Построение линии пересечения объёмных геометрических объектов

Задание № 1

Построение линии пересечения объёмных геометрических объектов

1.1 Цель работы Выработка практических навыков в разработке и отладке программ для построения линий пересечения объёмных геометрических объектов.

1.2 Индивидуальное задание Построить поверхности второго порядка и их линию пересечения.

1.3 Решение задания

Представим систему в численном виде:

Из неё легко проверить, что получается такая система

Первое уравнение является уравнением окружности с радиусом

расположенной параллельно плоскости XY на уровне. Эта окружность и является линией пересечения конуса и эллипсоида.

1.4 Текст программы

;Conus

(defun conus ()

(setq zmax 140.0)

(setq z 0.0)

(setq dz 5)

(while (<= z zmax)

(setq r (sqrt (* (* z z) (/ (* 140 140) (* 30 30)))))

(if (= r 0)

(command «point» (list 0 0 0))

(command «circle» (list 0 0 z) r)

)

(setq z (+ z dz))

)

(setq dphi (/ (* 10 pi) 180))

(setq phi 0)

(while (<= phi (* 2.0 pi))

(command «line» (list 0 0 0) (list (* r (cos phi)) (* r (sin phi)) z))

(command)

(setq phi (+ phi dphi))

)

)

; Ellipse in YZ

(defun ell_Y (fy fz)

(setq xmax 90.0)

(setq dx 10.0)

(setq dy 10.0)

(setq x -90.0)

(while (<= x xmax)

(setq ya 0.0)

(setq yk (sqrt (- (* 90.0 90.0) (* x x))))

(setq z (* fz (sqrt (- 8100.0 (* x x)))))

(setq p1 (list x ya z))

(while (> (- yk ya) dy)

(setq ya (+ ya dy))

(setq y (* fy ya))

(setq z (* fz (sqrt (- 8100.0 (* x x) (* y y)))))

(setq p2 (list x y z))

(command «line» p1 p2 «»)

(setq p1 p2)

)

(setq y (* fy yk))

(setq p2 (list x y 0.0))

(command «line» p1 p2 «»)

(setq x (+ x dx))

)

)

;

; Ellipse in XZ

(defun ell_X (fx fz)

(setq ymax 90.0)

(setq y -90.0)

(while (<= y ymax)

(setq xa 0.0)

(setq xk (sqrt (- (* 90.0 90.0) (* y y))))

(setq z (* fz (sqrt (- 8100.0 (* y y)))))

(setq p1 (list xa y z))

(while (> (- xk xa) dx)

(setq xa (+ xa dx))

(setq x (* fx xa))

(setq z (* fz (sqrt (- 8100.0 (* x x) (* y y)))))

(setq p2 (list x y z))

(command «line» p1 p2 «»)

(setq p1 p2)

)

(setq x (* fx xk))

(setq p2 (list x y 0.0))

(command «line» p1 p2 «»)

(setq y (+ y dy))

)

)

;

; line cross

(defun lc (fl)

(setq x -88)

(setq dx 2)

(setq x (* fl x))

(setq y (sqrt (- 7744.3902 (* x x))))

(setq z 18.86)

(setq y (* fl y))

(setq p1 (list x y z))

(setq x (* fl x))

(while (> (- 88 x) dx)

(setq x (+ x dx))

(setq x (* fl x))

(setq y (sqrt (- 7744.3902 (* x x))))

(setq y (* fl y))

(setq z 18.86)

(setq p2 (list x y z))

(command «line» p1 p2 «»)

(setq x (* fl x))

(setq p1 p2)

)

(setq x 88)

(setq x (* fl x))

(setq y (sqrt (- 7744.3902 (* x x))))

(setq z 18.86)

(setq p2 (list x y z))

(setq x (* fl x))

(command «line» p1 p2 «»)

)

;

; control

(Defun gr ()

(setq sb (getvar «blipmode»))

(setq sc (getvar «cmdecho»))

(command «erase» «all» «»)

(setvar «blipmode» 0)

(setvar «cmdecho» 0)

(command «color» 5)

(ell_Y 1 1)

(ell_Y 1 -1)

(ell_Y -1 1)

(ell_Y -1 -1)

(ell_X 1 1)

(ell_X 1 -1)

(ell_X -1 1)

(ell_X -1 -1)

(command «color» 3)

(conus)

(command «color» 2)

(lc 1)

(lc -1)

(setvar «blipmode» sb)

(setvar «cmdecho» sc)

)

1.5 Результат выполнения программы

Задание № 2

Методы конструирования кривых.

2.1 Цель работы Выработка практических навыков конструирования кривых.

2.2 Индивидуальное задание Сконструировать кривую по заданным точкам методом Фергюсона. Создать функцию рисующую кривую в плоскости XY, исходные точки отметить маркерами. Оформить таблицу значений функции и отклонений от заданных значений в опорных точках.

2.3 Аппроксимация кривой методом Фергюсона

Сегмент кривой может быть описан векторным уравнением:

r(u)=a₃u³+a₂u²+a₁u+a₀ , (1)

где r(u)— радиус-вектор текущей точки кривой :

u — параметр, 0<=u<=1;

a1 — векторы коэффициентов i=0.3.

уравнение (1) — представляет собой векторную форму записи системы:

x (u)=a₁₃u³+a₁₂u²+a₁₁u+a₁₀;

y (u)=a₂₃u³+a₂₂u²+a₂₁u+a₂₀; (2)

z(u)=a₃₃u³+a₃₂u²+a₃₁u+a₃₀;

Таким образом, для определения сегмента кривой необходимо знать 4 вектора или 12 коэффициентов. Обычно задаются значения r(u) и r'(u) на концах сегмента:

r (0)=a₀;

r (1)=a₃+a₂+a₁+a₀; (3)

r'(0)=a₁;

r'(1)=3a₃+2a₂+a₁;

Решив систему, уравнений относительно (3) a₀ ,a₁ , a_{2 ,} a₃ и подставив полученные значения в уравнение сегмента кривой в форме Фергюсона:

r(u)=r(0)(1−3u²+2u³)+r(1)(3u²-2u³)+r'(0)(u-2u²+u³)+r'(1)(u³-u²).

Однако в индивидуальном задании дано 6 точек и не указаны значения производных на концах отрезка — делаю вывод, что аппроксимацию необходимо проводить для сплайна степени 5 — так, как для построения сплайна степени n необходимо знать n+1 радиус-вектор.

Итак, уравнение сегмента проходящего через заданные точки в векторной форме:

r (u)=a₅u⁵+a₄u⁴+ a₃u³+a₂u²+a₁u+a₀ (4)

Система (2) запишется в следующем виде для плоского сплайна:

x (u)=a₁₅u⁵+a₁₄u⁴+a₁₃u³+a₁₂u²+a₁₁u+a₁₀;

y (u)=a₂₅u⁵+a₂₄u⁴+a₂₃u³+a₂₂u²+a₂₁u+a₂₀; (5)

Подставляя значения из заданной таблицы в систему (5) и решая её относительно коэффициентов a, получим шесть векторов входящих в уравнение кривой (4), которая проходит через шесть точек.

(6)

(7)

В результате решения системы (6) методом Гаусса получим:

a₁₅=117,1875; a₁₄=-255,208(3); a₁₃=-621,3541(6); a₁₂=563,958(3); a₁₁=195,41(6); a₁₀=49,0.

В результате решения системы (7) методом Гаусса получим:

a₂₅=156,25; a₁₄=-351,5625; a₁₃=-630,208(3); a₁₂=-143,4375; a₁₁=-291,458(3); a₁₀=28,0.

Итак, имеется 6 векторов и параметрический сплайн 5 степени — это есть необходимое и достаточное условие построения сегмента кривой проходящего через 6 точек.

2.4 Текст программы, реализующей метод Фергюсона.

(defun task2()

(command «erase» «all» «»)

(setq a15 117.1875)

(setq a14 -255.2 083 333)

(setq a13 -621.3 541 666)

(setq a12 563.9 583 333)

(setq a11 195.4 166 666)

(setq a10 49.0)

(setq a25 156.25)

(setq a24 -351.5625)

(setq a23 630.2 083 333)

(setq a22 -143.4375)

(setq a21 -291.4 583 333)

(setq a20 28.0)

(setvar «pdmode» 2)

(command «point» (list 49.0 28.0))

(command «point» (list 105.3 -31.5))

(command «point» (list 172.3 -78.6))

(command «point» (list 211.1 -95.8))

(command «point» (list 183.0 -66.1))

(command «point» (list 49.0 28.0))

(setq u 0)

(setq du 0.01)

(setq file1 (open «c:\mydata1.txt» «w»))

(while (<= u 1.0)

(setq x1 (+ (* (expt u 5) a15) (* (expt u 4) a14) (* (expt u 3) a13) (* (expt u 2) a12) (* u a11) a10))

(setq y1 (+ (* (expt u 5) a25) (* (expt u 4) a24) (* (expt u 3) a23) (* (expt u 2) a22) (* u a21) a20))

(if (or (<= (abs (- u 0)) 0.1) (<= (abs (- u 0.2)) 0.1) (<= (abs (- u 0.4)) 0.1) (<= (abs (- u 0.6)) 0.1) (<= (abs (- u 0.8)) 0.1) (<= (abs (- u 1.0)) 0.1))

(print (list x1 y1) file1)

)

(setq u (+ u du))

(setq x2 (+ (* (expt u 5) a15) (* (expt u 4) a14) (* (expt u 3) a13) (* (expt u 2) a12) (* u a11) a10))

(setq y2 (+ (* (expt u 5) a25) (* (expt u 4) a24) (* (expt u 3) a23) (* (expt u 2) a22) (* u a21) a20))

(command «line» (list x1 y1) (list x2 y2))

(command)

)

(print (list x2 y2) file1)

(close file1)

)

2.5 Таблица, получаемая в результате выполнения задания:

(49.0 28.0) вектор отклоненией- (0,0)

(105.3 -31.5) вектор отклоненией- (0,0)

(172.3 -78.6) вектор отклоненией- (0,0)

(211.1 -95.8) вектор отклоненией- (0,0)

(182.0 -67.1) вектор отклоненией- (1,1)

(49.0 28.0) вектор отклоненией- (0,0)

2.6 Рисунок с экрана

2.7 Вывод Из таблицы делаю вывод, что из-за аппаратного представления действительных чисел возможны небольшие погрешности на больших расстояниях, проходимых точкой по кривой.

Задание № 3

Методы конструирования кривых.

3.1 Цель работы Выработка практических навыков конструирования кривых.

3.2 Индивидуальное задание Сконструировать кривую по заданным точкам методом Безье. Создать функцию рисующую кривую и характеристическую ломанную. Оформить таблицу значений функции и отклонений от заданных значений в опорных точках.

3.3 Аппроксимация методом Безье

В системах автоматизации проектирования и производства для конструирования кривых и поверхностей применяется аппроксимация методом Безье. Сущность метода заключается в следующем.

Пусть задана совокупность из (n+1) точек которую будем называть ломаной Безье. Кривая Безье, соответствующая этой ломаной, описывается в виде функции параметра t следующим полиномом:

(8)

где — радиус-вектор точек на кривой, а J_ni(t) — аппроксимирующие многочлены Бернштейна, равные

(9)

Здесь 0t1 и, кроме того, предполагается, что tⁱ=1 при i=0 и t=0.

Ломаная Безье однозначно определяет форму кривой Безье. Изменяя положения вершин ломаной, можно управлять формой соответствующей кривой Безье. При этом следует иметь в виду следующее:

1. самой кривой в общем случае будут принадлежать только первая и последняя вершины ломаной Безье, остальные вершины будут лишь оказывать влияние на вид и гладкость кривой;

2. наклоны касательных векторов в крайних точках кривой Безье и ломаной Безье совпадают, поэтому при сопряжении двух кривых Безье, заданных ломаными и, одинаковый наклон кривых в точке соединения получается в том случае, если точки (которая совпадает с) и лежат на одной прямой;

3. как видно из выражений (8) и (9), степень аппроксимирующего полинома равна n (т.е. числу звеньев в ломаной Безье), поэтому для увеличения порядка кривой Безье достаточно лишь задать дополнительные вершины в соответствующей ломаной Безье;

4. кривая Безье всегда целиком лежит внутри выпуклой оболочки ломаной Безье.

3.4 Определение полинома Безье

Итак, задано 6 точек, необходимо построить полином Безье степени 5:

найдем аппроксимирующие многочлены Бернштейна:

J₅₀=(1-u)⁵;

J₅₁=5u (1-u)⁴;

J₅₂=10u²(1-u)³;

J₅₃=10u³(1-u)²

J₅₄=5u⁴(1-u);

J₅₅=u⁵;

Теперь есть все данные для построения кривой Безье по заданным точкам, причем она, не смотря на совпадение первой и последней точек, не будет замкнуто сопряжена, так как предпоследняя и вторая точка не лежат на одной прямой.

3.5 Программа для построения кривой Безье.

(defun Bezier_curve ()

(command «erase» «all» «»)

(setvar «pdmode» 2)

(setq p1 (list 49.0 28.0))

(setq p2 (list 105.3 -31.5))

(setq p3 (list 172.3 -78.6))

(setq p4 (list 211.1 -95.8))

(setq p5 (list 183.0 -66.1))

(setq p6 (list 49.0 28.0))

(command «color» 3)

(command «point» p1)

(command «point» p2)

(command «point» p3)

(command «point» p4)

(command «point» p5)

(command «point» p6)

(command «color» 4)

(command «line» p1 p2 p3 p4 p5 p6)

(command)

(command «color» 5)

(setq u 0)

(setq du 0.001)

(setq file1 (open «c:\mydata2.txt» «w»))

(while (<= u 1.0)

(setq x (+ (* (nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))

(setq y (+ (* (nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))

(if (or (<= (abs (- u 0)) 0.1) (<= (abs (- u 0.2)) 0.1) (<= (abs (- u 0.4)) 0.1) (<= (abs (- u 0.6)) 0.1) (<= (abs (- u 0.8)) 0.1) (<= (abs (- u 1.0)) 0.1))

(print (list x y) file1)

)

(setq u (+ u du))

(setq x1 (+ (* (nth 0 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 0 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 0 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 0 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 0 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 0 p6) (expt u 5))))

(setq y1 (+ (* (nth 1 p1) (expt (- 1 u) 5)) (* (nth 1 p2) (expt (- 1 u) 4) u 5) (* (nth 1 p3) (expt (- 1 u) 3) u u 10) (* (nth 1 p4) (expt (- 1 u) 2) u u u 10) (* (nth 1 p5) (expt u 4) (- 1 u) 5) (* (nth 1 p6) (expt u 5))))

(command «line» (list x y) (list x1 y1))

(command)

)

(close file1)

)

3.5 Таблица, получаемая в результате выполнения задания:

(49.0 28.0) вектор-отклонение (0 0)

(106.469 -25.1437) вектор-отклонение (-1.169 -6.063)

(153.844 -60.0138) вектор-отклонение (18.454 -18.5862)

(172.487 -68.3062) вектор-отклонение (38,613 -27.4938)

(143.758 -41.7363) вектор-отклонение (39,242 -24.3637)

(49.6689 27.5301) вектор-отклонение (-0.6689 0.4699)

При точности аппроксимации du=0.001.

3.6 Рисунок с экрана

3.7 Вывод

Аппроксимация метод Безье дает большую погрешность, чем параметрическая сплайн-аппроксимация, но прим увеличении шага параметра увеличивается время вычислений и точность аппроксимации.