Моделирование математическое. 
Компьютерное моделирование

Математические модели, используемые при решении современных практических задач, настолько сложны, что исследовать их вручную практически невозможно. Приходится прибегать к помощи компьютера.

Что такое математическое моделирование?

С середины XX в. в самых различных областях человеческой деятельности стали широко применять математические методы и компьютеры. Возникли такие новые дисциплины, как «математическая экономика», «математическая химия», «математическая лингвистика» и т. д., изучающие математические модели соответствующих объектов и явлений, а также методы исследования этих моделей.

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое моделирование и связанный с ним компьютерный эксперимент незаменимы в тех случаях, когда натурный эксперимент невозможен или затруднен по тем или иным причинам. Например, нельзя поставить натурный эксперимент в истории, чтобы проверить, «что было бы, если бы…» В принципе возможно, но вряд ли разумно, поставить практический эксперимент по распространению какой-либо болезни, например чумы, или осуществить ядерный взрыв, чтобы изучить его последствия. Однако все это вполне можно сделать на компьютере, построив предварительно математические модели изучаемых явлений.

Построение модели.

На этом этапе задается некоторый «нематематический» объект — экономический план, производственный процесс и т. д. Сначала выявляются основные особенности явления и связи между ними. Затем найденные качественные зависимости формулируются на языке математики, то есть строится математическая модель. Под математической моделью понимают систему математических соотношений — формул, уравнений, неравенств и т. д., отражающих существенные свойства объекта или процесса.

Простой пример. Представьте себе, что нужно определить площадь поверхности письменного стола. Рис. 26 Как обычно поступают в таком случае? Измеряют длину и ширину стола, а затем перемножают полученные числа. Это фактически означает, что реальный объект — поверхность стола — заменяется абстрактной математической моделью — прямоугольником. Площадь этого прямоугольника и считается искомой величиной.

Как видите, из всех свойств стола мы выделили три: форму поверхности (прямоугольник) и длины двух сторон. Для нас не важны ни цвет стола, ни материал, из которого он сделан, ни то, как стол используется. (Если бы мы решали другую задачу о столе, например, сколько стоит его изготовление, то возможно, для нас важна была бы как раз эта информация.) Предположив, что поверхность стола — прямоугольник, мы легко указываем исходные данные и результат. Они связаны соотношением S=a*b.

Сделанное предположение позволило «перевести» нашу задачу на язык чисел: и исходные данные, и результат — числа, а соотношение между ними задается математической формулой. Вот мы и получили самую простую математическую модель стола.

Если задачу немного усложнить, то мы сможем получить модель стола с ножками или модель нашей квартиры.

Если усложнить нашу задачу в миллион раз, то лёгкими математическими формулами и вычислениями уже не обойтись. И вот тут на помощь приходит компьютер. Обрабатывая в секунду огромное количество информации и выполняя огромное количество математических вычислений, компьютер может построить сложнейшие математические модели, неизмеримо более сложные, чем наша модель стола.

Математическое моделирование в наше время гораздо более всеобъемлюще, нежели моделирование натурное. Математический аппарат для моделирования объектов и процессов реального мира ученые использовали очень давно, но огромный толчок математическому моделированию дало появление компьютеров, которые сегодня помогают в этой деятельности. Использование математического моделирования — это самый общий метод научных исследований.

Анализировать математические модели проще и быстрее, чем экспериментально определять поведение реального объекта. Кроме того, анализ математической модели позволяет выделить наиболее существенные свойства данного объекта (процесса), на которые надо обратить особое внимание при принятии решения.

Есть одна очень интересная математическая легенда. В древней Индии жил мудрец, который изобрёл игру в шахматы.

Игра очень понравилась правителю — радже. Раджа решил вознаградить мудреца и спросил чего тот хочет. Мудрец-математик попросил раджу положить на первую клетку шахматной доски 1 зёрнышко риса, а на каждую последующую в два раза больше, чем на предыдущую. Раджа не был математиком и удивился «скромности» мудреца. Но когда слуги раджи попытались отсчитать требуемое количество зёрнышек, выяснилось, что столько зерна нет во всей Индии. На самом деле полученная масса риса превышает мировой урожай сотни раз.

В легенде речь идёт о сумме чисел геометрической прогрессии, где каждое следующее число равно предыдущему, умноженному на 2, начиная с 1. Число клеток на шахматной доске — 64.

Решение задачи будет таким:

Т=1+2+4+8+16+32+…+263= 18 446 744 073 709 551 615.

А на 64-ую клетку приходится 9 223 372 036 854 780 000 зёрнышек.

Давайте теперь на практике построим математическую и графическую модели этой легенды. В этом нам поможет очень известная и полезная программа Exel.