Решения типа ударных волн с угловыми точками на фронте

ударный сглаживание волна.

Способы задания сглаженных ударных волн

Определение. Назовем функцию стабилизирующейся, если.

· .

· Для любых, и достаточно большого числа, следующие оценки верны:

где значения решения до и после скачка.

Введем гладкую функцию, определяющую разрыв в момент, следующим образом — ,.

В нашем случае, поэтому пусть.

(1).

здесь — неизвестная функция.

Если — нормальная составляющая скорости точки на тогда.

(2).

причем знак отвечает тому случаю, в котором ее направление совпадает с направлением вектора. В самом деле, пусть — траектория некоторой фиксированной точки на .

Тогда имеем.

.

Дифференцируя по, получим, что.

.

или, разделив на ,.

.

Очевидно, что вектор коллинеарен вектору, нормали к, и есть проекция скорости на направление .

С другой стороны, направление вектора совпадает с направлением, в котором функция возрастает, то есть обращено вовнутрь (следовательно, ввиду формулы.

.

полагаем в области. Предыдущие рассуждения позволяют нам выбрать знак в формуле (2), используя заданное нормальное направление либо известные свойства решения.

Попробуем объяснить логику выбора функции в том виде, в котором она была принята выше (1).

Утверждение. Пусть точка, которая не принадлежит. Тогда.

.

Чтобы доказать это утверждение, заметим, что расстояние от точки до гладкой кривой может быть вычислено как минимальное расстояние между точкой и такими точками, что.

(3).

где — нормаль кривой в точке .

Посчитаем.

.

Выбирая так, чтобы выполнялось (3), мы получаем утверждение.

Лемма 1. Пусть — стабилизирующая функция, при, и. Тогда.

.

где оценка равномерна в малой окрестности точки относительно переменных .

Доказательство: Используя формулу Тейлора, мы можем записать функцию в форме.

.

где. Тогда.

.

Заметим, что ввиду стабилизирующих свойств функций произведение ограничено для. Таким образом, лемма доказана.

Скорость движения угловой точки на фронте.

Далее, рассматривая наше уравнение в виде.

покажем условие Гюгонио.

Именно, полагая решение в виде функции Хевисайда.

.

получаем:

Во-первых,.

.

во-вторых, учитывая, что.

.

обозначая скачок на разрыве, получим:

.

аналогично,.

).

Подставляя в уравнение Хопфа, получаем.

откуда,.

или.

И, окончательно, получаем.

Учитывая формулу для длины нормальной составляющей скорости (2),.

получаем условие Гюгонио,.

.

В нашем случае, функция описывает прямую.

.

Где.

Градиент и нормальная составляющая скорости соответственно равны.

.

.

Скорость движения угловой точки вычисляется по формуле.