Разработка алгоритмического и программного обеспечения для решения графовых задач

В последние годы значительно возросла популярность теории графов ветви дискретной математики. Графы встречаются во многих областях под разными названиями: «структуры» в гражданском строительстве, «сети» в электронике, «социограммы» в социологии и экономике, «молекулярные структуры» в химии, «дорожные карты», электрические или газовые распределительные сети и т. д.

Родившись при решении головоломок и игр, таких, например, как задача о кенигсбергских мостах и игра Гамильтона, теория графов стала мощным средством исследования и решения многих задач, возникающих при изучении больших и сложных систем.

Несмотря на разнообразие систем, представимых с помощью графов, можно выделить типовые графовые задачи.

Первая из задач, решаемых на графах задача поиска кратчайшего пути между вершинами. Задача поиска кратчайших путей в графе (Shortest Path Problem) в общем случае заключается в следующем:

Заданы n вершин графа (узлов сети) v1, v2,. vn и целые длины дуг между ними. Чему равна наименьшая возможная длина пути, ведущего из vi в vj, для всех i и j?

Если длины дуг неотрицательны, то можно использовать, например, алгоритм Дейкстры, если есть отрицательные длины, но нет циклов отрицательного веса (если такие циклы есть то оптимального решения очевидно не существует), то можно использовать алгоритм Флойда-Уоршолла.

Вторая распространенная задача задача нахождения минимального остовного дерева графа. Задача о минимальном остовном дереве (В англоязычной литературе «Minimum Spanning Tree»), заключается в следующем: задан связный неориентированный граф G=(V, E), где V множество вершин, |V|=n, E множество ребер между ними, и весовая функция .

Иными словами, есть n вершин v1, v2,. vn и положительные целые веса дуг между ними. (Можно вводить веса на ребрах, как).

Чему равен наименьший возможный вес остовного дерева? Т. е., требуется найти минимально возможное значение суммы где минимум берется по всем остовным деревьям на n вершинах, т. е. по всем множествам T из (n-1) дуг, связывающим все n вершин в единую сеть.

Для решения этой задачи можно применять алгоритм Прима или алгоритм Краскала (Kruskal).

В рамках данной работы более подробно будут рассмотрены алгоритм Дейкстры (на его основе будет написан программный продукт для поиска кратчайшего пути между вершинами графа) и алгоритм Прима.