Вычисление координат пунктов разомкнутого линейно-углового хода

Каждый определяемый пункт линейно-углового хода имеет две координаты X и Y, которые являются неизвестными и которые нужно найти. Общее количество пунктов в ходе обозначим через n, тогда количество неизвестных будет 2 * (n — 2), так как у двух пунктов (исходных начального и конечного) координаты известны. Для нахождения 2 * (n — 2) неизвестных достаточно выполнить 2 * (n — 2) измерений.

Подсчитаем, сколько измерений выполняется в разомкнутом линейно-угловом ходе: на n пунктах измерено n углов — по одному на каждом пункте, измерены также (n — 1) сторон хода, всего получается (2 * n — 1) измерений (рис. 2.18).

Разность между количеством выполненных измерений и количеством необходимых измерений равна:

(2.65).

то-есть, три измерения являются избыточными: это угол на предпоследнем пункте хода, угол на последнем пункте хода и последняя сторона хода. Но тем не менее, эти измерения выполнены, и их необходимо использовать при вычислении координат пунктов хода.

В геодезических построениях каждое избыточное измерение порождает какое-либо условие, поэтому количество условий равно количеству избыточных измерений; в разомкнутом линейно-угловом ходе должны выполняться три условия: условие дирекционных углов и два координатных условия.

Условие дирекционных углов. Вычислим последовательно дирекционные углы всех сторон хода, используя формулу передачи дирекционного угла на последующую сторону хода:

(2.66).

Сложим эти равенства и получим:

откуда.

и (2.67).

Это — математическая запись первого геометрического условия в разомкнутом линейно-угловом ходе. Для правых углов поворота оно запишется так:

(2.68).

Сумма углов, подсчитанная по формулам (2.67) и (2.68), называется теоретической суммой углов хода. Сумма измеренных углов вследствие ошибок измерений, как правило, отличается от теоретической суммы на некоторую величину, называемую угловой невязкой и обозначаемую fв:

(2.69).

Допустимое значение угловой невязки можно рассматривать как предельную ошибку суммы измеренных углов:

(2.70).

Используем известную формулу из теории ошибок для нахождения средней квадратической ошибки функции в виде суммы аргументов (раздел 1.11.2):

(2.71).

При.

получим.

или (2.72).

После подстановки (2.72) в (2.70) получаем:

(2.73).

Для теодолитных ходов mв = 30″, поэтому:

(2.74).

Одним из этапов уравнивания является введение поправок в измеренные величины с целью приведения их в соответствие с геометрическими условиями. Обозначим поправку в измеренный угол Vв и запишем условие:

откуда следует, что:

(2.75).

то-есть, поправки в углы следует выбрать так, чтобы их сумма была равна угловой невязке с противоположным знаком.

В уравнении (2.75) n неизвестных, и для его решения необходимо наложить на поправки Vв (n-1) дополнительных условий; наиболее простым вариантом таких условий будет:

(2.76).

то-есть, все поправки в измеренные углы одинаковы. В этом случае решение уравнения (2.75) получается в виде:

(2.77).

это означает, что угловая невязка fв распределяется с обратным знаком поровну во все измеренные углы.

Исправленные значения углов вычисляются по формуле:

(2.78).

По исправленным углам поворота вычисляют дирекционные углы всех сторон хода; совпадение вычисленного и заданного значений конечного исходного дирекционного угла является контролем прави льности обработки угловых измерений.

Координатные условия. Решая последовательно прямую геодезическую задачу, вычислим приращения координат по каждой стороне хода ДXi и ДYi. Координаты пунктов хода получим по формулам :

(2.79).

Сложим эти равенства и получим для приращений ДXi:

После приведения подобных имеем:

или.

(2.80).

Аналогичная формула для суммы приращений ДY имеет вид:

(2.81).

Получились еще два условия (2.80) и (2.81), которые называются координатными. Суммы приращений координат, подсчитанные по этим формулам, называются теоретическими суммами приращений. Вследствие ошибок измерения сторон и упрощенного способа распределения угловой невязки суммы вычисленных приращений координат в общем случае не будут равны теоретическим суммам; возникают так называемые координатные невязки хода:

(2.82).

по которым вычисляют абсолютную невязку хода:

(2.83).

и затем относительную невязку хода:

(2.84).

Уравнивание приращений ДX и ДY выполняют следующим образом.

Сначала записывают суммы исправленных приращений:

и приравнивают их теоретическим суммам:

откуда следует, что:

(2.85).

В этих уравнениях по (n — 1) неизвестных и для их решения необходимо наложить на поправки VX и VY дополнительные условия. На практике поправки в приращения координат вычисляют по формулам:

(2.91).

которые соответствуют условию «поправки в приращения координат пропорциональны длинам сторон» .

Рассмотренный способ обработки измерений в линейно-угловом ходе можно назвать способом последовательного распределения невязок; строгое уравнивание линейно-углового хода выполняется по методу наименьших квадратов.

После уравнивания одиночного линейно-углового хода ошибки положения его пунктов неодинаковы; они возрастают от начала и конца хода к его середине, и наибольшую ошибку положения имеет пункт в середине хода. В случае приближенного уравнивания эта ошибка оценивается половиной абсолютной невязки хода fs. При строгом уравнивании хода производится сплошная оценка точности, то-есть вычисляются ошибки положения каждого пункта хода, ошибки дирекционных углов всех сторон хода, а также ошибки уравненных значений углов и сторон хода.