Эконометрические методы исследований

Задача 1

Имеется информация по 10 предприятиям о зависимости удельных постоянных расходов от объема выпускаемой продукции :

1. Оцените коэффициенты линейной регрессии по методу наименьших квадратов.

2. Проверьте статистическую значимость оценок теоретических коэффициентов при уровне значимости .

3. Рассчитайте 95%-е доверительные интервалы для теоретических коэффициентов регрессии.

• 4. Спрогнозируйте постоянные расходы при объеме выпуска и рассчитайте 95% доверительный интервал для условного математического ожидания .
• 5. Рассчитайте границы интервала, в котором будет сосредоточено не менее 95% возможных постоянных расходов при объеме выпуска .
• 6. Оцените на сколько единиц изменится значение постоянных расходов, если объем выпуска вырастет на 100.

• 7. Рассчитайте коэффициент детерминации .
• 8. Рассчитайте — статистику для коэффициента детерминации и оцените его статистическую значимость.

Решение.

На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит линейный характер.

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = bx + a.

Система нормальных уравнений.

a*n + b? x = ?y.

a?x + b? x² = ?y*x.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 10 740 b = 8352
• 10 740 a + 11 678 800 b = 9 071 090
• -10740a -11 534 760 b = -8 970 048
• 10 740 a + 11 678 800 b = 9 071 090

Получаем:

144 040 b = 101 042.

b = 0.7015.

• 10a + 10 740 b = 8352
• 10a + 10 740 * 0.7015 = 8352
• 10a = 818.04

a = 81.8044.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 0.7015 x + 81.8044.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

эконометрика линейный регрессия прогнозирование Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Коэффициент корреляции.

Ковариация.

Рассчитываем показатель тесноты связи. Таким показателем является выборочный линейный коэффициент корреляции, который рассчитывается по формуле:

Линейный коэффициент корреляции принимает значения от -1 до +1.

Связи между признаками могут быть слабыми и сильными (тесными). Их критерии оцениваются по шкале Чеддока:

• 0.1 < rxy < 0.3: слабая;
• 0.3 < r_xy < 0.5: умеренная;
• 0.5 < r_xy < 0.7: заметная;
• 0.7 < r_xy < 0.9: высокая;
• 0.9 < r_xy < 1: весьма высокая;

В нашем примере связь между признаком Y фактором X весьма высокая и прямая.

Кроме того, коэффициент линейной парной корреляции может быть определен через коэффициент регрессии b:

Уравнение регрессии (оценка уравнения регрессии).

Линейное уравнение регрессии имеет вид y = 0.7 x + 81.8.

Коэффициентам уравнения линейной регрессии можно придать экономический смысл.

Коэффициент регрессии b = 0.7 показывает среднее изменение результативного показателя (в единицах измерения у) с повышением или понижением величины фактора х на единицу его измерения. В данном примере с увеличением на 1 единицу y повышается в среднем на 0.7.

Коэффициент a = 81.8 формально показывает прогнозируемый уровень у, но только в том случае, если х=0 находится близко с выборочными значениями.

Но если х=0 находится далеко от выборочных значений х, то буквальная интерпретация может привести к неверным результатам, и даже если линия регрессии довольно точно описывает значения наблюдаемой выборки, нет гарантий, что также будет при экстраполяции влево или вправо.

Связь между у и х определяет знак коэффициента регрессии b (если > 0 — прямая связь, иначе — обратная). В нашем примере связь прямая.

Бета — коэффициент.

Т.е. увеличение x на величину среднеквадратического отклонения S_x приведет к увеличению среднего значения Y на 99.1% среднеквадратичного отклонения S_y.

Коэффициент детерминации.

R²= 0.991² = 0.9825.

т.е. в 98.25% случаев изменения х приводят к изменению y. Другими словами — точность подбора уравнения регрессии — высокая. Остальные 1.75% изменения Y объясняются факторами, не учтенными в модели (а также ошибками спецификации).

Для оценки качества параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 2).

Анализ точности определения оценок коэффициентов регрессии.

Несмещенной оценкой дисперсии возмущений является величина:

S² = 158.01 — необъясненная дисперсия (мера разброса зависимой переменной вокруг линии регрессии).

S = 12.57 — стандартная ошибка оценки (стандартная ошибка регрессии).

S_a — стандартное отклонение случайной величины a.

S_b — стандартное отклонение случайной величины b.

Доверительные интервалы для зависимой переменной.

Прогнозные значения факторов подставляют в модель и получают точечные прогнозные оценки изучаемого показателя.

(a + bx_p ± е) где t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306.

Рассчитаем границы интервала, в котором будет сосредоточено 95% возможных значений Y при неограниченно большом числе наблюдений и X_p = 1200.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a.

y (1200) = 0.701*1200 + 81.804 = 923.587.

• 923.587 ± 13.29
• (910.3;936.88)

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Вычислим ошибку прогноза для уравнения y = bx + a + е.

(891.7;955.48).

Индивидуальные доверительные интервалы для Y при данном значении X.

(a + bx_i ± е) где.

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306.

С вероятностью 95% можно гарантировать, что значения Y при неограниченно большом числе наблюдений не выйдет за пределы найденных интервалов.

Проверка гипотез относительно коэффициентов линейного уравнения регрессии.

1) t-статистика. Критерий Стьюдента.

t_крит (n-m-1;б/2) = (8;0.025) = 2.306.

Отметим значения на числовой оси.

Поскольку 21.18 > 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии b подтверждается (отвергаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента).

Поскольку 2.29 < 2.306, то статистическая значимость коэффициента регрессии a не подтверждается (принимаем гипотезу о равенстве нулю этого коэффициента). Это означает, что в данном случае коэффициентом a можно пренебречь.

Доверительный интервал для коэффициентов уравнения регрессии.

Определим доверительные интервалы коэффициентов регрессии, которые с надежность 95% будут следующими:

• (b — t_крит S_b; b + t_крит S_b)
• (0.7 — 2.306 * 0.0331; 0.7 + 2.306 * 0.0331)
• (0.625;0.778)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

• (a — t_крит S_a; a + t_крит S_a)
• (81.804 — 2.306 * 35.79; 81.804 + 2.306 * 35.79)
• (-0.735;164.343)

С вероятностью 95% можно утверждать, что значение данного параметра будут лежать в найденном интервале.

Так как точка 0 (ноль) лежит внутри доверительного интервала, то интервальная оценка коэффициента a статистически незначима.

2) F-статистика. Критерий Фишера.

Табличное значение критерия со степенями свободы k₁=1 и k₂=8, F_табл = 5.32.

Отметим значения на числовой оси.

Поскольку фактическое значение F > F_табл, то коэффициент детерминации статистически значим (найденная оценка уравнения регрессии статистически надежна).

Связь между F-критерием Фишера и t-статистикой Стьюдента выражается равенством:

Задача 2

Выберите подходящую нелинейную модель, линеаризуйте ее и оцените параметры, если имеются следующие данные (- объясняющая переменная, — зависимая переменная).

Решение Логарифмическое уравнение регрессии имеет вид y = b ln (x) + a.

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = b ln (x) + a + е, где e_i — наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

Для оценки параметров б и в — используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a?x + b? x² = ?y*x.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 6.56 b = 484.5
• 6.56 a + 5.22 b = 403.4

Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -6.56a -4.33 b = -319.77
• 6.56 a + 5.22 b = 403.4

Получаем:

0.89 b = 83.63.

Откуда b = 93.8252.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 6.56 b = 484.5
• 10a + 6.56 * 93.8252 = 484.5
• 10a = -130.99

a = -13.0971.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 93.8252, a = -13.0971.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 93.8252 ln (x) + 13.0971.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.

Экспоненциальное уравнение регрессии имеет вид y = a e^bx

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a e^bx + е, где e_i — наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln (y) = ln (a) + bx.

Система нормальных уравнений.

a*n + b? x = ?y.

a?x + b? x² = ?y*x.

• 10a + 55 b = 15.52
• 55 a + 385 b = 96.08
• -55a -302.5 b = -85.35
• 55 a + 385 b = 96.08

Получаем:

82.5 b = 10.73.

b = 0.1301.

• 10a + 55 b = 15.52
• 10a + 55 * 0.1301 = 15.52
• 10a = 8.36

a = 0.8363.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^{0.83 633 088}e^0.1301x = 6.86011e^0.1301x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.

Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x^b

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a x^b + е, где e_i — наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим:

ln (y) = ln (a) + b ln (x).

Для оценки параметров б и в — используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a?x + b? x² = ?y*x.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 6.56 b = 15.52
• 6.56 a + 5.22 b = 11.36

Домножим уравнение (1) системы на (-0.66), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -6.56a -4.33 b = -10.24
• 6.56 a + 5.22 b = 11.36

Получаем:

0.89 b = 1.12.

Откуда b = 1.3.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 6.56 b = 15.52
• 10a + 6.56 * 1.3 = 15.52
• 10a = 6.99

a = 0.699.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 1.3, a = 0.699.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^{0.69 900 427}x^1.3 = 5.00039x^1.3

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.

Гиперболическое уравнение регрессии имеет вид y = b/x + a.

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид вид y = b/x + a + е, где e_i — наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: y=bx + a.

Для оценки параметров б и в — используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b?(1/x) = ?y.

a?1/x + b?(1/x²) = ?y/x.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 2.93 b = 484.5
• 2.93 a + 1.55 b = 80.29

Домножим уравнение (1) системы на (-0.29), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -2.93a -0.85 b = -140.51
• 2.93 a + 1.55 b = 80.29

Получаем:

0.7 b = -60.22.

Откуда b = -89.0634.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 2.93 b = 484.5
• 10a + 2.93 * (-89.0634) = 484.5
• 10a = 745.46

a = 74.5364.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = -89.0634, a = 74.5364.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = -89.0634 / x + 74.5364.

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.

Показательное уравнение регрессии имеет вид y = a b^x

Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a b^x + е, где e_i — наблюдаемые значения (оценки) ошибок е_i, а и b соответственно оценки параметров б и в регрессионной модели, которые следует найти.

После линеаризации получим: ln (y) = ln (a) + x ln (b).

Для оценки параметров б и в — используют МНК (метод наименьших квадратов).

Система нормальных уравнений.

a*n + b? x = ?y.

a?x + b? x² = ?y*x.

Для наших данных система уравнений имеет вид.

• 10a + 55 b = 15.52
• 55 a + 385 b = 96.08

Домножим уравнение (1) системы на (-5.5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения.

• -55a -302.5 b = -85.35
• 55 a + 385 b = 96.08

Получаем:

82.5 b = 10.73.

Откуда b = 0.1301.

Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1):

• 10a + 55 b = 15.52
• 10a + 55 * 0.1301 = 15.52
• 10a = 8.36

a = 0.8363.

Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.1301, a = 0.8363.

Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии):

y = 10^0.8363*10^0.1301x = 6.86 011*1.3492^x

Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу (табл. 1).

Параметры уравнения регрессии.

Выборочные средние.

Выборочные дисперсии:

Среднеквадратическое отклонение Коэффициент корреляции b можно находить по формуле, не решая систему непосредственно:

Индекс корреляции.

Величина индекса корреляции R находится в границах от 0 до 1. Чем ближе она к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Полученная величина свидетельствует о том, что фактор x существенно влияет на y.

Задача 3

Рассматривается модель .

Получены матрицы.

.

Рассчитайте оценки параметров модели.

Ответ.

Модель регрессии в стандартном масштабе предполагает, что все значения исследуемых признаков переводятся в стандарты (стандартизованные значения) по формулам:

где хji — значение переменной хji в i-ом наблюдении.

Таким образом, начало отсчета каждой стандартизованной переменной совмещается с ее средним значением, а в качестве единицы изменения принимается ее среднее квадратическое отклонение S.

Если связь между переменными в естественном масштабе линейная, то изменение начала отсчета и единицы измерения этого свойства не нарушат, так что и стандартизованные переменные будут связаны линейным соотношением:

t_y = ?в_jt_xj

Для оценки в-коэффциентов применим МНК. При этом система нормальных уравнений будет иметь вид:

r_x1y=в₁+r_x1x2*в₂ + … + r_x1xm*в_m

r_x2y=r_x2x1*в₁ + в₂ + … + r_x2xm*в_m

r_xmy=r_xmx1*в₁ + r_xmx2*в₂ + … + в_m

Для наших данных (берем из матрицы парных коэффициентов корреляции):

• -0.06 = в₁ -0.002в₂
• -0.06 = -0.002в₁ + в₂

Данную систему линейных уравнений решаем методом Гаусса: в₁ = -0.0601; в₂ = -0.0601;

Искомое уравнение в стандартизованном масштабе: t_y=в₁t_x1+в₂t_x2

Расчет в-коэффициентов можно выполнить и по формулам:

Стандартизированная форма уравнения регрессии имеет вид:

y⁰ = -0.0601x₁ -0.0601x₂

Найденные из данной системы в-коэффициенты позволяют определить значения коэффициентов в регрессии в естественном масштабе по формулам:

Для нашего примера непосредственное влияние фактора x₁ на результат Y в уравнении регрессии измеряется в_j и составляет -0.0601; косвенное (опосредованное) влияние данного фактора на результат определяется как:

r_x1x2в₂ = -0.002 * -0.0601 = 0.12.

Расчёт коэффициента корреляции выполним, используя известные значения линейных коэффициентов парной корреляции и в-коэффициентов.

Коэффициент детерминации.

R² = 0.721.

Задача 4

Чему равны коэффициент детерминации — статистика в случае строгой функциональной зависимости от ?

Ответ: Для модели линейной регрессии с одним признаком коэффициент детерминации равен квадрату обычного коэффициента корреляции между у от х. Поскольку, F-статистика для коэффициента R2 (5.8) является в точности квадратом t-статистики для (5.9). Как и следовало ожидать, критическое значение F будет равно квадрату критического значения t-статистики, при любом уровне значимости, и эти два теста всегда дают один и тот же результат, поскольку переменная, имеющая распределение Фишера, при условии, что первое число степеней свободы равно 1, имеет распределение квадрата Стьюдента.