Построение и оценка математических моделей

Министерство образования и науки, молодежи и спорта Украины Государственное высшее учебное заведение Приазовский государственный технический университет Факультет информационных технологий Кафедра автоматизации и компьютерных технологий ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

по курсовой работе по дисциплине «Идентификация и моделирование объектов автоматизации»

Выполнил: студентка группы МА-10 Адамова О.С.

Мариуполь 2013 г.

Реферат Пояснительная записка содержит 42 страницы, 12 рисунков, 3 таблицы.

Целью работы является получение численного решения для конкретной задачи. Это решение должно быть получено в результате выполнения соответствующей программы на ЭВМ, написанной на языке высокого уровня, составленной самим обучающимся.

При выполнении работы необходимо предварительно ознакомиться с соответствующим методом и его алгоритмом. Выполнение программы на ЭВМ и анализ получения результатов составляют заключительную стадию работы. Реализация программы должна быть показана на контрольном примере с выдачей выходных документов на принтер.

Введение

Цель работы? получение практических навыков в построении математических моделей технических объектов, написании программ для решении задач моделирования с использованием языка программирования С/С++ и математических пакетов MathCad или MatLab, изучение теоретических основ и особенностей выполнения параметрической идентификации различных моделей, реализации алгоритмов линейного и нелинейного регрессионного анализа, планирования эксперимента.

Задачи курсовой работы включают:

? получение студентами навыков самостоятельной работы;

? освоение технологии разработки и отладки программ, реализующих модели технических объектов;

? более качественное изучение нормативных материалов — государственных стандартов и технических условий;

? более полное изучение базовых средств языков программирования и получение навыков постановки и решения различных задач с помощью ПЭВМ;

? изучение и использование сред численного моделирования и статистического анализа (MatLab, StatGraph и т. п.).

Постановка задачи В ходе выполнения курсовой работы необходимо разработать программы на Scilab, Matlab, C++, которая позволит:

? оценить построенную математическую модель;

? найти выходные параметры, описывающие математическую модель, и построить зависимости между входными и выходными характеристиками объекта;

? установить математическое соотношение между измеряемыми входами и выходами при заданных их измерениях во времени.

Входные и выходные данные В данной работе входными данными являются начальные параметры (граничные условия), вводимые пользователем во время работы программы. Собственно, сама математическая модель, построенная согласно заданию на курсовой проект и являющаяся неизменной, представлена (описана) в качестве дифференциального уравнения либо матрицы и (начальных, граничных) параметров, которые даны для наблюдения за процессом на определенном промежутке времени либо участке (сечении).

Выходными данными являются реализованные графики (зависимости) меняющиеся во времени либо в пространстве координат, а также расчетное представление корреляционного анализа модели с использованием эксперимента.

1. Идентификация объектов методом наименьших квадратов Вариант задания — 1

Матрица X

Матрица Y

Для линейных уравнений вида:

строится следующая система нормальных уравнений, решение которой позволяет получить оценки параметров регрессии:

Постановка задачи:

1. Построить линейную модель множественной регрессии. Записать стандартизированное уравнение множественной регрессии. На основе стандартизированных коэффициентов регрессии и средних коэффициентов эластичности ранжировать факторы по степени их влияния на результат.

2. Найти коэффициенты парной, частной и множественной корреляции. Проанализировать их.

3. Найти скорректированный коэффициент множественной детерминации. Сравнить его с нескорректированным (общим) коэффициентом детерминации.

4. С помощью F-критерия Фишера оценить статистическую надежность уравнения регрессии и коэффициента детерминации

5. С помощью t-критерия Стьюдента оценить статистическую значимость коэффициентов чистой регрессии.

6. Составить уравнение линейной парной регрессии, оставив лишь один значащий фактор.

Для наших данных система нормальных уравнений имеет вид:

Расчет коэффициентов множественной линейной регрессии методом определителей (по формуле Крамера):

Уравнение множественной регрессии:

Оценка значимости уравнения регрессии в целом производится не основе F-критерия Фишера, которому предшествует дисперсионный анализ. Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной от среднего значения раскладывается на две части — объясненную и необъясненную:

— общая сумма квадратов отклонений;

— сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (факторная сумма квадратов отклонений);

— остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F-критерия Фишера:

Фактическое значение F-критерия Фишера сравнивается с табличным значением при уровне значимости и степенях свободы и При этом, если фактическое значение F-критерия Фишера больше табличного, то уравнение признается статистически значимым:

Качество модели, исходя из относительных отклонений по каждому наблюдению, признается хорошим, т.к. средняя ошибка аппроксимации не превышает 10%.

Средние коэффициенты эластичности для линейной регрессии:

Средние коэффициенты эластичности показывают, на сколько процентов в среднем изменится результат при изменении соответствующего фактора на 1%. Таким образом, подтверждается большее влияние на результат фактора чем факторов

Показателем интенсивности связи служит значение коэффициента корреляции. Считается, если он равен 1, то взаимозависимость признаков является строгой (полной); если его значение находится в интервале от 1 до 0,8, то это свидетельствует о сильной их взаимозависимости; если в интервале от 0,7 до 0,3 — об умеренной (не ярко выраженной) взаимозависимости, а если же оно лежит в интервале от 0,2 до 0,0, то мы имеем дело со слабой или нулевой взаимозависимостью.

Коэффициенты парной корреляции:

Коэффициент парной корреляции указывает на сильную взаимозависимость фактора и результата При такой зависимости рекомендуется исключить из рассмотрения факторы с не ярко выраженной взаимозависимостью.

Коэффициент множественной корреляции определим через матрицы парных коэффициентов корреляции:

? определитель матрицы парных коэффициентов корреляции

? определитель матрицы межфакторной корреляции Нескорректированный коэффициент множественной детерминации оценивает долю дисперсии результата за счет представленных в уравнении факторов в общей вариации результата и рассчитывается как квадрат коэффициента множественной корреляции:

Эта доля составляет 99,9% и указывает на высокую степень обусловленности вариации результата вариацией факторов (тесную связь факторов с результатом).

Скорректированный коэффициент множественной детерминации определяет тесноту связи с учетом степеней свободы общей и остаточной дисперсий:

Оба коэффициента указывают на высокую детерминированность результата в модели факторами

Оценка статистической значимости параметров регрессии проводится по t-критерию Стьюдента:

Для уравнения множественной регрессии средняя квадратическая ошибка коэффициента регрессии может быть определена по формуле:

2. Исследование разомкнутой линейной системы Вариант задания — 1

Объект описан дифференциальным уравнением:

Постановка задачи:

1. Записать модель объекта в форме передаточной функции.

2. Записать модель объекта в пространстве состояний.

3. Определить нули и полюса передаточной функции.

4. Определить коэффициент усиления системы в установившемся режиме и полосу пропускания системы.

5. Построить карту расположения нулей и полюсов, импульсную и переходную характеристики, частотные характеристики.

6. Построить процесс на выходе системы при произвольном входном сигнале.

7. Использовать модуль LTI-Viewer для построения различных характеристик.

Для описания линейных систем могут применяться несколько способов:

? дифференциальные уравнения;

? модели в пространстве состояний;

? передаточные функции;

? модели вида «нули-полюса».

Первые два способа называются временными, поскольку описывают поведение системы во временной области и отражают внутренние связи между сигналами. Передаточные функции и модели вида «нули-полюса» относятся к частотным способам описания, т.к. непосредственно связаны с частотными характеристиками системы и отражают свойства объекта «вход-выход».

Модель объекта в форме передаточной функции:

Текст программы

clear all;

clc;

% Ввод передаточной функции %

num=[0 12 6 5]

den=[1 3 2 -4]

w=tf (num, den)

% Построение модели объекта в пространстве состояний %

w_ss=ss (w)

% Нахождение нулей и полюсов передаточной функции %

z=zero (w)

p=pole (w)

% Нахождение коэффициента усиления системы %

% в установившемся режиме %

k=dcgain (w)

% Определение полосы пропускания системы %

b=bandwidth (w)

% Построение модели системы в форме «нули-полюса» %

w_zpk=zpk (w)

% Расположение нулей и полюсов системы на графике %

pzmap (w);grid;

printdmeta;

% Построение переходной функции %

step (w);grid;

printdmeta;

% Построение импульсной переходной функции %

impulse (w);grid;

printdmeta;

% Создание массива частот для построения %

% амплитудно-частотной характеристики %

freq=logspace (-4,4,500);

r=freqresp (w, freq);

r=r (:);

semilogx (freq, abs®);grid;

printdmeta;

% Создание массива частот для построения %

% фазо-частотной характеристики %

freq=logspace (-4,4,500);

r=freqresp (w, freq);

r=r (:);

phi=angle®*180/pi;

semilogx (freq, phi);grid;

printdmeta;

% Диаграмма Боде %

bode (w);grid;

printdmeta;

% Частотный годограф Найквиста %

nyquist (w);grid;

printdmeta;

% Сигнал, имитирующий прямоугольные импульсы %

% единичной амплитуды %

% (период — 4 секунды, количество — 5 импульсов) %

[u, t]=gensig ('square', 4);

lsim (w, u, t);grid;

printdmeta;

Результаты работы программы

num = 0 12 6 5

den = 1 3 2 -4

w = 12 s² + 6 s + 5

——————————;

s³ + 3 s² + 2 s — 4

Continuous-time transfer function.

w_ss =

a =

x1 x2 x3

x1 -3 -1 2

x2 2 0 0

x3 0 1 0

b =

u1

x1 4

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 3 0.75 0.625

d =

u1

y1 0

Continuous-time state-space model.

z =

— 0.2500 + 0.5951i

— 0.2500 — 0.5951i

p =

— 1.8982 + 1.1917i

— 1.8982 — 1.1917i

0.7963 + 0.0000i

k =

— 1.2500

b =

0.3819

w_zpk =

12 (s² + 0.5s + 0.4167)

————————————————;

(s-0.7963) (s² + 3.796s + 5.023)

Continuous-time zero/pole/gain model.

Рис. 2.1. Расположение нулей и полюсов системы на графике Рис. 2.2. Переходная функция Рис. 2.3. Импульсная переходная функция Рис. 2.4. Амплитудно-частотная характеристика Рис. 2.5. Фазо-частотная характеристика Рис. 2.6. Диаграмма Боде Рис. 2.7. Частотный годограф Найквиста Рис. 2.8. Сигнал, имитирующий прямоугольные импульсы единичной амплитуды (период? 4 секунды, количество? 5 импульсов)

3. Построение модели с распределенными параметрами

3.1 Исходные данные Рассмотрим стержень из теплопроводящего материала с коэффициентом теплопроводности k. Предположим, что температура на концах стержня задана, а боковая поверхность стержня теплоизолирована. Пусть ось x направлена вдоль оси стержня, а его концы расположены в точках x=0 и x=L.

3.2 Общие теоретические сведения Задача сводится к определению зависимости от времени t температуры u в точках стержня, то есть функции двух переменных u (x, t). Функция u (x, t) должна удовлетворять уравнению теплопроводности

(0

начальному условию

u (x, 0)=f (x), (0

и условиям на концах стержня

u (0,t)=j₁(t), u (L, t)=j₂(t), (tV0).(3.3)

Значения u (0,0) и u (L, 0), полученные из (2) и (3), должны совпадать. Это будет если j₁(0)=f (0), j₂(0)=f (L).

Следует отметить, что путем замены переменных t^=a²t уравнение (1) можно преобразовать к виду:

(3.4)

Это означает, что решение задачи (3.1?3.3) путем замены переменных сводится к решению задачи (3.4). Далее будем полагать а=1.

Построим на плоскости (x, t) сетку с шагом h по переменной x (x_i=(i-1)h; i=1, …, n+1; h=L/n) и с шагом t по переменной t (t_j=(j-1)t). Обозначим u_ij=u (x_i, t_j). Производные в уравнении (1) аппроксимируем следующим образом:

(3.5)

(3.6)

Подставляя (3.5) и (3.6) в (3.1) при a=1, получим разностное уравнение:

(3.7)

В соответствии с (3.2) и (3.3) значения

u_i0=f (x_i), u_0j=j₁(t_j), u_nj=j₂(t_j)(3.8)

являются известными. Тогда, подставляя в (3.7) j=0, получим систему n-1 линейных уравнений, решив которую можно определить u_i1 (i=1, …, n-1). При этом, поскольку u₀₁=j₁(t₁), …, u_n1=j₂(t₁), известными оказываются все значения временного слоя j=1, (t=t₁). Затем, подставляя в (3.7) j=2, решаем систему уравнений относительно u_i2 и т. д. для всех j=2, …, m.

Из (3.7) следует, что в каждое i-тое уравнение (i=1, …, n-1) с ненулевыми коэффициентами входят только три неизвестных (u_i-1,j, u_ij, u_i+1,j). Величина u_{i, j-1} к этому моменту является известной и потому отнесена в правую часть уравнения. Таким образом, матрица системы уравнений является трехдиагональной и эту систему можно решить методом прогонки. Для этого представим ее в стандартном виде:

(3.9)

Для данной задачи x_i=u_ij, a_i=l, g_i=l, b_i=1−2l, b₀=1, g₀=0, j₀=u_0j=j₁(t_j), j_n=u_nj=j₂(t_j), j_i=-u_i,j-1 (i=1, …, n-1).

Пусть на j-том шаге заданными являются параметры u_{i, j-1} (i=1, …, n-1), u_0j, u_nj, l. Все неизвестные значения u_ij можно разместить в массиве x_i (x_i=u_ij; i=0, …, n). Ищем связь x_i-1 с x_i в виде рекуррентного соотношения:

x_i-1=c_i-1x_i+n_i-1, i=1, …, n.(3.10)

Подставляя (3.10) в (3.7), получаем:

lc_i-1x_i-(1+2l)x_i+lx_i+1 = -u_i,j-1-ln_i-1.(3.11)

Отсюда

(3.12)

Сравнивая (3.12) с (3.10), находим рекуррентные соотношения:

(3.13)

c₀=0, n₀=u_0j.

Таким образом, алгоритм определения значений u_ij по известным u_{i, j-1} состоит из двух этапов: прямого хода прогонки по формулам (3.13) при (i=1, …, n-1) и обратного хода прогонки по формуле (3.10) при (i=n, …, 2).

а) б)

Рис. 3.1. Шаблоны неявной (а) и явной (б) разностных схем Необходимо отметить, что разностное уравнение (7) связывает одно известное значение U_i,j-1 (из предыдущего j-1 временного слоя) и три неизвестных (U_i,j, U_i-1,j, U_i+1,j). Поэтому найти значения U_i,j (i=1, …, n-1) можно только все сразу путем решения системы уравнений. Такая схема связи переменных в разностном уравнении называется неявной. Шаблон неявной разностной схемы представлен на рис. 3.1 (а).

Наряду с неявной возможна организация явной разностной схемы. Для этого вместо выражения (5) для первой разностной производной по времени используют формулу:

(3.14)

Тогда разностное уравнение запишется в виде:

(3.15)

В этом случае связываются три неизвестные значения, относящиеся к предыдущему временному слою (здесь j-тому) и только одно неизвестное U_i,j+1. Шаблон явной разностной схемы представлен на рис. 3.1 (б).

При использовании этой схемы неизвестные параметры определяются путем последовательного применения формулы (2.14) при i=1, …, n-1. Поскольку при этом не надо решать системы уравнений, то процесс определения параметров одного временного слоя требует меньших затрат времени, чем в случае неявной схемы.

Однако, неявная схема устойчива (ошибка не возрастает от шага к шагу) при любых значениях ?=?/h². Явная схема является устойчивой только при? <½. В противном случае развивается экспоненциальный рост погрешности так, что обычно происходит аварийная остановка ЭВМ по переполнению порядка. Поэтому при использовании явной схемы вычисления приходится вести с очень малым шагом по времени.

В случае применения неявной схемы затраты машинного времени для расчета одного временного слоя больше, но возможность выбора значительно большего шага по времени t может обеспечить общее ускорение процесса расчета по сравнению с явной схемой.

При выполнении данной работы будем предполагать, что температура на концах стержня поддерживается постоянной

j₁(t)Tf (0), j₂(t)Tf (L).

3.3 Решение задачи для исходных данных Решить смешанную задачу для уравнения теплопроводности с начальными u (x, 0)=f (x) и граничными условиями u (0,t)=f (0), u (1,t)=b, L=1.

Табл. 3.1. Вариант задания

Текст программы

//—————————————————————————————————————;

#include

#pragma hdrstop

#include «Unit1.h»

//—————————————————————————————————————;

#pragma package (smart_init)

#pragma resource «*.dfm»

TForm1 *Form1;

//—————————————————————————————————————;

__fastcall TForm1: TForm1(TComponent* Owner)

: TForm (Owner)

{

}

//—————————————————————————————————————;

#define a 14

#define b 16

#define c 0.25

#define d 0.5

#define N 20

#define L 1

#define tau 60

#define ro 7800

#define lam 46

#define c_f 460

#define t_max 3000

float T[N+1], alpha[N+1], beta[N+1], time1=0,h;

float A[N+1], C[N+1], B[N+1], F[N+1];

float h_iav, tau_iav, a_iav, T_iav[N+1], TT_iav[N+1], time_iav=0;

float funkf (float x)

{

float m;

if (x>=0)

{

if (x

{

m=a-(x/c)*a;

}

else

if (x

{

m=0;

}

else

if (x<=1)

m=((1-x)*b)/(1-d);

}

return (m);

}

void start_heat_field (float h)

{

for (int i=1;i<=N;i++)

T[i]=funkf (h*(i-1));

}

void neiavnii_metod_start (){

h=(float)L/(float)(N);

start_heat_field (h);

for (int i=1;i<=N;i++)

Form1->Series1->AddXY (h*i, T[i]);

}

void neiavnii_metod_calc (){

time1=time1+tau;

alpha[1]=0;

beta[1]=funkf (0);

for (int i=2;i<=N-1;i++){

A[i]=C[i]=lam/(h*h);

B[i]=(2*lam)/(h*h)+(ro*c_f)/tau ;

F[i]=-((ro*c_f)/tau)*T[i];

alpha[i]=A[i]/(B[i]-C[i]*alpha[i-1]) ;

beta[i]=(C[i]*beta[i-1]-F[i])/(B[i]-C[i]*alpha[i-1]);

}

T[N]=funkf (L-0.1);

for (int i=N-1;i>=2;i—){

T[i]=(A[i]/(B[i]-C[i]*alpha[i]))*T[i+1]+(C[i]*beta[i-1]-F[i])/(B[i]-C[i]*alpha[i-1]);

Form1->Series1->Clear ();

T[0]=funkf (0.1);

for (int i=1;i<=N;i++)

Form1->Series1->AddXY (h*i, T[i]);

}

}

void iavnii_metod_start (){

a_iav=lam/(ro*c);

tau_iav=(h*h)/(4*a_iav);

for (int i=1;i<=N;i++)

T_iav[i]=funkf (h*(i-1));

for (int i=1;i<=N;i++)

Form1->Series2->AddXY (h*i, T_iav[i]);

T_iav[1]=funkf (0.1);

T_iav[N]=funkf (L-0.1);

}

void iavnii_metod_calc (){

time_iav=time_iav+tau_iav;

for (int i=1;i<=N+1;i++)

TT_iav[i]=T_iav[i];

for (int i=2;i<=N-1;i++)

T_iav[i]=TT_iav[i]+((lam*tau_iav)/(ro*c))*((TT_iav[i+1]-2*TT_iav[i]+TT_iav[i-1])/(h*h));

Form1->Series2->Clear ();

for (int i=1;i<=N;i++)

Form1->Series2->AddXY (h*i, T_iav[i]);

}

void __fastcall TForm1: FormCreate (TObject *Sender)

{

neiavnii_metod_start ();

iavnii_metod_start ();

}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TForm1: Button1Click (TObject *Sender)

{

time1=0;

neiavnii_metod_start ();

iavnii_metod_start ();

while (time1

neiavnii_metod_calc ();

iavnii_metod_calc ();

}

Label1->Caption="Time= «+FloatToStr (time1);

}

//—————————————————————————————————————;

void __fastcall TForm1: Button2Click (TObject *Sender)

{

time1=0;

neiavnii_metod_start ();

iavnii_metod_start ();

while (time1Position*tau){

neiavnii_metod_calc ();

iavnii_metod_calc ();

}

Label1->Caption="Time= «+FloatToStr (time1);

}

//—————————————————————————————————————;

Результаты работы программы Вывод:

В процессе разработки программы были изучены явный и неявный методы конечных разностей. По уравнению теплопроводности программа моделирует процесс нагрева стержня.

корреляция модель итерационный функция

4. Численные процедуры оценивания параметров нелинейных регрессионных моделей Вариант задания — метод Ньютона.

Метод Ньютона, алгоритм Ньютона (также известный как метод касательных)? это итерационный численный метод нахождения корня (нуля) заданной функции. Поиск решения осуществляется путем построения последовательных приближений и основан на принципах простой итерации. Метод обладает квадратичной сходимостью. Улучшением метода является метод хорд и касательных. Также метод Ньютона может быть использован для решения задач оптимизации, в которых требуется определить нуль первой производной либо градиента в случае многомерного пространства.

Основная идея метода заключается в следующем: задается начальное приближение вблизи предположительного корня, после чего строится касательная к исследуемой функции в точке приближения, для которой находится пересечение с осью абсцисс. Эта точка и берется в качестве следующего приближения. И так далее, пока не будет достигнута необходимая точность.

Пусть? определена на отрезке и дифференцируемая на нем вещественно-значная функция. Тогда формула итеративного исчисления приближений может быть выведена следующим образом:

где? угол наклона касательной в точке .

Следовательно, искомое выражение для имеет вид:

Итерационный процесс начинается с некоего начального приближения (чем ближе к корню, тем лучше, но если предположения о его нахождении отсутствуют, методом проб и ошибок можно сузить область возможных значений, применив теорему о промежуточных значениях).

Алгоритм:

1. Задается начальное приближение .

2. Пока не выполнено условие остановки, в качестве которого можно взять или (т.е. погрешность в нужных пределах), вычисляют новое приближение: .

Недостатки:

1. Если начальное приближение недостаточно близко к решению, то метод может не сойтись.

2. Если производная не непрерывна в точке корня, то метод может расходиться в любой окрестности корня.

3. Если не существует вторая производная в точке корня, то скорость сходимости метода может быть заметно снижена.

4. Если производная в точке корня равна нулю, то скорость сходимости не будет квадратичной, а сам метод может преждевременно прекратить поиск, и дать неверное для заданной точности приближение.

Текст программы

//—————————————————————————————————————;

#include

#include

#pragma hdrstop

#include «Unit1.h»

//—————————————————————————————————————;

#pragma package (smart_init)

#pragma resource «*.dfm»

TForm1 *Form1;

double e=0.1,xz[4]={0,0,0,0};

//—————————————————————————————————————;

__fastcall TForm1: TForm1(TComponent* Owner)

: TForm (Owner)

{

StringGrid1->Cells[0][0]="Y" ;

StringGrid1->Cells[1][0]="X1″ ;

StringGrid1->Cells[2][0]="X2″ ;

StringGrid1->Cells[3][0]="X3″ ;

StringGrid1->Cells[0][1]="20,8″ ;

StringGrid1->Cells[1][1]="8″ ;

StringGrid1->Cells[2][1]="5″ ;

StringGrid1->Cells[3][1]="1″ ;

StringGrid1->Cells[0][2]="14,2″ ;

StringGrid1->Cells[1][2]="2″ ;

StringGrid1->Cells[2][2]="4″ ;

StringGrid1->Cells[3][2]="3″ ;

StringGrid1->Cells[0][3]="32,3″ ;

StringGrid1->Cells[1][3]="4″ ;

StringGrid1->Cells[2][3]="9″ ;

StringGrid1->Cells[3][3]="7″ ;

StringGrid1->Cells[0][4]="11,5″ ;

StringGrid1->Cells[1][4]="2″ ;

StringGrid1->Cells[2][4]="2″ ;

StringGrid1->Cells[3][4]="4″ ;

StringGrid1->Cells[0][5]="8,2″ ;

StringGrid1->Cells[1][5]="2″ ;

StringGrid1->Cells[2][5]="3″ ;

StringGrid1->Cells[3][5]="1″ ;

}

//—————————————————————————————————————;

double f (double b0, double b1, double b2, double b3){

double m;

m=(xz[0]-(b0+xz[1]*b1+xz[2]*b2+xz[3]*b3)) ;

m=m*m;

return m;

}

bool check (double f, double xl1, double xl2, double xl3, double xl4, double x1, double x2, double x3, double x4)

{

if (f

return true;

return false;

}

void __fastcall TForm1: Button1Click (TObject *Sender)

{

double h=0.1,x1=-1.5397,x2=1.4183,x3=1.8612,x4=1.647;

double Xl1, Xl2,Xl3,Xl4,proizv1,proizv2,proizv3,proizv4;

xz[0]=0;xz[1]=0;xz[2]=0;xz[3]=0;

for (int i=1;i<6;i++){

xz[0]=xz[0]+StrToFloat (StringGrid1->Cells[0][i]);

xz[1]=xz[1]+StrToFloat (StringGrid1->Cells[1][i]);

xz[2]=xz[2]+StrToFloat (StringGrid1->Cells[2][i]);

xz[3]=xz[3]+StrToFloat (StringGrid1->Cells[3][i]);

}

xz[0]=xz[0]/5;xz[1]=xz[1]/5;xz[2]=xz[2]/5;xz[3]=xz[3]/5;

do{

proizv1=(f (x1,x2,x3,x4)-f (x1-h, x2, x3,x4))/h;

proizv2=(f (x1,x2,x3,x4)-f (x1,x2-h, x3, x4))/h;

proizv3=(f (x1,x2,x3,x4)-f (x1,x2,x3-h, x4))/h;

proizv4=(f (x1,x2,x3,x4)-f (x1,x2,x3,x4-h))/h;

Xl1=x1;Xl2=x2;Xl3=x3;Xl4=x4;

x1=Xl1-f (x1,x2,x3,x4)/proizv1;

x2=Xl2-f (x1,x2,x3,x4)/proizv2;

x3=Xl3-f (x1,x2,x3,x4)/proizv3;

x4=Xl4-f (x1,x2,x3,x4)/proizv4;

// Memo1->Lines->Add (FloatToStr (x1)+" «+FloatToStr (x2)+» «+FloatToStr (x3)+» «+FloatToStr (x4));

}while (check (f (x1,x2,x3,x4), Xl1, Xl2,Xl3,Xl4,x1,x2,x3,x4)) ;

Label1->Caption="b0= «+FloatToStr (x1);

Label2->Caption="b1= «+FloatToStr (x2);

Label3->Caption="b2= «+FloatToStr (x3);

Label4->Caption="b3= «+FloatToStr (x4);

double y;

Series1->Clear ();

Series2->Clear ();

for (int i=1;i<6;i++){

y=x1+StrToFloat (StringGrid1->Cells[1][i])*x2+StrToFloat (StringGrid1->Cells[2][i])*x3+StrToFloat (StringGrid1->Cells[3][i])*x4;

Series1->AddXY (i, y);

Series2->AddXY (i, StrToFloat (StringGrid1->Cells[0][i]));

}

}

//—————————————————————————————————————;

Результаты работы программы Вывод:

Освоен метод оптимизации Ньютона на примере регрессионного уравнения, посредством которого достигнута более высокая точность его коэффициентов.

Заключение

В ходе выполнения курсовой работы были получены практические навыки в построении математических моделей технических объектов, написании программ для решения задач моделирования с использованием математического пакета MATLAB, изучены теоретические основы и особенности выполнения параметрической идентификации различных моделей, реализации алгоритмов линейного и нелинейного регрессионного анализа, планирования эксперимента.

Перечень ссылок

1. Автоматизированные системы управления технологическими процессами. Идентификация и оптимальное управление / Под ред. Салнги В. И.? Харьков: «Вища школа», 1976 г.? 180 с.

2. Брикман М. С., Кристинков Д. С. Аналитическая идентификация управляемых систем.? Рига: «Зинатне», 1974 г.? 206 с.

3. Гельфандбейн Я. А. Методы кибернетической диагностики динамических систем. Идентификация функционирующих систем математическими моделями.? Рига: «Зинатне», 1967 г.? 542 с.

4. Дрейпер Н., Смит Г. Прикладной регрессионный анализ.? М.: «Статистика», 1973 г.? 391 с.

5. Демиденко Е. З. Линейная и нелинейная регрессии. — М.: «Финансы и статистика», 1981 г.