Интерполирование функций. 
Применение компьютерных технологий для реализации численных методов решения типовых математических задач

Пусть функция y=f (x) задана таблицей своих значений {x_i, y_i}. Это означает, что дискретному множеству аргумента {x_i} поставлено в соответствие множество значений функции {y_i} (i=0,1,2,…, n). Эти значения — либо результаты расчетов, либо экспериментальные данные.

Задача интерполирования обычно ставится в следующей форме: найти аналитическую зависимость определенного вида, которая принимает заданные значения в заданных узлах. Этот процесс может быть назван аналитической заменой. Классический численно-аналитический подход заключается в том, что табличная зависимость заменяется многочленом, с которым легко можно выполнить любые действия.

Итак, определим многочлен.

P_n(x)=c₀xⁿ+ c₁x^n-1+ … + c_n-1x+ c_n

значения которого в точках (x_i) (i=0,1,…, n) совпадают со значениями данной функции, т. е. P_n(x_i) = y_i(x_i). Геометрически это означает, что нужно найти кривую вида y= P_n(x), график которой проходит через заданное множество точек.

Многочлен P_n(x) называется интерполяционным многочленом. Точки {x_i, y_i} называются узлами интерполяции. Доказано, что в указанной постановке задача интерполирования всегда имеет единственное решение.

Интерполяционные формулы обычно используются при нахождении неизвестных значений f (x) для промежуточных значений аргумента. При этом различают интерполирование — когда x₀ Ј x Ј x _n и экстраполирование, когда x і x _n или x Ј x ₀.

В известном смысле задача интерполирования обратна задаче табулирования функций. Именно при табулировании по аналитическому выражению функции находится таблица её значений, а при интерполяции, наоборот, по таблице значений функции строится её аналитическое выражение.

Поставленная задача отыскания многочлена P_n(x) может быть решена путем различных подходов. Из условия P_n(x_i) = y_i, имеем систему.

(i=0,1,2,…, n).

Нахождение искомых коэффициентов сводится к решению системы (n+1) уравнений с (n+1) неизвестными. Эта система имеет единственное решение, если значения x_i отличны друг от друга.

Если эти табличные значения изобразить на координатной плоскости, то, соединив их отрезками прямых, получим ломаную 1−2-3−4. Ставится задача: интерполировать эту табличную зависимость многочленом 3-й степени.

(3.1).

т.е. найти такие коэффициенты A, B, C, D чтобы график многочлена прошел через заданные точки.

Эти коэффициенты можно найти из решения системы y (x_i) = y_i (i=1,2,3,4).

(3.2).

В матричной форме эта система в общем виде для заданной таблицы будет иметь вид ХЧK=Y:

Матричный способ решения системы линейных уравнений (СЛАУ) достаточно прост. Обе части матричного равенства ХЧK=Y.

умножим слева на обратную матрицу Х ^-1. Получим Х ^-1X K = X ^-1Y. Т.к.

Х ^-1X =E.

где E — единичная матрица (диагональная матрица, у которой по главной диагонали расположены единицы). Тогда решение системы запишется в следующем виде K = X ^-1Y. Т. е. для решения системы (вычисления вектора-столбца K необходимо найти для матрицы X обратную X ^-1 и умножить ее справа на вектор-столбец Y свободных членов.

Решим систему (3.2) с помощью электронных таблиц. Задав матрицы Х и Y (смотри на рабочий лист Excel), воспользуемся функциями Excel. Выделим диапазон A9: D12, начиная с ячейки, содержащей формулу.

=МОБР (A2:D5).

Нажмите клавишу F2, а затем нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Если формула не будет введена как формула массива, единственное значение будет равно -0,16 667. Далее выделим диапазон A9: D12 и введем формулу.

=МУМНОЖ (A9:D12;F2:F5).

Нажмите клавишу F2, а затем нажмите клавиши CTRL+SHIFT+ENTER. Если формула не будет введена как формула массива, единственное значение будет равно 0,33 333.

Решив эту систему, получим искомый многочлен.

Рассмотренную задачу можно решить, используя различные компьютерные программы. Существуют различные пакеты прикладных программ (ППП) для решения задач вычислительной математики (EUREKA, DERIVE, MATHCAD, MATLAB и др.).

Приведем пример решения рассматриваемой задачи с помощью ППП «Эврика».

y (x)=A*x³+B*x²+C*x+D.

y (1)=3.

y (2)=6.

y (3)=5.

y (4)=2.

Решение :

Переменные Значения.

A = 0.33 333 333.

B = -4.0.

C = 12.666 667.

D = -6.0.