Нахождение переходных процессов в электрических цепях первого и второго порядка

СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ФАКУЛЬТЕТ АВТОМАТИКИ И ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ КАФЕДРА ИНФОРМАТИКИ И КОМПЬЮТЕРНЫХ СИСТЕМ Курсовое проектирование по дисциплине

«Общая электротехника»

расчёт переходных процессов в электрических цепях Выполнил: студент группы.12−91

Банишевский Р.Ю.

Проверила: доцент кафедры РЭ Попова А.И.

Сургут 2011 г.

Содержание электрический цепь ток переходной

• Введение
• 1. Расчет переходных процессов классическим методом
• 1.1 Определение начальных условий
• 1.2 Определение установившейся составляющей
• 1.3 Определение свободной составляющей
• 1.4 Нахождение постоянных интегрирования
• 1.5 Построение графика полученного аналитического выражения
• 2. Расчет переходных процессов операторным методом
• 2.1 Определение начальных условий
• 2.2 Составление операторной схемы замещения
• 2.3 Нахождение изображения искомой функции
• 2.4 Нахождение оригинала искомой функции
• 2.5 Построение графика полученного аналитического выражения
• 3. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля
• 3.1 Нахождение переходной характеристики
• 3.2 Аналитическое описание функции входного напряжения
• 3.3 Запись интеграла Дюамеля
• 3.4 Построение графика полученного аналитического выражения
• Вывод по работе

Данная курсовая работа является частью курса по предмету «Теоретические основы электротехники» и выполняется на основе индивидуального задания для более глубокого изучения материала, более детального рассмотрения методик расчетов при решении задач.

Работа предусматривает выполнение расчётов переходных процессов в электрических цепях классическим и операторным методами, а также с помощью интеграла Дюамеля. Параллельно этого студентом исследуются преимущества и недостатки каждого из перечисленных методов расчета, производятся соответствующие выводы, сравниваются полученные результаты.

В процессе решения данных задач применяются изученные законы и алгоритмы нахождения неизвестных величин. Все расчёты и построения графических объектов осуществляются по действующим методикам и стандартам.

1. Расчет переходных процессов классическим методом

1.1 Определение начальных условий

Для того чтобы найти ток через катушку индуктивности найдем протекающий в цепи ток. Для определения независимых начальных условий перерисовываем схему до коммутации.

Рис. 1.1: Схема исследуемой цепи до коммутации Поскольку в цепи находится источник постоянной ЭДС, то все токи и напряжения в ней будут постоянными. Тогда, поскольку постоянный ток через конденсатор протекать не может, ток, токи равны. Заменим конденсатор разрывом, а катушку индуктивности — проводником.

Рис. 1.2: Преобразованная схема исследуемой цепи до коммутации Таким образом, начальные условия для тока на катушке и напряжения на конденсаторе по законам коммутации:

1.2 Определение установившейся составляющей

Определим сначала установившуюся составляющую. Будем считать, что система находится в установившемся режиме. Перерисуем схему цепи для момента времени .

Рис. 1.3: Схема исследуемой цепи в установившемся режиме.

Поскольку в цепи находится источник постоянной ЭДС, то все токи и напряжения в ней будут постоянными. Тогда, поскольку постоянный ток через конденсатор протекать не может, ток. Преобразуем схему: объединим два параллельных резистора R₁ и R₄ в R₅, заменим конденсатор разрывом, а катушку индуктивности — проводником.

Рис. 1.4: Преобразованная схема исследуемой цепи в установившемся режиме.

Таким образом, ток на катушке и напряжение на конденсаторе в установившемся режиме:

1.3 Определение свободной составляющей

Перерисуем схему электрической цепи после коммутации, объединив два параллельных резистора R₁ и R₄ в R₅. Обозначим направления обходов выбранных контуров и направления токов.

Рис. 1.5: Схема исследуемой цепи в момент коммутации.

Составим систему уравнений по методу уравнений Кирхгофа и сведем ее к одному интегро-дифференциальному уравнению относительно искомой величины — ток через катушку индуктивности :

Из уравнения 1 выразим ток и подставим в уравнения 2 и 3:

Выразим из (5) уравнения ток и подставим в 6:

Приведем подобные слагаемые и продифференцируем обе части уравнения:

Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка. По однородной части данного уравнения составим характеристический полином, произведя следующую замену:

Получили квадратное уравнение вида:

Переходя к числовым значениям, получим:

a=0,038; b=371,761 364; с=698 863,636;

Т.к., и корни характеристического полинома — действительные отрицательные, то, следовательно, процесс — апериодический и решение для свободной составляющей тока имеет вид:

Аналитическое выражение процесса имеет вид:

1.4 Нахождение постоянных интегрирования

Для нахождения постоянных интегрирования воспользуемся начальными условиями для катушки индуктивности:

Для нахождения второго уравнения воспользуемся тем условием, что при постоянном токе напряжении на зажимах катушки равно нулю:

В момент времени t=0:

Итого, получено два уравнения для нахождения постоянных интегрирования :

;

Отсюда получаем:

После того как найдены постоянные интегрирования, запишем окончательное аналитическое выражение переходного процесса:

1.5 Построение графика полученного аналитического выражения.

Построим график изменения в функции времени на интервале от

до ,

где

;

Рис. 1.6: График полученного аналитического выражения.

2. Расчет переходных процессов операторным методом

2.1 Определение начальных условий

Для того чтобы найти ток через катушку индуктивности найдем протекающий в цепи ток. Для определения независимых начальных условий перерисовываем схему до коммутации.

Рис. 2.1: Схема исследуемой цепи до коммутации Поскольку в цепи находится источник постоянной ЭДС, то все токи и напряжения в ней будут постоянными. Тогда, поскольку постоянный ток через конденсатор протекать не может, ток, токи равны. Заменим конденсатор разрывом, а катушку индуктивности — проводником.

Рис. 2.2: Преобразованная схема исследуемой цепи до коммутации Таким образом, начальные условия для тока на катушке и напряжения на конденсаторе по законам коммутации:

2.2 Составление операторной схемы замещения

Перерисуем операторную схему замещения после коммутации, добавляя при необходимости операторные источники, учитывающие энергии, накопленную в конденсаторе и катушке индуктивности до коммутации.

Операторная ЭДС источника, связанного с энергией, накопленной в магнитном поле катушки индуктивности:

Операторная ЭДС источника, связанного с энергией, накопленной в электрическом поле конденсатора:

Операторная ЭДС источника с постоянной ЭДС:

Рис. 2.3: Операторная схема замещения исследуемой цепи.

Преобразуем схему: объединим два параллельных резистора R₁ и R₄ в R₅:

Рис. 2.4: Преобразованная операторная схема замещения исследуемой цепи.

2.3 Нахождение изображения искомой функции

В преобразованной операторной схеме замещения обозначим направления обходов контуров и составим систему уравнений по методу уравнений Кирхгофа.

Рис. 2.5: Операторная схема замещения исследуемой цепи с обозначенными направлениями обходов контуров.

Выразим из (1) уравнения ток и подставим в (3) уравнение:

Выразим из (6) уравнения

Подставим получившееся уравнение в (5):

Выразим из получившегося выражения ток, это и будет изображением тока, проходящего через катушку индуктивности:

Упростим выражение и, раскрыв скобки, приведем подобные слагаемые:

Получили выражение вида:

Подставляя численные значения, получим окончательное аналитическое выражение для тока:

2.4 Нахождение оригинала искомой функции.

Изображение тока через катушку индуктивности:

где:

Для использования формулы разложения, найдем полюса изображения тока:

где

Т.к. корни действительные, разные и один из них — нулевой, то используем следующую формулу обратного преобразования Лапласа:

Окончательное аналитическое выражение переходного процесса:

2.5 Построение графика полученного аналитического выражения.

Построим график изменения в функции времени на интервале от до, где

;

Рис. 2.6: График полученного аналитического выражения.

3. Расчет переходных процессов с использованием интеграла Дюамеля

3.1 Нахождение переходной характеристики

Найдем переходную характеристику цепи через операторную передаточную функцию, для чего составим операторную схему замещения цепи.

Поскольку до коммутации в цепи отсутствовал источник ЭДС, то начальные условия для катушки индуктивности будут нулевыми:, и операторная ЭДС источника, связанная с энергией, накопленной в магнитном поле катушки индуктивности, в операторной схеме замещения будет отсутствовать.

Рис. 3.1: Операторная схема замещения исследуемой цепи.

Учитывая направления обходов контуров, составим систему уравнений по методу уравнений Кирхгофа:

Искомое напряжение будем находить методом Краммера. Для этого составим матрицу:

Далее, находим ток через резистор R₃:

Изображение напряжения на резисторе:

Запишем операторную передаточную функцию:

Переходная характеристика в операторном виде будет равна:

Используя обратное преобразование Лапласа, переходим от изображения к функции времени:

Введем обозначения:

Найдем корни полинома знаменателя:

Для нахождения переходной характеристики используем следующую формулу разложения:

Окончательно получаем:

3.2 Аналитическое описание функции входного напряжения

Функция входного напряжения имеет следующий вид:

Рис. 3.2: Функция входного напряжения.

Из предыдущего пункта найдем постоянную времени :

И зададим значение времени :

3.3 Запись интеграла Дюамеля

Общий вид интеграла Дюамеля:

Запишем интеграл Дюамеля для первого промежутка:

Для второго промежутка интеграл Дюамеля выглядит следующим образом:

3.4 Построение графика полученного аналитического выражения

Для двух временных промежутков, используя полученные аналитические выражения, построим график зависимости .

Рис. 3.3:Графики напряжений для обоих временных промежутков.

Вывод по работе

В ходе выполнения курсовой работы были изучены переходные процессы и определена неизвестная величина (ток через катушку индуктивности) двумя методами: операторным и классическим. С использованием интеграла Дюамеля находили напряжение на резисторе, параллельно соединенного с катушкой индуктивности.

В классическом и операторном методе полученные аналитические выражения для переходного процесса полностью совпадают, совпадают также графики в математическом пакете Advanced Grapher, выполняется закон коммутации для катушки индуктивности — в начальный момент времени после коммутации ток скачком не меняется.

Так же хочется отметить, что применение классического метода расчёта к цепям более высокого порядка встречает определённые трудности. Главная из них — возрастающий объём необходимых вычислений, связанных с решением уравнений высокого порядка. В этой связи операторный метод имеет преимущество. Существенно упрощает процесс вычисления неизвестной величины в операторном методе — это преобразование Лапласа, которое позволяет перенести решение из области функций действительного переменного в область комплексного. Далее, дифференцирование и интегрирование заменяются соответствующими операциями умножения и деления, т. е. система интегро-дифференциальных уравнений сводится к системе алгебраических.

Важнейшим моментом при этом в практическом плане является необходимость определения только независимых начальных условий, что существенно облегчает расчет переходных процессов в цепях высокого порядка по сравнению с классическим методом. Так же отпадает необходимость определения постоянных интегрирования. В классическом метода тоже есть свои преимущества, например, хорошо объясняет физический смысл того или иного процесса, тогда как операторный метод формализован.

Интеграл Дюамеля удобно применять в цепях с входным сигналом, имеющим сложную форму. Единственная сложность этого метода в нахождении переходной характеристики цепи. Использование такой характеристики позволяет свести расчёт реакции цепи от действия непериодического сигнала произвольной формы к определению реакции цепи на простейшее воздействие типа импульсной функции, с помощью которой аппроксимируется исходный сигнал.

Вычисления, произведённые в данной работе с использованием различных способов расчётов, и применением различных пакетов инженерных и математических программ позволяют легче освоить, углубить и закрепить знания.