Геометрическое моделирование объектов объёмной графики

Геометрические модели объектов трехмерной КГ

К геометрическим объектам КГ относятся:

• а) точка, отрезок, прямая, плоскость;
• б) кривые линии (плоские и пространственные);
• в) многогранники;
• г) поверхности: линейчатые и криволинейные;
• д) элементарные геометрические тела (объёмные примитивы): параллелепипед, конус, цилиндр и т. д.;
• е) составные геометрические объекты, полученные из объёмных примитивов с использованием операций геометрического синтеза: соединение, пересечение, разность, дополнение;
• ж) объёмные фигуры произвольной формы.

Для отражения разнообразных свойств геометрических объектов КГ применяют различные геометрические модели: аналитические, рецепторные, структурные, кинематические, составные.

Аналитические модели геометрических объектов трёхмерной КГ

В КГ принято, что ось Z направлена перпендикулярно плоскости экрана, а оси x и y лежат в плоскости экрана.

При описании геометрических объектов возможны два подхода:

точное аналитическое описание объектов;

описание объектов приближенными методами: интерполяции и аппроксимации.

Формы задания прямой в пространстве. В аналитической геометрии прямая, проходящая через точку в заданном направлении, определяется уравнением (рис. 11, а).

r = r1+ta,.

где r1 — радиус — вектор заданной точки на прямой; a — единичный вектор, задающий направление; t — параметр.

Пример 4. Прямая, проходящая через точку (1, 2, 3) и в направлении (1/, -1/, 1/), определяется соотношением.

Координаты точек этой прямой определяются.

x = 1+, y = 2 —, z = 3+,.

где =t/.

Если прямая проходит через две точки Р1 Р2, то для произвольной точки пространства Р (рис. 11,б) запишем уравнение.

Отсюда r = r1+t (r2 — r1),.

и в конечном итоге r = (1- t) r1+tr2. (20).

а) б) Рис. 11. Различные способы задания прямой

Пример 5. Прямая, проходящая через точки (1, 2, 3) и (5, 6, 7), определяется соотношениями.

X = (1- t) + 5t =1 + 4t;

Y = 2(1- t) + 6t =2 + 4t;

Z = 3(1- t) + 7t =3 + 4t.

Формы задания плоскости. Уравнение вида.

Ax + By + Cz + 0 = 0,.

где A, B, C не равны нулю одновременно, определяет плоскость.

Плоскость, проходящая через точки A, B, C, заданные радиусами-векторами a, b, c, (рис.12) определяется уравнением.

r = a+ u (b-a) + х (c-a),.

где u, х — параметры.

Рис. 12. Плоскость, проходящая через три точки

Формы задания кривых. В объемной КГ применяются плоские и пространственные кривые. Плоские кривые рассматриваются как граничные кривые отсека поверхности. Формы задания плоских кривых рассмотрены в 2.1.3 и 2.1.4. Пространственную кривую в трёхмерном пространстве можно получить как линию пересечения двух поверхностей или как траекторию движущейся точки. В КГ предпочтительней второй вариант.

Параметрическое задание пространственной кривой имеет вид.

x =x (u);

y =y (u);

z =z (u);

a u b,.

где функции x (u), y (u), z (u) — непрерывные на отрезке [a, b].

Формы задания многогранников. Многогранником называют геометрическую фигуру трёхмерного пространства, поверхность которой состоит из конечного числа плоских многоугольников. Многоугольники называются гранями многогранника. Примеры многогранников: куб, пирамида, прямоугольный параллелепипед, призма.

Многогранники могут быть описаны двумя различными способами, каждый из которых при построении изображения на дисплее имеет свои преимущества и недостатки.

Первый вариант — проволочное описание, при котором многогранник задается списком рёбер: каждое ребро — прямая, заданная двумя точками в локальной координатной системе (рис. 13, а). Недостатком проволочной модели является то, что она не содержит достаточной информации для построения изображения с удалением линий невидимого контура.

Второй вариант — полигональная модель — задаёт многогранник как набор граней (многоугольников): каждый многоугольник представлен набором вершин с соответствующими координатами в локальной системе координат. В этом случае легко определить видимость граней (рис. 13, б).

Рис. 13. Представление многогранника

Представление поверхностей. Как и при описании кривых, в процессе машинного представления поверхностей возникают задачи интерполяции, аппроксимации и сглаживания исходных данных. При воспроизведении поверхностей средствами КГ объём необходимых ресурсов ЭВМ по сравнению с аналогичными операциями над линиями резко возрастает, поэтому локальные кусочно-непрерывные способы представления чаще всего являются единственно возможными.

Одним из решений представления кусочных поверхностей является построение отсека поверхности, ограниченного плоскими кривыми. Другой способ предусматривает для задания формы поверхности точек-ориентиров таким образом, как это делалось на плоскости для кривых Безье.

Простейшим средством интерполирования в трехмерном случае является треугольник, заданный тремя точками: Р1, Р2, Р3. Поверхность треугольника, вершины которого находятся в указанных точках, определяется уравнением.

(21).

где u+1.

Из уравнения (21) следует, что T (1,0) = P1; T (0,1)=P2; T (0,0) = P3.

Кроме того, T (u, 0) — прямая, соединяющая точки: P1и P2, T (0,) — прямая, соединяющая точки P2 и P3; T (u, 1-u) — прямая, соединяющая точки P1 и P2 (рис.14). Следовательно, уравнение (19) определяет плоскость, проходящую через точки P1, P2, P3.

Рис. 14. Пример отсека поверхности, заданного тремя точками

Такой способ интерполяции поверхности треугольниками получил название триангуляции.

Пример 6. Рассмотрим точки P1(1,0,0), P2(0,1,0) и P3(0,0,1). Координаты x, y, z каждой точки плоскости определяются следующими выражениями:

x (u,) = u,.

y (u,) = ,.

z (u,) = 1-uили.

x + y + z = 1.

Более сложным является случай интерполяции, когда отсек поверхности задаётся четырьмя точками: P1, P2, P3, P4 (рис.15).

Рис. 15. Пример четырех точек, определяющих поверхность

Поверхность Т (u,) определяется уравнением.

T (u,) = P1(1-u)(1-)+ P2(1-u) +P3u (1-) + P4u. (22).

Если четыре точки компланарны, то Т (u,) представляет плоский четырёх угольник, в противном случае — поверхность второго порядка.

Пример 7. Рассмотрим точки P1(0,0,0), P2(0,1,0), P3(1,0,0), P4(1,1,1). Координаты каждой точки интерполяционной поверхности определяются уравнениями, получаемыми подстановкой координат в (22).

x (u,) = u, y (u,) =, z (u,) = u, или.

z = xy.

Если в уравнении прямой (20) заменить векторы r1 и r2 на P (0,) и P (1,) — уравнения пространственных кривых, то получим уравнение линейчатой поверхности. Такая поверхность образуется прямой, скользящей по двум кривым, называемым направляющими. Уравнение линейчатой поверхности (рис.16) определяется.

T (u,) = (1-u)P (0,)+ uP (1,). (23).

Рис. 16. Линейчатая поверхность

Как обобщение интерполяции поверхности по четырем точкам можно рассматривать интерполяцию поверхности по методу С. Инаба, в котором заданы четыре точки и значения частных производных и в этих точках (рис.17).

Рис. 17. Задание поверхности по способу С. Инаба

Уравнение отсека поверхности (см. рис.17) в декартовых координатах может быть записано.

; (24).

Уравнение (24) имеет 16 коэффициентов. Для их определения даны координаты четырёх точек и значения частных производных и в каждой точке. Каждый угол, таким образом, даёт по три параметра. Недостающие четыре параметра даёт задание координат четырёх точек, лежащих внутри поверхности.

В 1960 году Кунсом был разработан метод интерполяции поверхности по четырем граничным кривым (рис.18).

Рис. 18. Порция поверхности по Кунсу

Рассматривая кривые P (0,) и P (1,) как направляющие, можем записать в соответствии с (23) уравнение линейчатой поверхности:

T1(u,) = (1-u)P (0,)+uP (1,). (25).

Линейная интерполяция внаправлении даёт линейчатую поверхность.

T2(u,) = (1-)P (u, 0)+ P (u, 1). (26).

Их сумма Т1+Т2 задаёт порцию поверхности, каждая из границ которой является суммой граничной кривой и отрезка, соединяющего концевые точки этой кривой. Это легко проверить: если подставить =0, то граница определяется не P (u, 0), а выражением.

T (u, 0) + [(1-u)P (0,)+ uP (1,0)].

Следовательно, для получения поверхности интерполяции необходимо из суммы поверхностей Т1 и Т2 вычесть уравнение четырёх прямых, соединяющих концевые точки, аналогичных (22):

T (u,) = (1-u)P (0,)+uP (1,) +(1-)P (u, 0)+ P (u, 1) ;

— P (0,0)(1-u)(1-) -P (0,1)(1-u) — P (1,0)u (1-) — P (1,1)u. (27).

Последовательные подстановки u=0, u=1, =0, =1 подтверждают, что порция поверхности (27) имеет четыре заданные кривые своими границами.

Вспомогательные функции u; (1-u);; (-1) называют функциями смещения, т.к. они соединяют воедино четыре отдельные граничные кривые. Можно обобщить формулу (27), если использовать вместо u (1-u), v (1-v) функции слияния (рис. 19).

Рис. 19. Графики функций смещения

Часто в КГ в качестве исходных данных для конструирования поверхности выступают не граничные кривые, а точки-ориентиры. Обобщая формы записи кривой Фергюсона (13) и кривой Безье (15) для n=3 получим соответственно уравнения поверхностей, допуская зависимость a0, a1, a2, a3 от второго параметра :

; (28).

(29).

где — вершины характеристического многоугольника (рис.20).

Рис. 20. Характеристический многогранник поверхности Безье

Форма многогранника даёт хорошее представление о форме поверхности, и изменение одной или более точек ориентиров модифицирует её предсказуемым образом. Заметим, что поверхность Безье проходит только через точки.

Кроме поверхностей, полученных способами интерполяции и с помощью характеристических многогранников, в КГ широко используются объекты, представляющие собой поверхности вращения. Поверхность вращения получается вращением плоской кривой, которую называют образующей, вокруг некоторой прямой, называемой осью вращения. Каждая точка образующей при своём вращении вокруг оси описывает окружность. Коническая поверхность получается вращение прямой l вокруг оси i. При этом образующая и ось имеют точку пересечения (рис. 21, а). Цилиндрическая поверхность получается в случае, если образующая l параллельна оси i (рис. 21, б).

а) б) Рис. 21. Примеры поверхностей вращения

Если за ось вращения принять ось у, образующую обозначить f (u), то уравнение поверхности может быть записано (рис.22).

r (u,) = f (u)(cose1 + sine2) + ua0, (30).

где e1, e2 — единичные векторы, идущие вдоль осей z и х; a0 — единичный вектор в направлении оси вращения.

Если образующая задана уравнением.

F (u)= tg u,.

то из уравнения (30) при a0=1 получаем уравнение конической поверхности вращения (см. рис. 21, а) в параметрическом виде:

r (u,) = u[a0 + tg (cose1 + sine2)].

Рис. 22. Поверхность вращения общего вида

Представление объёмных примитивов. В КГ под объёмными примитивами (элементарными геометрическими телами) понимают тела: конус, цилиндр, сфера, параллелепипед, тор, пирамида, призма. Для того чтобы записать уравнение объёмного примитива, необходимо в уравнении поверхности вместо равенства перейти к неравенству. Например, уравнение.

x2 + y2 +z2 = R2.

есть уравнение сферы, а неравенство.

x2 + y2 +z2 R2.

задаёт объёмный примитив, также именуемый сферой.

Синтез составных геометрических объектов (СГО) из объёмных примитивов выполняется с использованием геометрических операций, аналогичных операциям над множествами. Цель геометрического синтезаполучение описания сложного объекта. К операциям геометрического синтеза относятся: объединение, пересечение, разность, дополнение. На рис. 23 показаны примеры операций геометрического синтеза.

Для реализации этих операций используются методы контактного соединения и соединения с проникновением.

Метод контактного соединения используется для синтеза объектов из элементарных ГО, соединение которых осуществляется по плоским контурам. Примером контактного соединения будет объединение объектов, изображенное на рис. 23, б.

Метод соединения с проникновением предполагает следующую последовательность шагов:

• а) определение объёмных примитивов V1 и V2;
• б) определение пар потенциально пересекающихся поверхностей;
• в) аналитическое определение кривой пересечения для любой пары пересекающихся поверхностей и удаление тех сегментов кривой, которые не лежат внутри пересекающихся поверхностей;
• г) сегментация поверхностей в соответствии с полученной линией пересечения;
• д) удаление сегментов поверхностей.

Рис. 23. Операции геометрического синтеза

Представление объёмных фигур произвольной формы. Для их представления используется кинематический принцип. Можно задать сплошные объёмные фигуры несколькими способами.

Задание толщиной: S = F1(C, P, D, L). Опорный контур С перемещается в плоскости Р (по умолчанию это плоскость z = 0); второй контур определяется переносом контура С по направлению вектора D на расстояние L.

Задание вращением: S = F2(C, A). С помощью контура С (разомкнутого или замкнутого) образуется сплошное тело вращением вокруг оси А.

Задание списком контуров: S = F3(LC, LP, LR, LS), где LP (i) — плоскость, в которой лежит LC (i) — контур, LR (i) — первый из соединяемых объектов, LS (i) — направление обхода контура.

Кинематическое задание в общем виде. Обобщение по этому способу состоит в том, что поверхность, заданная жёсткими контурами, перемещается по более сложной траектории. В последующем этот способ получил дальнейшее развитие, которое состояло в том, что объекты, перемещаясь по сложной траектории, могли деформироваться.