Моделирование движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха

Опыт Штерна-Герлаха широко используется для демонстрации пространственного квантования, обусловленного наличием спина у атомов.

Ввиду исключительного значения эксперимента Штерна-Герлаха для квантовой механики движение частиц в их аппарате неоднократно было исследовано с разных сторон. Исторически опыт Штерна-Герлаха был направлен на проверку гипотез Бора, Зоммерфельда и Дебая о пространственном квантовании момента. Отметим, что Бор предсказывал расщепление на два пучка, тогда как Зоммерфельд и Дебай предсказывали расщепление на три пучка.

Однако в настоящее время этот опыт считается своеобразным архетипом измерения квантовых свойств, поскольку в этом эксперименте впервые было открыто свойство пространственного квантования.

Экспериментальная установка Штерна и Герлаха состояла из печки, в которой при температуре около 1300С испарялось серебро, и электромагнита с южным полюсом в форме лезвия длиной 3.5 см, в поле которого отклонялся пучок атомов серебра — рис. 1. Пучок атомов формировался при истечении из печки через круглое отверстие площадью квадратных миллиметров. Этот пучок падал на диафрагму в форме щели длиной 0.8 мм и шириной 0.03−0.04 мм, проделанную в платиновой фольге, установленной на расстоянии 2.5 см от первой диафрагмы вплотную к передней кромке магнита. Щель была ориентирована длинной стороной перпендикулярно лезвию ножа электромагнита — рис. 1, а. Вплотную к задней кромке магнита была приставлена пластина, на которой происходило осаждение атомов серебра. В установке поддерживался вакуум около миллиметров ртутного столба. Отдельный эксперимент по осаждению атомов длился от 4 до 8 часов. За это время атомы могли образовать заметный слой серебра, который изучался под микроскопом. В отсутствии магнитного поля атомы при осаждении образовывали фигуру, которая была проекцией щели — левый рис. 2.

Рис. 1. Общий вид (е) и схема аппарата Штерна-Герлаха по данным различных авторов: а — расположение щели B относительно лезвия магнита S; b — «от шарика К атомный пучок, вырезаемый диафрагмой В, проходит через сильное неоднородное магнитное поле NS, а затем этот пучок перехватывается пластинкой Р»; c — «Один полюс имел вид лезвия, а второй, помещенный против него, был плоским либо с выемкой»

Проекция щели имела следующие размеры: длина 1.1, ширина в самом узком месте 0.06 мм и в самом широком месте 0.1 мм. Эти данные позволяют оценить компоненты скорости пучка при истечении из щели. При наличии магнитного поля пучок атомов серебра рассеивался, в результате на пластине возникала своеобразная фигура — правый рис. 2. Осуществлявший эти эксперименты Герлах отправил телеграмму Штерну со словами «Бор оказался прав!» и фотографию фигуры рассеяния атомов Бору со словами «мы поздравляем Вас с подтверждением вашей теории!».

Рис. 2. Проекция щели (слева) и фигура, возникающая при рассеянии атомов серебра в аппарате Штерна-Герлаха в магнитном поле (справа)

Арнольд Зоммерфельд — автор монографии по квантовой механике, первое издание которой было опубликовано еще в 1919 г, предложил следующую интерпретацию результатов эксперимента: «Как можно истолковать эти две полоски на фотографии? Очевидно, ориентационным квантованием атомов серебра. Как только атом попадает в магнитное поле, его магнитный момент ориентируется параллельно или антипараллельно силовым линиям поля».

Аналогичную интерпретацию, охватывающую более общий случай, дал Борн: «Штерн добился достаточной неоднородности, удачно сконструировав полюсы магнита, создающего поле. Один полюс имел вид лезвия, а второй, помещенный против него, был плоским либо с выемкой (смотрите рис. 1, с). Благодаря этому магнитные силовые линии сгущались у лезвия, так что напряженность поля около него была значительно больше, чем у другого полюса. Выбрасываемый из печи сквозь систему диафрагм тонкий пучок атомов пролетал между полюсами. Каждый отдельный атом отклонялся в неоднородном поле в соответствии с величиной и направлением его момента. Следы отдельных атомов можно было увидеть на экране (усиливая их в случае необходимости, как в фотографии). С классической точки зрения на экране должен был получиться при этом расширившийся пучок — ведь по классической теории моменты летящих сквозь поле атомов могут иметь все направления относительно поля. Но в квантовой теории, с учетом пространственного квантования, возможны не все ориентации, а лишь некоторое конечное число их… Следовательно, на экране след пучка будет расщеплен на конечное число отдельных следов. Реально на экране должно появиться в точности отдельных следов, если атомы находятся в состоянии с внутренним квантовым числом».

Бом дает похожую интерпретацию: «Поскольку перед тем, как атомы попадают в магнитное поле, нет предпочтительных ориентации, то очевидно, что атомы с каждым возможным значением будут встречаться одинаково часто и беспорядочным образом по мере их испарения с металла. Поэтому на экране, получается, по одному пятну для каждого из возможных значений. Так как полное число возможных значений составляющих равно, то можно определить простым подсчетом пятен на экране…

Надо отметить, что опыт Штерна и Герлаха дает прямое доказательство квантовой природы момента количества движения, поскольку по классической теории должен быть непрерывный ряд значений моментов количества движения и, следовательно, непрерывный ряд точек на экране, в которые попадают атомы".

Наконец, авторы даже не утруждают себя описание аппарата Штерна-Герлаха и их опытов с атомами серебра, но в двух главах просто освещают принципы квантования спина частиц, которые могут быть открыты с использованием некой усовершенствованной теоретической модели этого аппарата. Свою теорию они начинают словами: «Начнем с явления расщепления пучка атомов на три отдельных пучка в опыте Штерна-Герлаха. Вы помните, что если имеется неоднородное магнитное поле, созданное магнитом с острым полюсным наконечником, и если через прибор пропустить пучок частиц, то этот пучок может расщепиться на несколько пучков; их количество зависит от сорта атома и его состояния».

Таким образом, этот краткий обзор показывает, что квантование момента атомов серебра было признано основным механизмом расщепления пучка представителями старой школы квантовой механики. Никакие альтернативные гипотезы не рассматривались. В то время это казалось очевидным, однако в наше время, когда поставлен вопрос о происхождении квантовой механики, уместно будет рассмотреть и различные альтернативные гипотезы.

В работе Штерна и в монографиях предполагается, что движение атомов в аппарате Штерна-Герлаха описывается уравнениями классической механики, в которых учитывается сила, действующая на частицу, обладающую магнитным моментом в форме:

(1).

Роль квантовой механики сводится к утверждению, что магнитный момент в уравнении (1) квантуется пропорционально угловому моменту или спину. В таком виде теория рассеяния атомов в неоднородном магнитном поле использовалась для решения практических задач, связанных с определение магнитного момента атомов по методу Штерна-Герлаха.

Однако такое положение теории нельзя признать удовлетворительным, поэтому предпринимались многочисленные попытки описания движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха в рамках квантовой механики. При этом мало кого интересовали детали эксперимента и специфический вид фигуры рассеяния атомов, представленной на левом рис. 2.

В настоящей работе в рамках классической и квантовой механики исследовано движение частиц в оригинальном аппарате Штерна-Герлаха. Нас, прежде всего, интересовала возможность достаточно точного воспроизведения фигуры рассеяния, приведенной на рис. 2, а также проверка различных альтернативных гипотез расщепления пучка атомов.

Динамика частиц.

Рассмотрим движение атомов в аппарате Штерна-Герлаха. Предполагается, что атомы во внешнем магнитном поле движутся как классические частицы под влиянием силы (1), имеем:

(2).

Здесь — масса атома. Обозначим — расстояние от диафрагмы до экрана, высота щели и ее ширина соответственно. Граничные условия задаются в плоскости диафрагмы в сечении в форме:

(3).

Здесь — координаты точки в пределах щели, — расстояние от центра щели до лезвия магнита — рис. 3. Скорость частицы в плоскости щели задается в соответствии с температурой пучка в предположении, что выполняется распределение Максвелла. Штерн в ряде публикаций, показал, что среднее значение скорости в пучке соответствует:

(4).

— постоянная Больцмана, — температура атомов в печи. Для атомов серебра находим из уравнения (4) .

Используя данные в пределах щели положим:

(5).

Для этих данных расчетная проекция щели представлена на рис 3, d.

Моделирование траекторий частиц в классической механике.

Как известно, в аппарате Штерна-Герлаха был использован электромагнит фирмы Hartmann & Braun. Данные по распределению градиента в зависимости от расстояния до лезвия магнита были опубликованы в работе. В настоящей работе магнитное поле представляется как суперпозиция поля двух токов, текущих в противоположных направлениях вдоль лезвия ножа магнита расположенных в точках, где. Поле двух токов описывается выражениями:

(6).

Выражения (6) позволяют вычислить градиенты поля в виде:

(7).

Здесь нормировочный множитель подбирается из условия согласования с экспериментальными данными — рис. 3. Распределение поля относительно щели показано на рис. 3, a. Сопоставление градиента с экспериментальными данными показано на рис. 3, b.

Рис. 3. a) Силовые линии индукции магнитного поля в окрестности щели диафрагмы (прямоугольник красного цвета); b) градиент в зависимости от расстояния до острия лезвия магнита вместе с данными; c) фигура рассеяния частиц в случае квантования момента; d) проекция щели, вычисленная в соответствии с начальными данными (5)

В соответствии с гипотезой Зоммерфельда действующие силы определяются из выражения (1), в котором магнитный момент принимает два значения, соответствующие ориентации по полю или против поля:

(8).

Здесь — магнетон Бора. Подставляя выражение (8) в уравнение (1) и предполагая, что находим:

(9).

Уравнение (2) вместе с выражением силы (9) широко используется для моделирования движения частиц в аппаратах типа Штерна-Герлаха. Основная задача, которая ставится в этом случае, это определение величины расщепления в плоскости симметрии. Если атом обладает моментом, то должно быть расщепление напучков, что позволяет определить значение. Однако эта модель не позволяет установить вид фигуры рассеяния атомов, поскольку используется выражение силы (9), справедливое только в плоскости симметрии .

Наиболее естественное расширение описанной выше модели заключается в том, что вместо условия квантования вводится некоторый угол между направлением момента и вектором индукции магнитного поля, в результате чего выражение силы (1) принимает вид:

(10).

Модель (10) воспроизводит квантовые свойства системы, рассмотренные ниже. Если в уравнениях (10) мы положим, то придем к уравнению (9). Результаты моделирования координат траекторий частиц на плоскости в сечении по уравнениям (2)-(7) с выражением силы в форме (10) представлены на среднем рис. 3. Положение атомов в пределах фигуры рассеяния представляется парой координат, которые отображают частицу, начавшую движение в некоторой точке с координатами, лежащей в пределах щели диафрагмы. Отметим качественное совпадение фигуры рассеяния на рис. 3 с экспериментально наблюдаемой фигурой, представленной на рис. 2.

Если предположить, что есть отклонение от точного «квантового» значения, то получим ряд промежуточных моделей между точной квантовой моделью и классической моделью, в которой угол изменяется непрерывно в пределах — рис. 4. В этом случае, как следует из данных, приведенных на рис. 4, в классическом случае пучок не расщепляется, а фигура рассеяния получается сплошной. Отметим, что данные на рис. 4 соответствуют значениям координаты частицы в пределах щели .

Однако это справедливо только для модели (10), которая вытекает из предположения (8) о поляризации пучка вдоль направления магнитного поля. Можно отказаться от этого предположения и просто положить в уравнении (2), что:

(11).

Результаты моделирования траекторий частиц по уравнениям (2)-(7) с выражением силы в форме (11) представлены на рис. 5 для случая — цветные рисунки, и для случая — серые рисунки для разной высоты щели — мм соответственно. Как следует из данных, приведенных на рис. 5, высота и ширина фигуры рассеяния, как и ее внешний вид не согласуется с экспериментальными данными. Однако существенным результатом можно считать расщепление на два пучка в средней части фигуры, хотя никакого квантового механизма в модели (11) не предполагается.

Рис. 4. Фигура рассеяния для частиц, покидающих щель из точки с координатамидля различных углов

Рис. 5. Фигура рассеяния для частиц, покидающих щель из точки с координатамидля различных углов — цветные рисунки и — серые рисунки. Высота щели указана над рисунками

Квантовое описание эксперимента Штерна-Герлаха.

Отметим, что классическая частица, обладающая магнитным моментом, испытывает во внешнем магнитном поле не только влияние силы (1), но и момента сил, что приводит к изменению механического углового момента в соответствии с уравнением:

(12).

В случае линейной связи между угловым и магнитным моментом уравнение (12) описывает прецессию углового момента с характерной частотой. Поскольку, однако предполагается, что магнитный момент атомов серебра квантуется, то вместо уравнения (12) имеет место квантовое движение в соответствии с уравнением Паули.

Как известно движение нейтральных частиц в магнитном поле в нерелятивистском приближении описывается волновой функцией, которая является двухкомпонентным спинором и удовлетворяет уравнению:

(13).

Здесь — матрицы Паули. Полагая, что вектор индукции магнитного поля имеет вид, находим систему уравнений:

(14).

Систему уравнений (14) будем решать численно в следующих приближениях:

Считаем, что масштабы изменения величин вдоль направления пучка, вдоль щели и попрек нее пропорциональны соответствующим масштабам — расстояние от диафрагмы до экрана, высоте щели и ее ширине соответственно;

предполагается, что движение частиц вдоль направления пучка является свободным, следовательно, решение уравнения (13) может быть представлено в форме бегущей волны .

В этих предположения система уравнений (14) может быть приведена к виду:

(15).

Здесь введены новые переменные. Отметим, что решение уравнения (15) зависит от координаты как от параметра через распределение магнитного поля и начальные данные.

Учитывая, что исследуемый пучок частиц является достаточно узким, используем разложение в степенные ряды для компонент магнитного поля в форме:

(16).

Здесь параметры связаны с параметрами, фигурирующими в выражениях (6). Отметим, что, как для выражений компонент поля в форме (6), так и для выражений (16).

Для уравнения (15) поставим следующую задачу о распаде начального состояния:

(17).

Результаты численного моделирования задачи (15)-(17) приведены на рис. 6−7.

Рис. 6. Распад начального состояния в магнитном поле: верхние рисунки соответственно; нижние рисунки соответственно

Из данных, приведенных на рис. 6 следует, что чистые состояния, соответствующие отклоняются в магнитном поле строго вверх или вниз, а смешанные состояния со значением распадаются на два пучка одинаковой интенсивности.

Рис. 7. Распад начального состояния в магнитном поле: при в плоскости образуется замкнутая фигура — нижний средний рисунок, которая по форме очертания похожа на экспериментально наблюдаемую фигуру

квантовый волновой нерелятивистский магнитный Данные, приведенные на рис. 7 показывают различные варианты формирования фигуры рассеяния частиц, в зависимости от параметра характеризующего положение щели относительно полюса магнита и параметра, характеризующего геометрию щели. Отметим, что в квантовом случае всегда есть разделение на два пучка, однако фигура рассеяния получается не столь выразительная, как в классическом случае — рис. 3−5.

Наконец, заметим, что выражение силы (10) следует из системы уравнений (14) в предположении, что существует отображение, которое переводит квантовую картину движения — рис. 6, в классическую картину, в которой волновая функция заменяется пучком траекторий. Априори не ясно, существует ли такое отображение в данной задаче, хотя классическая механика и используется повсеместно для моделирования движения частиц в аппарате Штерна-Герлаха. Поскольку результаты, представленные на рис. 3−4, не противоречат экспериментальным данным и, более того, согласуются с ними качественно и количественно, то можно рассматривать выражения (10) как реалистичную модель силы действующей на частицы со спином Ѕ в магнитном поле.