Расчет показателей разработки слоистого пласта на основе модели поршневого вытеснения нефти водой

Показатели, близкие к реальным, получают в ряде случаев при расчете разработки нефтяных месторождений с помощью модели, состоящей из моделей процесса поршневого вытеснения нефти водой и слоистого пласта.

Прежде всего, рассмотрим процесс поршневого вытеснения нефти водой из одного прямолинейного слоя (пропластка) толщиной и длиной, пористостью и проницаемостью (рисунок 39).

Рисунок 39 Модель прямолинейного пропластка при поршневом вытеснении нефти водой.

Пусть давление воды, входящей слева в пропласток, равно, а давление воды на выходе из него. Будем считать, что в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоя перепад давления постоянный. В соответствии с моделью поршневого вытеснения нефти водой остаточная нефтенасыщенность в заводненной области слоя остается постоянной, равной. Согласно рисунку 39, фронт вытеснения занимает в момент времени t положение. Ширина пропластка, измеряемая в направлении, перпендикулярном к плоскости чертежа (см. рисунок 39), равная ширине всего пласта, составляет. При постоянном перепаде давления на входе в пропласток и на выходе из него расход закачиваемой воды будет изменяться со временем.

Предположим, что в заводненной зоне, т. е. при связанная вода с начальной насыщенностью полностью смешивается с закачиваемой водой, так что условно (см. рисунок 39) заводненная область насыщена остаточной нефтью и этой смесью. Тогда суммарный объем воды, вошедший в область пропластка при, можно определить по формуле:

. (6.11).

Дифференцируя это выражение по времени t, получим следующую формулу для расхода воды, поступающей в i-й пропласток:

. (6.12).

С другой стороны, можно, согласно обобщенному закону Дарси, т. е. с учетом того, что фазовые проницаемости для воды и нефти соответственно составляют, (и — постоянные относительные проницаемости), получить для расхода воды следующее выражение:

(6.13).

где — вязкость воды.

При рассмотрении процессов вытеснения нефти водой принимают, что нефть и вода — несжимаемые жидкости. Сжимаемость пород пласта также не учитывают. Поэтому, аналогично формуле (6.12), можно написать для дебита нефти, получаемой из того же i-го пропластка, выражение.

(6.14).

где — вязкость нефти.

Из выражений (6.12) и (6.13), исключая из них давление на фронте вытеснения, получим.

(6.15).

.

Приравнивая (6.12) и (6.15), получим следующее дифференциальное уравнение относительно :

. (6.16).

Интегрируя (6.16) и учитывая, что при приходим к следующему квадратному уравнению относительно :

. (6.17).

Решая это квадратное уравнение, получаем окончательные формулы для определения в пропластке с проницаемостью в любой момент времени.

;

. (6.18).

Для того чтобы получить формулу для определения времени обводненияго пропластка с проницаемостью, положим в первой формуле (6.18) .

Тогда.

. (6.19).

Из формулы (6.19) следует, что пропласток с очень с большой проницаемостью обводнится в самом начале процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта.

Рассмотрим процесс вытеснения нефти водой из слоистого пласта. Для удобства сложим мысленно все пропластки этого пласта в один «штабель», причем таким образом, чтобы абсолютная проницаемость пропластков изменялась последовательно начиная с наименьшей и кончая самой высокой.

Пусть, например, в нижней части этого «штабеля» расположен пропласток с самой большой проницаемостью, а вверху — с наименьшей проницаемостью. Согласно вероятностно-статистической модели слоисто-неоднородного пласта, суммарную толщину пропластков, проницаемость самого проницаемого которых не ниже, чем некоторое значение, равное, можно установить в соответствии с формулой закона распределения проницаемости следующим образом:

(6.20).

где — общая толщина всех пропластков в «штабеле».

Формулу (6.20) можно представить в дифференциальном виде, т. е. через плотность распределения, следующим образом:

. (6.21).

Здесь — плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости.

Вытеснение нефти водой из слоистого пласта в целом можно рассматривать и иным образом, считая, что в некоторые слои толщиной и проницаемостью поступает вода с расходом. Тогда из формул (6.17) и (6.18).

. (6.22).

С учетом (6.21) из (6.22), заменяя конечные приращения соответствующих величин их дифференциалами и опуская индекс, найдем.

. (6.23).

Согласно модели поршневого вытеснения, из обводнившихся пропластков нефть не извлекается — из них поступает только вода. Обводняются, конечно, в первую очередь высокопроницаемые пропластки. В используемых в теории разработки нефтяных месторождений моделях пластов могут быть слои с бесконечно большой проницаемостью. Таким образом, к моменту времени, когда обводнятся все слои с проницаемостью, можно добывать нефть лишь из слоев с проницаемостью. В соответствии со сказанным для дебита нефти из рассматриваемого слоистого пласта на основе (6.23) получим следующее выражение:

. (6.24).

Дебит воды можно определить также с учетом указанных соображений по формуле.

. (6.25).

С помощью приведенных формул можно, задаваясь последовательно значениями времени по (6.19) определять. Затем, предполагая, что плотность вероятностно-статистического распределения абсолютной проницаемости известна, можно определить, проинтегрировав (6.24) и (625),, и .

Приведенные выкладки и формулы пригодны, как уже было указано, для случаев, когда в течение всего процесса вытеснения нефти водой из слоистого пласта перепад давления не изменяется. Когда же задано условие постоянства расхода закачиваемой в слоистый пласт воды, получают несколько иные соотношения для определения дебитов нефти и воды, а также перепада давления, который в данном случае будет изменяться с течением времени. Если, справедливы формулы (6.15) и (6.16), следует при этом учитывать, что перепад давления — функция времени, т. е. .

Введем функцию :

где. (6.26).

Из формулы (6.15), если ее записать относительно дифференциалов расхода и толщины пласта, с учетом (6.26) получим.

. (6.27).

Как и в случае постоянного перепада давления, при постоянном расходе закачиваемой в слоистый пласт воды к некоторому моменту времени часть слоев окажется полностью обводненной, и из них будет добываться только вода, из другой, же части будут добывать безводную нефть. Поэтому полный расход закачиваемой во всю толщу слоистого пласта воды можно определить в результате интегрирования выражения (6.27) и прибавления к правой его части интеграла, учитывающего приток воды из обводнившихся слоев. Имеем.

. (6.28).

Обучающемуся предлагается следующая процедура последовательного определения. Вначале следует задаться значением проницаемости, по формуле (6.19) определить время обводнения слоя, после чего для данного вычислить. Затем определяют интегралы, входящие в формулу (6.28), и при заданном. Вычислительные операции повторяют при других меньших значениях для получения зависимости .

Дебит нефти находят по формуле:

(6.29).

а дебит воды — по формуле:

. (6.30).

В радиальном случае при поршневом вытеснении нефти водой из отдельного слоя вместо уравнения (6.12) будем иметь.

. (6.31).

Пусть в некоторый момент времени фронт вытеснения нефти водой вм слое дошел до радиуса, где пластовое давление равно. Тогда интегрируя (6.31) от радиуса скважины до радиуса, получим.

. (6.32).

В области, т. е. впереди фронта вытеснения, движется нефть с тем же расходом, так что аналогично (6.32) имеем.

. (6.33).

Из (6.32) и (6.33).

;. (6.34).

Аналогично (6.12) для i-го пропластка.

. (6.35).

Приравнивая правые части (6.34) и (6.35) и опуская индекс, получим.

.(6.36).

Обозначим и проинтегрируем (6.36) при Тогда.

. (6.37).

Теперь можно найти время, соответствующее началу обводнения пропластка с абсолютной проницаемостью. Полагая, получим.

. (6.38).

Из формулы (6.34).

. (6.39).

Интегрируя (6.39), как и для прямолинейного случая, при имеем.

; (6.40).

. (6.41).

Для вычисления интеграла (6.40) в подынтегральное выражение следует подставить из формулы (6.37). Поэтому в общем случае необходимо определять, по-видимому, численным путем с использованием ЭВМ. Однако, как и в прямолинейном случае, при вычисления упрощаются. Выражение (6.40) превращается в следующую формулу:

. (6.42).

Необходимо задаваться величиной, определять момент обводнения слоя с проницаемостью по формуле (6.38) и в соответствии с известным вероятностно-статистическим законом распределения абсолютной проницаемости определять и .