Критерий Сдвига Вилкоксона

Назначение критерия. Критерий применяется для сопоставления показателей, измеренных в двух разных условиях на одной и той же выборке испытуемых.

Он позволяет установить не только направленность изменений, но и их выраженность. С его помощью мы определяем, является ли сдвиг показателей в каком-то одном направлении более интенсивным, чем в другом.

Описание критерия Т. Этот критерий применим в тех случаях, когда признаки измерены по крайней мере по шкале порядка_; и сдвиги между вторым и первым замерами тоже могут быть упорядочены. Для этого они должны варьировать в достаточно широком диапазоне. В принципе, можно применять критерий Т и в тех случаях, когда сдвиги принимают только три значения: -1, 0 и +1, но тогда критерий Т вряд ли добавит что-нибудь новое к тем выводам, которые можно было бы получить с помощью критерия знаков. Вот если сдвиги изменяются, скажем, от — 30 до +45, тогда имеет смысл их ранжировать и потом суммировать ранги.

Суть метода состоит в том, что мы сопоставляем выраженность сдвигов в том и ином направлениях по абсолютной величине. Для этого мы сначала ранжируем все абсолютные величины сдвигов, а потом суммируем ранги. Если сдвиги в положительную и в отрицательную сторону происходят случайно, то суммы рангов абсолютных значений их будут примерно равны. Если же интенсивность сдвига в одном из направлений перевешивает, то сумма рангов абсолютных значений сдвигов в противоположную сторону будет значительно ниже, чем это могло бы быть при случайных изменениях.

Первоначально мы исходим из предположения о том, что типичным сдвигом будет сдвиг в более часто встречающемся направлении, а нетипичным, или редким, сдвигом — сдвиг в более редко встречающемся направлении.

Гипотезы:

Н₀: Интенсивность сдвигов в типичном направлении не превосходит интенсивности сдвигов в нетипичном направлении.

H₁: Интенсивность сдвигов в типичном направлении превышает интенсивность сдвигов в нетипичном направлении.

Ограничения критерия Т Вилкоксона:

• 1. Минимальное количество испытуемых, прошедших измерения в двух условиях — 5 человек. Максимальное количество испытуемых — 50 человек, что диктуется верхней границей имеющихся таблиц. Критические значения Т приведены в Табл. II Приложения
• 2. Нулевые сдвиги из рассмотрения исключаются, и количество наблюдений п уменьшается на количество этих нулевых сдвигов. Можно обойти это ограничение, сформулировав гипотезы, включающие отсутствие изменений, например: «Сдвиг в сторону увеличения значений превышает сдвиг в сторону уменьшения значений и тенденцию сохранения их на прежнем уровне» .

Пример. В выборке курсантов военного училища (юноши в возрасте от 18 до 20 лет) измерялась способность к удержанию физического волевого усилия на динамометре. Сначала у испытуемых измерялась максимальная мышечная сила каждой из рук, а на следующий день им предлагалось выдерживать, на динамометре с подвижной стрелкой мышечное усилие, равное ½ максимальной мышечной силы данной руки. Почувствовав усталость, испытуемый должен был сообщить об этом экспериментатору, но не прекращать опыт, преодолевая усталость и неприятные ощущения — «бороться, пока воля не иссякнет». Опыт проводился дважды; вначале с обычной инструкцией, а затем, после того, как испытуемый заполнял опросник самооценки волевых качеств по методике А. Ц. Пуни [5], ему предлагалось представить себе, что он уже добился идеала в развитии волевых качеств, и продемонстрировать соответствующее идеалу волевое усилие. Подтвердилась ли гипотеза экспериментатора о том, что обращение к идеалу способствует возрастанию волевого усилия? Данные представлены в Табл. 2.

Таблица 2. Расчет критерия Т при сопоставлении замеров физического волевого усилия.

Для подсчета этого критерия нет необходимости упорядочивать ряды значений по нарастанию признака. Мы можем использовать алфавитный список испытуемых, как в данном случае.

Первый шаг в подсчете критерия Т — вычитание каждого индивидуального значения «до» из значения «после». Мы видим из Табл. 2, что 8 полученных разностей — отрицательные и лишь 3 — положительные. Это означает, что у 8 испытуемых длительность удержания мышечного усилия во втором замере уменьшилась, а у 3 — увеличилась. Мы столкнулись с тем случаем, когда уже сейчас мы не можем сформулировать статистическую гипотезу, соответствующую первоначальному предположению исследователя. Предполагалось, что обращение к идеалу будет увеличивать длительность мышечного усилия, а экспериментальные данные свидетельствуют, что лишь в 3 случаях из 11 этот показатель действительно увеличился. Мы можем сформулировать лишь гипотезу, предполагающую несущественность сдвига этого показателя в сторону снижения.

Сформулируем гипотезы.

Н₀: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия не превышает интенсивности сдвигов в сторону ее увеличения.

H₁: Интенсивность сдвигов в сторону уменьшения длительности мышечного усилия превышает интенсивность сдвигов в сторону ее увеличения.

На следующем шаге все сдвиги, независимо от их знака, должны быть проранжированы по выраженности. В Табл. 2 в четвертом слева столбце приведены абсолютные величины сдвигов, а в последнем столбце (справа) — ранги этих абсолютных величин. Меньшему значению соответствует меньший ранг. При этом сумма рангов равна 66, что соответствует расчетной:

Теперь отметим те сдвиги, которые являются нетипичными, в данном случае — положительными. В Табл. 2. эти сдвиги и соответствующие им ранги выделены цветом. Сумма рангов этих «редких» сдвигов и составляет эмпирическое значение критерия Т:

где R_r — ранговые значения сдвигов с более редким знаком.

Итак, в данном случае,.

Т_эмn=1+2,5+7=10,5.

По Таблице II Приложения определяем критические значения Т для n=11:

Зона значимости в данном случае простирается влево. Действительно, если бы «редких», в данном случае положительных, сдвигов не было совсем, то и сумма их рангов равнялась бы нулю. В данном же случае эмпирическое значение Т попадает в зону неопределенности:

Т_эмп<Т_кр (0,05).

Ответ: Н₀ отвергается. Интенсивность отрицательного сдвига показателя физического волевого усилия превышает интенсивность положительного сдвига (р<0,05).

Представим выполненные действия в виде алгоритма:

Алгоритм 2. Подсчет критерия Т Вилкоксона.

• 1. Составить список испытуемых в любом порядке, например, алфавитном.
• 2. Вычислить разность между индивидуальными значениями во втором и первом замерах («после» — «до»). Определить, что будет считаться «типичным» сдвигом и сформулировать соответствующие гипотезы.
• 3. Перевести разности в абсолютные величины и записать их отдельным столбцом (иначе трудно отвлечься от знака разности).
• 4. Проранжировать абсолютные величины разностей, начисляя меньшему значению меньший ранг. Проверить совпадение полученной суммы рангов с расчетной.
• 5. Отметить кружками или другими знаками ранги, соответствующие сдвигам в «нетипичном» направлении.
• 6. Подсчитать сумму этих рангов по формуле:

где R_r — ранговые значения сдвигов с более редким знаком.

7. Определить критические значения Т для данного п по Табл. II Приложения. Если Тэмп меньше или равен Ткр, сдвиг в «типичную» сторону по интенсивности достоверно преобладает.

Скриншот программы по определению критерия Вилкоксона.