Автоматизация процесса проектирования на основе методов оптимизации

Общие понятия Решение задачи проектирования связана с выбором оптимального, наилучшим образом удовлетворяющего требованиям технического задания варианта параметров разрабатываемого объекта из некоторого допустимого множества решений.

В процессе оптимального проектирования необходимо математически сформулировать решаемую задачу. Для этого выбирают критерий оптимальности, определяют варьируемые параметры и задают ограничения, накладываемые на варьируемые параметры.

Введем некоторые понятия и обозначения.

Проектные параметры. Так называют независимые искомые переменные параметры, которые позволяют однозначно определить решаемую задачу проектирования.

Проектные параметры вычисляются в процессе оптимизации. От их числа зависит сложность решаемой задачи. В качестве проектных параметров могут служить любые основные или производные величины, служащие для количественного описания системы. 4].

Остальные параметры могут быть постоянными или случайными величинами. Внешняя среда тоже влияет на объект проектирования, ее свойства называются внешними параметрами. Внешние параметры имеют случайную природу и могут быть представлены следующим вектором:

Характеристиками называют свойства, характеризующие количественные значения показателей объекта проектирования.

Математическая модель оптимизируемого объекта — это отображение между двумя множествами параметров.

.

Математическая модель разрабатывается для сокращенного диапазона входных воздействий и дестабилизирующих факторов, исходя из реальных условий эксплуатации. Учитываются только те внутренние параметры, которые могут оказать существенное влияние на технические характеристики разрабатываемого объекта.

Критерием оптимальности называется количественная оценка оптимизируемого качества объекта. На основании выбранного критерия оптимальности составляется целевая функция. [5].

Целевая функция задает количественную характеристику, по которой можно сравнивать альтернативные решения. Разработчик, задавая различные проектные параметры, стремится получить минимальное или максимальное значение целевой функции (в зависимости от поставленной задачи).

Возможно использование одинаковых алгоритмов для поиска минимума и максимума — задачу минимизации превращается в задачу поиска максимума при помощи изменения знака целевой функции на обратный.

В ряде задач оптимизации требуется введение более одной целевой функции. Иногда одна из них может оказаться несовместимой с другой. В таких случаях разработчик должен ввести весовые коэффициенты — безразмерные множители, которые показывают приоритетность одной задачи относительно других. [4].

Локальным минимумом называется такая точка, в которой целевая функция имеет наименьшее значение по сравнению с ее значениями в окрестности этой точки.

Пространство проектирования может содержать множество локальных минимумов. Однако, разработчику нужно найти оптимальное решение, которое соответствует глобальному минимуму.

Глобальным минимумом называют минимальное значение целевой функции на всем множестве допустимых решений. Параметры, соответствующие глобальному минимуму являются оптимальными для решения поставленной задачи.

Классификация оптимизационных задач Задачи оптимизации можно классифицировать по виду математических моделей, которые основываются на различных математических средствах. В математическую модель входят следующие элементы: исходные данные, искомые переменные. Так же в качестве элемента математической модели стоит рассматривать зависимости между переменными. [5].

Подобную классификацию оптимизационных задач удобно представить в виде схемы.

Рис 3. Классификация задач оптимизации.

Исходные данные могут быть детерминированными (заранее и полностью обусловленные и не подверженные случайностям) и случайными (заранее не известны, учитывают возможность альтернативных вариантов системы).

Искомые переменные делятся на непрерывные и дискретные. Непрерывные переменные способны принимать любые значения, входящие в область определения, дискретные — только заданные значения. Если дискретная переменная принимает только целые значения, ее называют целочисленной.

Зависимости между переменными могут быть линейными и нелинейными. Нелинейными зависимости являются в том случае, если переменные в задаче имеют степени отличные от единицы или с ними выполняются другие действия. В остальных случаях зависимость считается линейной. Стоит отметить, что если в задаче присутствует хотя бы одна нелинейная зависимость, то и вся задача является нелинейной.

Сочетание различных элементов модели образует различные классы задач оптимизации, которые требуют разных методов решения.

Многокритериальная оптимизация.

Реальные задачи характеризуются более чем одни критерием. При их решении можно выбрать один доминирующий критерий, принимая оставшиеся в качестве ограничений, и проводить оптимизацию по выбранному критерию. Однако, такой подход значительно снижает эффективность принимаемых решений. Поэтому более эффективным является построение многокритериальной математической модели для ее последующей оптимизации. 4].

Задачу многокритериальной оптимизации можно сформулировать следующим образом:

.

где — целевые функции, — вектор параметров.

Суть задачи многокритериальной оптимизации состоит в том, чтобы найти такой вектор параметров, при котором все целевые функции достигали своего минимального значения. Для практических задач существование такого решения является редким исключением.

Наиболее прямолинейным подходом к решению подобных задач является приведение системы целевых функций к одной «сводной» функции— переход от задачи многопараметричекой оптимизации к задаче математического программирования. В роли «сводной» функции выступают различные «свертки» исходных целевых функций, например взвешенные суммы. Однако при таком подходе необходимо определять приоритетность различных критериев, выражая ее в виде весовых коэффициентов.