ΠΡΠ΅Π΄ΠΏΠΎΠ»Π°Π³Π°Π΅ΡΡΡ, ΡΡΠΎ ΠΊΡΠΈΠΏΡΠΎΡΡΠΎΠΉΠΊΠΎΡΡΡΡ RSA Π·Π°Π²ΠΈΡΠΈΡ ΠΎΡ ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π». ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π½ΠΈΠΊΠΎΠ³Π΄Π° Π½Π΅ Π±ΡΠ»ΠΎ Π΄ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ ΠΌΠ°ΡΠ΅ΠΌΠ°ΡΠΈΡΠ΅ΡΠΊΠΈ, ΡΡΠΎ Π½ΡΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ, ΡΡΠΎΠ±Ρ Π²ΠΎΡΡΡΠ°Π½ΠΎΠ²ΠΈΡΡ m ΠΏΠΎ c ΠΈ e. ΠΠ΅ ΠΈΡΠΊΠ»ΡΡΠ΅Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡ ΡΠΎΠ²ΡΠ΅ΠΌ ΠΈΠ½ΠΎΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΊΡΠΈΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π° RSA. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ, Π΅ΡΠ»ΠΈ ΡΡΠΎΡ Π½ΠΎΠ²ΡΠΉ ΡΠΏΠΎΡΠΎΠ± ΠΏΠΎΠ·Π²ΠΎΠ»ΠΈΡ ΠΊΡΠΈΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΊΡ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ d, ΠΎΠ½ ΡΠ°ΠΊΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ Π±ΡΡΡ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ Π΄Π»Ρ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π±ΠΎΠ»ΡΡΠΈΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π». Π’Π°ΠΊ ΠΆΠ΅ ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ Π°ΡΠ°ΠΊΠΎΠ²Π°ΡΡ RSA, ΡΠ³Π°Π΄Π°Π² Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅ (p-1)(q-1). ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ Π½Π΅ ΠΏΡΠΎΡΠ΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π½ΠΎ, ΡΡΠΎ ΠΏΡΠΈ ΠΈΡΠΏΠΎΠ»ΡΠ·ΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΠΈ RSA ΡΠ°ΡΠΊΡΡΡΠΈΠ΅ Π΄Π°ΠΆΠ΅ Π½Π΅ΡΠΊΠΎΠ»ΡΠΊΠΈΡ
Π±ΠΈΡΠΎΠ² ΠΈΠ½ΡΠΎΡΠΌΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΠΎ ΡΠΈΡΡΠΎΡΠ΅ΠΊΡΡΡ Π½Π΅ Π»Π΅Π³ΡΠ΅, ΡΠ΅ΠΌ Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ Π²ΡΠ΅Π³ΠΎ ΡΠΎΠΎΠ±ΡΠ΅Π½ΠΈΡ.
Π‘Π°ΠΌΠΎΠΉ ΠΎΡΠ΅Π²ΠΈΠ΄Π½ΠΎΠΉ Π°ΡΠ°ΠΊΠΎΠΉ Π½Π° RSA ΡΠ²Π»ΡΠ΅ΡΡΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΠ΅ n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΡΠ±ΠΎΠΉ ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΈΠΊ ΡΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠΎΠ»ΡΡΠΈΡΡ ΠΎΡΠΊΡΡΡΡΠΉ ΠΊΠ»ΡΡ e ΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ n. Π§ΡΠΎΠ±Ρ Π½Π°ΠΉΡΠΈ ΠΊΠ»ΡΡ Π΄Π΅ΡΠΈΡΡΠΎΠ²Π°Π½ΠΈΡ d, ΠΏΡΠΎΡΠΈΠ²Π½ΠΈΠΊ Π΄ΠΎΠ»ΠΆΠ΅Π½ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠΈΡΡ n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. ΠΡΠΈΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΡΠΈΠΊ ΠΌΠΎΠΆΠ΅Ρ ΠΏΠ΅ΡΠ΅Π±ΠΈΡΠ°ΡΡ Π²ΡΠ΅ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΡΠ΅ d, ΠΏΠΎΠΊΠ° Π½Π΅ ΠΏΠΎΠ΄Π±Π΅ΡΠ΅Ρ ΠΏΡΠ°Π²ΠΈΠ»ΡΠ½ΠΎΠ΅ Π·Π½Π°ΡΠ΅Π½ΠΈΠ΅. ΠΠΎ ΠΏΠΎΠ΄ΠΎΠ±Π½Π°Ρ ΡΠΈΠ»ΠΎΠ²Π°Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΠ° Π΄Π°ΠΆΠ΅ ΠΌΠ΅Π½Π΅Π΅ ΡΡΡΠ΅ΠΊΡΠΈΠ²Π½Π°, ΡΠ΅ΠΌ ΠΏΠΎΠΏΡΡΠΊΠ° ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ n Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. Π 1993 Π³. ΠΡΠ» ΠΏΡΠ΅Π΄Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΊΠΈΡΠΏΡΠΎΠ°Π½Π°Π»ΠΈΠ·Π°, ΠΎΡΠ½ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΡΠΉ Π½Π° ΠΌΠ°Π»ΠΎΠΉ ΡΠ΅ΠΎΡΠ΅ΠΌΠ΅ Π€Π΅ΡΠΌΠ°. Π ΡΠΎΠΆΠ°Π»Π΅Π½ΠΈΡ, ΡΡΠΎΡ ΠΌΠ΅ΡΠΎΠ΄ ΠΎΠΊΠ°Π·Π°Π»ΡΡ ΠΌΠ΅Π΄Π»Π΅Π½Π½Π΅Π΅ ΡΠ°Π·Π»ΠΎΠΆΠ΅Π½ΠΈΡ Π½Π° ΠΌΠ½ΠΎΠΆΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ. Π‘ΡΡΠ΅ΡΡΠ²ΡΠ΅Ρ Π΅ΡΠ΅ ΠΎΠ΄Π½Π° ΠΏΡΠΎΠ±Π»Π΅ΠΌΠ°. ΠΠΎΠ»ΡΡΠΈΠ½ΡΡΠ²ΠΎ ΠΎΠ±ΡΠ΅ΠΏΡΠΈΠ½ΡΡΡΡ
ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² ΡΡΡΠ°Π½Π°Π²Π»ΠΈΠ²Π°Π΅Ρ ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ ΡΠΈΡΠ»Π° Ρ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΠΎΠΉ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡΡ. Π§ΡΠΎ ΠΏΡΠΎΠΈΠ·ΠΎΠΉΠ΄Π΅Ρ, Π΅ΡΠ»ΠΈ p ΠΈΠ»ΠΈ q ΠΎΠΊΠ°ΠΆΠ΅ΡΡΡ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΡΠΌ? Π’ΠΎΠ³Π΄Π° Ρ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ n Π±ΡΠ΄Π΅Ρ ΡΡΠΈ ΠΈΠ»ΠΈ Π±ΠΎΠ»Π΅Π΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»Π΅ΠΉ.
Π‘ΠΎΠΎΡΠ²Π΅ΡΡΡΠ²Π΅Π½Π½ΠΎ Π½Π΅ΠΊΠΎΡΠΎΡΡΠ΅ Π΄Π΅Π»ΠΈΡΠ΅Π»ΠΈ Π±ΡΠ΄ΡΡ ΠΌΠ΅Π½ΡΡΠ΅ ΡΠ΅ΠΊΠΎΠΌΠ΅Π½Π΄ΠΎΠ²Π°Π½Π½ΠΎΠΉ Π²Π΅Π»ΠΈΡΠΈΠ½Ρ, ΡΡΠΎ, Π² ΡΠ²ΠΎΡ ΠΎΡΠ΅ΡΠ΅Π΄Ρ, ΠΎΡΠΊΡΡΠ²Π°Π΅Ρ Π²ΠΎΠ·ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎΡΡΠΈ Π΄Π»Ρ Π°ΡΠ°ΠΊΠΈ ΠΏΡΡΠ΅ΠΌ ΡΠ°ΠΊΡΠΎΡΠΈΠ·Π°ΡΠΈΠΈ ΠΌΠΎΠ΄ΡΠ»Ρ.
ΠΡΡΠ³Π°Ρ ΠΎΠΏΠ°ΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π·Π°ΠΊΠ»ΡΡΠ°Π΅ΡΡΡ Π² Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΠΏΡΠ΅Π²Π΄ΠΎΠΏΡΠΎΡΡΡΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» (ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΠ°ΡΠΌΠ°ΠΉΠΊΠ»Π°), ΡΠ΄ΠΎΠ²Π»Π΅ΡΠ²ΠΎΡΡΡΡΠΈΡ
ΡΠ΅ΡΡΠ°ΠΌ Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ, Π½ΠΎ ΠΏΡΠΈ ΡΡΠΎΠΌ Π½Π΅ ΡΠ²Π»ΡΡΡΠΈΡ
ΡΡ ΠΏΡΠΎΡΡΡΠΌΠΈ. ΠΠ΄Π½Π°ΠΊΠΎ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠ°ΠΊΠΈΡ
ΡΠΈΡΠ΅Π» ΠΏΡΠ΅Π½Π΅Π±ΡΠ΅ΠΆΠΈΠΌΠΎ ΠΌΠ°Π»Π°. ΠΠ° ΠΏΡΠ°ΠΊΡΠΈΠΊΠ΅, ΠΏΠΎΡΠ»Π΅Π΄ΠΎΠ²Π°ΡΠ΅Π»ΡΠ½ΠΎ ΠΏΡΠΈΠΌΠ΅Π½ΡΡ Π½Π°Π±ΠΎΡ ΡΠ°Π·Π»ΠΈΡΠ½ΡΡ
ΡΠ΅ΡΡΠΎΠ² Π½Π° ΠΏΡΠΎΡΡΠΎΡΡ, ΠΌΠΎΠΆΠ½ΠΎ ΡΠ²Π΅ΡΡΠΈ Π²Π΅ΡΠΎΡΡΠ½ΠΎΡΡΡ Π³Π΅Π½Π΅ΡΠ°ΡΠΈΠΈ ΡΠΎΡΡΠ°Π²Π½ΠΎΠ³ΠΎ ΡΠΈΡΠ»Π° Π΄ΠΎ Π½Π΅ΠΎΠ±Ρ
ΠΎΠ΄ΠΈΠΌΠΎΠ³ΠΎ ΠΌΠΈΠ½ΠΈΠΌΡΠΌΠ°.