Анализ основных видов одномерного течения по закону Дарси

Для практического исследования фильтрационных потоков необходимо знать распределение не абстрактной функции — потенциала, а конкретных физических параметров — давления, скорости, закона движения и т. д. Следовательно, необходим переход от зависимостей (3.3, 3.7−3.10) к зависимостям, определяющим выше перечисленные параметры при использовании, приведенных в разделе 3.2.3. выражений для потенциальной функции.

В связи с тем, что для разработки месторождений наибольшее значение имеет плоско-радиальный тип течения (приток к скважине), то ограничимся получением указанных зависимостей для данного вида течения. При этом исходными будут уравнения:

изменения потенциальной функции.

(3.10).

;

притока.

(3.9).

изменения градиента потенциала.

. (3.3).

Течение несжимаемой жидкости через недеформируемый (пористый) пласт В данном случае.

. (3.11).

Следовательно, распределение давления.

(3.19).

градиент давления.

(3.20).

объёмный дебит (формула Дюпюи).

(3.21).

скорость фильтрации.

(3.22).

закон движения частиц флюида.

Движение частицы описывается уравнением .

Интегрируем данное соотношение по времени от 0 до t и по расстоянию от R0 до r, где R0 — начальное положение частицы флюида. В результате получим.

. (3.23).

Время отбора всей жидкости из кругового пласта.

. (3.24).

средневзвешенное давление.

. (3.25).

С целью получения выражения для средневзвешенного давления определим.

(3.26).

и, подставив в (3.25) выражение (3.19), проинтегрируем от rc до rк. Пренебрегая rс, по сравнению с rк, получаем.

. (3.27).

Рис. 3.4. Индикаторная диаграмма в случае плоскорадиального течения несжимаемой жидкости в недеформируемом пласте по закону Дарси

Анализ:

Дебит не зависит от r, а только от депрессии рк. График зависимости Q от рк (Рис. 3.4) называется индикаторной диаграммой, а сама зависимость — индикаторной. Отношение дебита к депрессии называется коэффициентом продуктивности скважины.

(3.28).

Рис. 3.5. Зависимость градиента давления и скорости от расстояния до центра скважины

Рис. 3.6. Распределение давления по радиусу

• 2. Градиент давления и, следовательно, скорость u обратно пропорциональны расстоянию (рис. 3.5) и образуют гиперболу с резким возрастанием значений при приближении к забою.
• 3. Графиком зависимости р=р (r) является логарифмическая кривая (рис. 3.6), вращением которой вокруг оси скважины образуется поверхность, называемая воронкой депрессии. Отсюда, основное влияние на дебит оказывает состояние призабойной зоны, что и обеспечивает эффективность методов интенсификации притока.
• 4. Изобары — концентрические, цилиндрические поверхности, ортогональные траекториям.
• 5. Дебит слабо зависит от величины радиуса контура rк для достаточно больших значений rк /rc, т.к. rк /rc входят в формулу под знаком логарифма.

Течение несжимаемой жидкости в трещиноватом (деформируемом) пласте распределение давления.

(3.29).

градиент давления.

(3.30).

объёмный дебит.

(3.31).

где знаки перед выражением в правой части зависят от того, является ли скважина эксплуатационной или нагнетательной;

скорость фильтрации.

. (3.32).

При малых депрессиях на пласт из-за малости * можно считать, что.

и тогда зависимость для давления (3.29) переходит в вид, аналогичный распределению давления в недеформируемом пласте.

При *=0, т. е. для недеформируемого трещиноватого пласта, после раскрытия неопределённости в формуле (3.31) получаем формулу Дюпюи.

Рис. 3.7. Кривые распределения давления:

• 1- недеформируемый пласт
• 2 — трещиноватый пласт

Анализ:

• 1. В общем случае воронка депрессии для деформируемого пласта более крутая, чем для недеформируемого, пористого (рис. 3.7). Указанный характер графиков подтверждает, что в деформирумом трещиноватом пласте, за счет уменьшения раскрытости трещин, при снижении пластового давления возникают дополнительные фильтрационные сопротивления, вызывающие резкое понижение давления на сравнительно небольшом расстоянии от скважины, причем более резко снижается давление в пласте с большим *.
• 2. Из формулы для объёмного дебита (3.31) следует, что индикаторная кривая — парабола четвёртого порядка с координатами вершины:

. (3.33).

Рис. 3.8. Вид индикаторной кривой при фильтрации несжимаемой жидкости в трещиноватом пласте

Парабола проходит через начало координат, симметрична относительно оси, параллельной оси дебитов; вторая ветвь смысла не имеет (рис. 3.8). Однако если учесть реальные пластовые условия (полного смыкания трещин не происходит, т.к. не учитываются факторы, связанные с изменением характеристик течения из-за изменения раскрытия трещин в направлении потока), то можно говорить только о приближённом выполнении экстремальных условий (3.33).

Комплексный параметр * можно определить или графоаналитически или непосредственно из (3.31), взяв по индикаторной кривой два известных значения дебита Q1 и Q2 при двух значениях депрессии рс1, рс2, т. е. из соотношения.

. (3.34).

По найденному * можно из уравнения (3.31) определить проницаемость k0т.

Потенциальное движение упругой жидкости через недеформируемый пласт При данном виде течения.

. (3.14).

Подобно тому, как в случае однородной несжимаемой жидкости существует линейная зависимость между потенциалом и давлением р, так в установившимся потоке малосжимаемой жидкости существует линейная зависимость между и плотностью. Это означает, что для упругой жидкости зависимость между координатой r выражается точно теми же формулами, какими выражается зависимость между р и r при однородной несжимаемой жидкости. Чтобы найти зависимость для давления подставим в уравнения, связывающие переменные и r, значения, к и с, определяемые уравнением состояния (2.27). Тогда для плоскорадиального течения имеем.

. (3.35).

Если взять приближенное линейное уравнение состояния, то придём к тем же зависимостям между р и r, что и при однородной несжимаемой жидкости.

Массовый дебит для упругой жидкости определяется из (3.5) при подстановке из (3.14).

. (3.36).

Приближенная формула массового дебита получается при использовании линейного уравнения состояния.

. (3.36*).

Разделив G на плотность, найдем объёмный дебит Q, приведённый к тому давлению, которому соответствует плотность. Так, приводя объёмный дебит к стандартному давлению в 0,1013 МПа, делим G на ст. В этом случае формула (3.36) будет совпадать с формулой (3.21), справедливой для несжимаемой жидкости.

Пренебрегать сжимаемостью жидкости в установившемся потоке можно только при условии достаточно малой величины коэффициента ж и не очень большого перепада давления рс = рк — рс. В этом случае можно, как для несжимаемой жидкости, считать постоянным вдоль потока не только массовый дебит, но и объёмный. В противном случае, вдоль потока: постоянен только массовый дебит; массовая скорость фильтрации изменяется по тому же закону, что скорость фильтрации для несжимаемой жидкости.

Время движения частицы упругой жидкости рассчитывается так же, как и для несжимаемой жидкости.

Рис. 3.9. Распределение давления при плоскорадиальном течении в недеформируемом пласте:

• 1 — газ;
• 2 — несжимаемая жидкость

Течение совершенного газа через недеформируемый пласт В данной постановке, а основные уравнения имеют вид Распределение давления из (3.10).

(3.37).

Если сравнить распределения давления в случае потока газа с соответствующим распределением для однородной несжимаемой жидкости (рис. 3.9), то увидим, что для газа давление вблизи стенок скважины изменяется более резко, чем для несжимаемой жидкости. Пьезометрическая кривая для газа имеет, следовательно, более пологий характер на большем своём протяжении, чем кривая несжимаемой жидкости; однако у неё более резкий изгиб у стенки скважины, чем у кривой несжимаемой жидкости.

Уравнение притока.

(3.38).

Если обе части уравнения (3.38) разделить на ст, то получим формулу для объёмного дебита, приведенного к стандартному давлению.

(3.39).

Рис. 3.10. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси

Таким образом, индикаторная зависимость для газа описывает параболическую зависимость дебита Qст от депрессии рк (рис. 3.10) и линейную зависимость дебита от разницы квадратов пластового и забойного давлений в отличие от индикаторной зависимости для несжимаемой жидкости, где устанавливается линейная связь дебита с депрессией Распределение градиента давления получим из (3.3).

. (3.40).

Из данной формулы следует, что градиент давления вблизи забоя резко возрастает как за счёт уменьшения r, так и за счёт падения давления р, вызванного сжимаемостью газа.

Изменение скорости фильтрации получим из закона Дарси при использовании уравнения (3.40).

. (3.41).

Из (3.41) видно, что скорость фильтрации слабо меняется вдали от скважины и резко возрастает в призабойной зоне.

Рис. 3.11. Индикаторная зависимость при фильтрации газа по закону Дарси в переменных Q — p2

Уравнение индикаторной линии. Уравнение (3.39) устанавливает линейную связь между дебитом и разностью квадратов контурного и забойного давлений, поэтому для простоты исследований индикаторная диаграмма при фильтрации идеального газа по закону Дарси строится в координатах Qст -(рк2-рс2). В этом случае имеем прямую (рис. 3.11), проходящую через начало координат с угловым коэффициентом.

. (3.42).

Запишем уравнение (3.39) в координатах Qст-(рк-рс). Так как Qcт=(рк2-рс2), а разность квадратов рк2 — рс2 = 2ркрс — (рс)2, где (рс= рк — рс), то.

.

Таким образом, для случая фильтрации совершенного газа по закону Дарси, имеем параболу с осью, параллельной оси дебитов (рис. 3.10). Ветвь параболы, изображенная пунктиром, физического смысла не имеет.

Реальный газ и недеформируемый пласт Следует использовать при давлении рпл>10МПа и депрессии на пласт рс/рк<0.9.

Как и в предыдущем случае, полагаем k=const. Уравнение состояния реального газа имеет вид р = z R T. (2.30).

или для изотермического течения газа.

(3.16).

Потенциальная функция имеет вид.

(3.44).

где z = (zc+zк) / 2; = (c+к) / 2; zс =z (pс), с =(pс), zк =z (pк), к =(pк).

Подставив в (3.9) выражение потенциала (3.44) и перейдя от массового дебита к объёмному, приведённому к стандартным условиям,.

Qст = G/cm, получим уравнение притока:

(3.45).

Полученное выражение для дебита реального газа отличается от выражения (3.39) совершенного газа среднепластовыми множителями и z. Если сравнить расчётные значения, то можно заметить, что дебиты реального газа ниже дебитов совершенного при тех же условиях. Для тяжелых углеводородов дебит природного газа может составлять всего лишь 72% дебита совершенного.