_m — E_n.

Количество частиц с одинаковой энергией, соответствующей энергии данного уровня, в единице объёма называется населённостью этого уровня. Пусть номер верхнего уровня m = 2, а нижнего n = 1(рис. 3). Обозначим населённости этих уровней N₂ и.

Рис. 3.

N₁. При спонтанных переходах.

N₂ уменьшается,.

N₁ растёт. Уменьшение N₂ только за счёт спонтанных переходов за время dt пропорционально N₂ и времени dt

.

где А₂₁ — вероятность спонтанных переходов в 1 с.

Решив уравнение, получим где — исходное значение населённости в момент времени.

На сколько уменьшается N₂, на столько же возрастает N₁, так как общее количество частиц в единице объёма остаётся неизменным. Из уравнения для N₂ следует: через время t = 1/A₂₁ населённость N₂ уменьшится в? раз по сравнению с N₂(0). Величину ф₂ = 1/A₂₁ называют временем жизни микрочастицы в возбуждённом состоянии. Обратная ей величина А₂₁ определяет среднее число спонтанных переходов в единице объёма в 1 с или среднее число частиц, совершивших самопроизвольный переход из верхнего состояния в нижнее. Надо заметить, что вероятность А₂₁ отнесена к 1 с, то есть имеет размерность, и поэтому может быть любой по значению величиной в отличие от математической вероятности.

Число спонтанных переходов за 1 с равно n₂₁ = A₂₁•N₂. Поэтому за 1 с излучается энергия Случайность спонтанного перехода означает, что различные частицы излучают не одновременно и независимо, то есть фазы излучаемых отдельными частицами волн не согласованы друг с другом. Поэтому спонтанное излучение не когерентно. Излучение всех обычных источников света есть результат спонтанного излучения.

В системах несколькихэнергетических уровней возможны спонтанные переходы с данного уровня на различные нижние (рис. 3,2). Полная вероятность А_i для спонтанного перехода Е_i равна сумме вероятностей отдельных переходов.

.

Уровни, для которых вероятность спонтанных переходов мала, то есть время жизни велико, называются метастабильными. Время жизни на i-ом уровне в многоуровневой системе определяется так.

.

А_ik — коэффициент Эйнштейна для спонтанного перехода.

Вынужденные переходы. Вынужденный переход происходит под действием внешнего электромагнитного поля, частота которого совпадает с частотой перехода или близка к ней. При этом возможны переходы вниз и наоборот. В первом случае происходит вынужденное испускание кванта hн₂₁. Особенность вынужденного кванта состоит в том, что он полностью идентичен кванту энергии внешнего поля. Вынужденное излучение имеет такие же частоту, фазу, направление распространения и поляризацию. Поэтому вынужденное излучение увеличивает энергию электромагнитного поля с частотой перехода н₂₁. Это явление служит предпосылкой создания квантовых усилителей и генераторов. Необходимо заметить, что на реализацию вынужденного перехода не затрачивается энергия внешнего поля, которое есть лишь своеобразный стимулятор процесса.

В противоположность, для перевода микрочастицы в верхнее энергетическое состояние необходимо затратить долю энергии внешнего поля, равную hн₂₁. При каждом вынужденном переходе вверх затрачивается один квант энергии внешнего поля.

Вынужденные переходы тоже имеют статистический характер. Поэтому есть необходимость ввести вероятностные коэффициенты: w₂₁(в) — вероятность вынужденного перехода вниз, и w₁₂(в) — вероятность вынужденного перехода вверх в 1 с. Эти вероятности пропорциональны интенсивности (плотности) энергии внешнего поля U_н и определяются так:

где В₁₂ и В₂₁ есть коэффициенты Эйнштейна для вынужденных переходов. Они имеют смысл вероятностей вынужденных переходов в 1 с при единичной плотности поля U_н.

Число вынужденных переходов вниз с излучением в единицу времени в единице объёма пропорционально w₂₁(в) и населённости верхнего уровня N₂ :

Аналогично при тех же условиях число вынужденных переходов вверх с поглощением.

Соотношение между коэффициентами Эйнштейна. Связь между коэффициентами Эйнштейна А₂₁, В₂₁ и В₁₂ можно установить из рассмотрения состояния термодинамического равновесия системы атомов при определённой температуре Т.

Пусть система атомов имеет два уровня энергии Е₁ и Е₂. При термодинамическом равновесии в системе нет изменения энергии, поэтому число излучённых квантов должно быть равно числу поглощённых. Следовательно, в единицу времени во всей системе общее число переходов вниз должно быть равно общему числу переходов вверх, то есть n₁₂ = n₂₁ (принцип детального равновесия). В рассматриваемой системе формально нет внешнего поля и должны существовать только спонтанные переходы. Однако спонтанное излучение каждого атома является внешним для других атомов и вызывает вынужденные переходы с поглощением или излучением энергии. В состоянии равновесия в системе должно существовать равновесное значение плотности поля собственного излучения U_н, которое можно использовать для расчёта числа вынужденных переходов в системе n₁₂(в) и n₂₁(в).

Полное число переходов вниз n₂₁ в состоянии равновесия равно сумме числа спонтанных переходов n₂₁(c) и числа вынужденных переходов n₂₁(в) Число переходов вверх n₁₂ определяется только вынужденными переходами с поглощением Следовательно откуда следует выражение для равновесной плотности поля.

Соотношение населённостей уровней в состоянии термодинамического равновесия подчиняется распределению.

Больцмана.

так что в итоге получаем.

Формула Планка для спектральной плотности энергетической светимости чёрного тела такова.

.Тождество формул достигается при В₁₂ = В₂₁ = В и А₂₁ = 2рн³В/c². Таким образом, если квантовая система и поле излучения находятся в состоянии термодинамического равновесия, то вероятности вынужденных переходов в единицу времени при единичной плотности поля В₁₂ и В₂₁ должны быть одинаковыми. Вероятность спонтанного перехода пропорциональна третьей степени частоты, поэтому спонтанные переходы сильнее всего проявляются в оптическом диапазоне.

Безызлучательные переходы. Атомы и молекулы газа в результате неупругих соударений друг с другом или с электронами теряют или приобретают некоторую долю энергии. При этом нет ни излучения, ни поглощения электромагнитной энергии. Такие энергетические переходы принято называть безызлучательными. В твёрдом теле безызлучательные переходы происходят вследствие колебательного движения кристаллической решётки. Безызлучательные переходы характеризуются вероятностью перехода между уровнями k и i (k>i) вниз С_ik и вверх С_ki c потерей и получением энергии ДЕ. Если происходят одновременно спонтанные и безызлучательные переходы, то полная вероятность переходов равна (А_ki + C_ki), а время жизни уровня k определяется как.

.