Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений

Расчет статически неопределимой рамы методом перемещений Требуется:

1) Построить эпюры изгибающих моментов М_х и поперечных сил Q_y;

Рис. 1. Исходная схема

Исходные данные:

q=4кН/м; l₁ =6м; l₂ =4м; h₁ =5м; h₂ =5м; I₁: I₂=2:3; I₁=2; I₂=3.

Решение:

1. Для заданной системы устанавливаем степень кинематической неопределимости:

СКН = n_у + n_л=2.

Где.

n_л=2У — С — С₀=2· 5 — 4 — 6=10 — 10=0.

Следовательно, для решения необходимо составить 2 дополнительных уравнения неразрывности деформаций метода сил.

2. Выбираем основную систему. Для этого разрезаем Добавляем в узлы 4 и 5 жесткие заделки, разбивая раму на несколько балок.

Рис. 2. Расчетная схема

Для составления эквивалентной системы, в месте жестких заделок добавляем единичные перемещения X₁ и X₂ .

3. Составляем каноническое уравнение метода перемещений:

r₁₁· Z₁ + r₁₂· Z₂ + R_1р= 0;

r₂₁· Z₁ + r₂₂· Z₂ + R_2р= 0;

4. Определение коэффициентов канонического уравнения.

4.1 Строим вспомогательные эпюры и от действия единичных перемещений. И грузовую эпюру Мр от действия заданной нагрузки. Для построения эпюр используем справочные таблицы.

4.2 Определяем перемещения и.

Вырезаем из эпюр узлы 4 и 5 и из условия равновесия, определяем неизвестные коэффициенты уравнения.

Рис. 4. Узлы, для определения неизвестных коэффициентов.

r₁₁=EI (1+2.4)=3.4EI; r₂₁=1.2EI;

r₁₂=1.2EI; r₂₂= EI (2,4+1,5+2.4)=6,3EI;

R_1P=0; R_2P=8,333;

Рис. 5. Суммарная единичная эпюра

Выполняем проверку коэффициентов:

r₁₁ +r₁+ r₂₁ +r₂₂ = EI (3,4+1,2+1,2+6,3) = 12,1 EI.

эпюра метод перемещение канонический Проверка выполняется.

4.3 Решаем канонические уравнения, подставив найденные значения коэффициентов:

Решив эти уравнения, получим:

;

Умножаем единичные эпюры на полученные значения перемещений и строим эпюры от найденных перемещений.

Рис. 6. Эпюры от перемещений

• 5. Построение окончательных эпюр Qу и Mх.
• 5.1 Эпюру результирующих моментов получим, пользуясь формулой:

.

Участок 1−4:

М₄ =0,5 кНм;

Участок 4−5:

М₄ =1,702 — 1,2 = 0,5 кНм;

М₅ =0,6 — 3,403 = 2,803 кНм;

Участок 5 — 3:

М₅ =2,127кНм;

Участок 5 — 1:

М₅ =8,333- 3,403 = 4,93 кНм;

М₂ = 8,333 +1,702=10,035кНм;

М_ср= 4,167+0,851= 5,018 кНм.

5.2 Для проверки правильности построения эпюры М, выполним кинематическую проверку, для этого отбросим опоры 1 и 3 и вместо опоры № 3 приложим единичную силу. Построим эпюру от действия этой силы и перемножим ее с результирующей эпюрой моментов:

Условие выполняется.

Рис. 7. Эпюра от единичной силы

Рис. 8. Эпюры М, Q и N.

5.3 Эпюру поперечной силы построим путем дифференцирования эпюры изгибающего момента.

Значения поперечной силы на участке слева Qл и справа Qпр вычисляются по формуле:

Q_л +Q_0л =tgб.

Q_пр +Q_0пр =tgб где Q_л и Q_пр — соответственно значения поперечной силы слева и справа от действия нагрузки на участке,.

tgб — тангенс угла наклона линейной составляющей эпюры моментов.

Участок 1−4:

эпюра М — прямолинейная, поперечную силу находим по формуле:

Участок 4−5:

эпюра М — прямолинейная:

Участок 5−3:

эпюра М — прямолинейная:

Участок 5−2:

эпюра М — криволинейная, поперечную силу находим по формуле:

Эпюру продольной силы строим путем вырезания узлов из эпюры поперечных сил и составлением уравнений равновесия.

Рис. 9. Схемы к определению продольных сил.

Узел 4:

УY: N4 — 0,601=0 = > N = 0,601.

Узел 5:

УY: N₅ — 0,083+0,532=0 = > N = 0,449.