Приближенное вычисление значений определенного интеграла

Федеральное агентство по образованию РФ

Тульский государственный университет

Кафедра АОТ и ОС

КУРСОВАЯ РАБОТА

по курсу информатика

" ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА"

Тула, 2007

Метод средних прямоугольников

Метод трапеций

Метод Ньютона-Котеса

Метод Чебышева

Блок-схема основной программы

Блок-схема процедуры: метод трапеций

Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры: метод Чебышева

Текст программы

Список используемой литературы

На практике редко удается вычислить точно определенный интеграл. Например, в элементарных функциях не вычисляется функция Лапласа широко используемая в теории вероятностей для вычисления вероятностей, связанных с нормально распределенными случайными величинами.

Задача численного интегрирования состоит в нахождении приближенного значения интеграла:

(1)

от непрерывной на отрезке [a, b] функции .

Численные методы интегрирования применяются в случаях, когда не удается найти аналитическое выражение первообразной для функции либо если функция задана таблично. Формулы численного интегрирования называются квадратурными формулами.

Пример: Приближенное неравенство

(2)

где q_j — некоторые числа, x_j — некоторые точки отрезка [a, b], называется квадратурной формулой, определяемой весами q_j и узлами x_j.

Говорят, что квадратурная формула точна для многочленов степени m, если при замене на произвольный алгебраический многочлен степени m приближенное равенство (2) становится точным.

Рассмотрим некоторые широко используемые примеры приближенного вычисления определенных интегралов, квадратурные формулы.

Метод средних прямоугольников

Вычисление определенного интеграла геометрически означает вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, прямыми х=а и х=b и осью абсцисс. Приближенно эта площадь равна сумме площадей прямоугольников.

Обозначим, где

n — количество шагов.

Формула левых прямоугольников:

Формула правых прямоугольников:

Более точной является формула средних прямоугольников:

Метод трапеций

Площадь под кривой заменяется суммой площадей трапеций:

или

Нетрудно убедиться, что

Поскольку точность вычислений по приведенным формулам зависит от числа разбиений n исходного отрезка [a; b], то вычислительный процесс целесообразно строить итерационным методом, увеличивая n до тех пор, пока не будет выполнено условие

<

где — значения интеграла на шаге, а — точность вычислений.

Метод Ньютона-Котеса

Заменим подынтегральную функцию f (x) интерполяционным многочленом Лагранжа:

.

Тогда

;

(1)

Так как dx=hdq, то

Так как, то

Окончательно получаем формулу Ньютона-Котеса:

(2)

Величины H_i называют коэффициентами Ньютона-Котеса. Они не зависят от f (x). Их можно вычислить заранее для различного числа узлов n (таблица 1).

Формула Ньютона-Котеса с n узлами точна для полиномов степени не выше n. Для получения большей точности не рекомендуется использовать формулы с большим числом узлов, а лучше разбивать отрезок на подотрезки, к каждому из которых применяется формула с одним и тем же небольшим числом узлов.

Таблица 1. Значения коэффициентов Ньютона-Котеса

Интересно отметить, что из формулы (2) следуют как частные случаи: формула трапеций при n=1

;

формула Симпсона при n=2

;

правило трех восьмых при n=3

.

Формулу (2) при n>6 не применяют, так как коэффициенты Ньютона-Котеса становятся слишком большими и вычислительная погрешность резко возрастает.

Метод Чебышева

П.Л. Чебышев предложил формулу:

в которой коэффициенты c_i фиксированы, а х_i подлежат определению.

Пользуясь алгебраическими свойствами симметричных многочленов, опустив преобразования, ограничимся готовыми результатами. В таблице 2 приведены значения узлов квадратурной формулы Чебышева для некоторых значений n.

Таблица 2. Значения узлов квадратурной формулы Чебышева

Для любых пределов интегрирования имеем:

где ,

Значения x_i берутся из таблицы при выбранном значении n. Для повышения точности можно не только увеличивать количество узлов, но и разбивать отрезок [a, b] на подотрезки, к каждому из которых применяется соответствующая формула. Не рекомендуется применять формулы с большим количеством узлов (n>=8).Доказано, что для n=8 построить квадратурную формулу Чебышева невозможно.

Блок-схема основной программы

Блок-схема процедуры: метод трапеций

Блок-схема процедуры: метод Ньютона-Котеса

Блок-схема процедуры: метод Чебышева

Текст программы

program Curs;

uses crt, graph;

var i, n: integer;

t:byte;

a, b, eps, h: real;

x, sum1, sum2, seps, m0, m1, m2, m3, m4: real;

lf:text;

st:string;

function f (x:real):real;

begin

f:=19.44*exp (0.224*x);

end;

procedure gr (xn, xk: real);

var x, y, mx, my, dx, dy,

ymin, ymax, xh: real;

xb, yb, xm, ym, xl, yv, xp, yn, bord1, bord2, bord3, bord4, xt, yt, xt1, yt1, dxp, dyp, nd, nr, i, kx, ky, k: integer;

st:string;

begin

k:=100;

xh:=(xk-xn)/100;

ymax:=f (xn);

dx:=(xk-xn)/100;

for i:=1 to 100 do

begin x:=xn+dx*i;

y:=f (x);

if y>ymax then ymax:=y;

end;

ymin:=0;

ymax:=round (ymax);

nd:=detect;

initgraph (nd, nr, 'c:tp7bgi');

bord1:=60; kx:=6;

bord2:=30; ky:=8;

bord3:=30;

bord4:=80;

xb:=0; yb:=0; xm:=getmaxx; ym:=getmaxy;

xl:=xb+bord1;

xp:=xm-bord2;

yv:=yb+bord3;

yn:=ym-bord4;

dxp:=(xp-xl) div kx;

dyp:=(yn-yv) div ky;

dx:=(xk-xn)/kx;

dy:=(ymax-ymin)/ky;

xl:=xp-dxp*kx;

yn:=yv+dyp*ky;

mx:=(xp-xl)/(xk-xn);

my:=(yn-yv)/(ymax-ymin);

setfillstyle (1,15);

bar (xb, yb, xm, ym);

setcolor (0);

setlinestyle (0,0,1);

bar (xl, yv, xp, yn);

rectangle (xl, yv, xp, yn);

settextjustify (0,2);

settextstyle (2,1,4);

setcolor (9);

for i:=0 to kx do begin

xt:=xl+dxp*i;

str (xn+dx*i:6:3, st);

line (xt, yn₃, xt, yn+3);

outtextxy (xt+4, yn+8, st);

end;

settextstyle (0,0,1);

for i:=0 to ky do begin

yt:=yv+dyp*i;

str (ymax-dy*i:6:3, st);

line (xl₃, yt, xl+3, yt);

outtextxy (xl₅₆, yt₄, st);

end;

outtextxy (xl+100, bord3 div 2,'y=19.44*exp (0.224*x)');

setcolor (12);

if xn*xk<0 then begin

xt:=xl-trunc (xn*mx);

line (xt, yv, xt, yn);

end;

if ymax*ymin<0 then begin

yt:=yv+trunc (ymax*my);

line (xl, yt, xp, yt);

end;

xh:=(xk-xn)/5;

for i:=0 to 5 do begin

setcolor (3);

x:=xn+xh*i;

y:=f (x);

xt:=xl+trunc ((x-xn)*mx);

yt:=yv+trunc ((ymax-y)*my);

circle (xt, yt, 3);

if i>0 then

line (xt, yt, xt1, yt1);

setcolor (5);

rectangle (xt1, yt1, xt, yn);

xt1:=xt;

yt1:=yt;

end;

repeat until keypressed;

closegraph;

end;

function pr: real;

var s, x: real;

begin

s:=0;

x:=a;

for i:=1 to n do

begin

s:=s+abs (f (x))*h;

x:=x+h;

end;

pr:=s;

end;

function tr: real;

var s, x: real;

begin

s:=0;

x:=a;

for i:=1 to n do

begin

s:=s+(f (x)+f (x+h))/2*h;

x:=x+h;

end;

tr:=s;

end;

function ch: real;

var s, dp, kf, a1, b1: real;

begin

s:=0;

kf:=sqrt (1/3);

for i:=2 to n+1 do

begin

a1:=a+h*(i₂);

b1:=a1+h;

s:=s+((b1_a1)/2)*(f ((a1+b1)/2_kf*((b1_a1)/2))+f ((a1+b1)/2+kf*((b1_a1)/2)));

end;

ch:=s;

end;

function si: real;

var s, x, f1, f2: real;

begin

s:=0;

x:=a;

i:=1;

f1:=0;

repeat

f1:=f1+f (a+h*i);

i:=i+2;

until i>=n;

i:=2;

f2:=0;

repeat

f2:=f2+f (a+h*i);

i:=i+2;

until i>=n;

s:=h/3*(f (a)+f (b-h)+(4*f1)+(2*f2));

si:=s;

end;

begin

assign (lf, 'otchet.txt');

rewrite (lf);

clrscr;

write ('Введите значение левого предела интегрирования: '); readln (a);

write ('Введите значение правого предела интегрирования: '); readln (b);

write ('Введите значение погрешности: '); readln (eps);

write ('Введите начальное значение количества разбиений: '); readln (n);

writeln;

gr (a, b);

write ('Ждите, идет обработка данных ');

m0:=0;

writeln (lf, ' КУРСОВАЯ РАБОТА');

writeln (lf, ' ПО КУРСУ ИНФОРМАТИКА');

writeln (lf, ' «ПРИБЛИЖЕННОЕ ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ');

writeln (lf, ' ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА" ');

writeln (lf, ' Выполнил: студент гр. ');

writeln (lf, ' Вариант 22 y=19.44*exp (0.224*x)');

writeln (lf, ' Xn=', a:5:3,' Xk=', b:5:3,' Eps=', eps:5:3);

writeln (lf);

writeln (lf, ' РЕЗУЛЬТАТЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ');

repeat

h:=abs (b-a)/n;

m1:=pr;

m2:=tr;

m3:=si;

m4:=ch;

seps:=abs (m1_m0);

writeln (lf, ' ¦', n:7,' ¦', m1:11:8,'¦', m2:11:8,'¦', m3:11:8,'¦', m4:11:8,'¦', seps:11:8,'¦');

m0:=m1;

n:=n+200;

until (seps<=eps);

clrscr;

reset (lf);

while not eof (lf) do

begin

readln (lf, st);

writeln (st);

end;

{write ('Нажмите для выхода из программы');

repeat until keypressed;}

close (lf);

end.

Список используемой литературы

1. Бахвалов Н. С. «Численные методы». М.: Наука, 1987 — 598 с.

2. Калиткин Н. Н. «Численные методы». М.: Наука, 1988 — 512 с.

3. Крылов В. И. «Вычислительные методы». М.: Наука, 1977 — 408 с.

4. Нечаев В. И., Нечаева О. А., Почуева Л. Н. «Численные методы». Тула, 1999.