Уравнения, описывающие положение колес робота

Движение двухколесного робота зависит от оборотов левого и правого колеса. При различных скоростях колес робот начинает двигаться по окружности с центром в точке, описываемой радиус-вектором R_{c. Радиус поворота — длина вектора Rr. Графически модель представлена на рис. 3.5.}

Рис. 3.5 Графическое представление модели робота

Дополнительные параметры робота:

D_r — диаметр колеса.

l — расстояние между колесами.

щ₁ — угловая скорость левого колеса.

щ₂ — угловая скорость правого колеса.

ц — угол, определяющий ориентацию робота Сначала найдем ?ц. Длина дуги, по которой проехало правое колесо:

Зная длину дуги, нетрудно вычислить ?ц, поделив полученное выражение на длину окружности, по которой вращается колесо.

где |R_{r(t)| + l/2 — радиус вращения правого колеса.}

Аналогичным образом ?ц определяется для левого колеса, необходимо лишь изменить радиус вращения:

Из выражений для ?ц можно выразить |R_{r|, приравняв правые части:}

Подставив полученное выражение для |R_{r| в любое из выражений для ?ц и произведя упрощение, получаем конечное выражения для ?ц:}

Теперь перейдем к описанию положения робота. Для задания начального положения рота необходимо ввести два радиус-вектора P₀₁ и P₀₂, определяющие положения колес. Очевидно, что разность этих векторов дает координаты центра робота.

Так же есть необходимость введения матрицы поворота двумерного вектора на угол ц T (ц):

Поскольку время ?t мало, можно рассматривать перемещение робота как движение по дуге с постоянным радиусом |R_{r|. Центр дуги задается радиус-вектором Rр. В этом случае выполняется равенство:}

Из данного равенства можно выразить ?R_r(t):

На данном этапе необходимо сделать подстановку |R_{r| и ?ц, а так же произвести упрощение выражения с учетом малости ?ц (sin (?ц) = ?ц, cos (?ц) =1). После этого можно разложить выражение для вектора ?Rr(t) по компонентам х и у и представить его в дифференциальной форме:}