Двумерные случайные величины

Задача № 2: Распределение 100 предприятий по капиталовложениям Х (млн. руб.) и выпуску продукции Y (млн. руб.) приведено в таблице:

Табл.№ 4.

У.	Х.
			;	;	;	;
	;			;	;	;
	;	;				;
	;	;				;
	;	;	;

Перейдем к условным вариантам:

где =22, =5;

=45, =10;

Табл. № 5.

U.
V.	— 2.	— 1.
— 2.			;	;	;	;
— 1.	;			;	;	;
	;	;				;
	;	;				;
	;	;	;

Корреляционная зависимость:

Одному значению случайной величины Х отвечает условное математическое ожидание другой случайной величины У.

В качестве оценок условных математических ожиданий применяют условные средние, которые находят по выборке.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Y, соответствующих при Х=х.

Условным средним называют среднее арифметическое значений Х, соответствующее при Y=y.

Условное математическое ожидание М (Y|x) является функцией от х, его оценка, т. е. условное среднее _, также функция от х; обозначив эту функцию через f*(x), получим уравнение = f*(x).Это уравнение называют выборочным уравнением регрессии Y на Х; функцию f*(x) называют выборочной регрессией Y на Х, а ее график — выборочной линией регрессии Y на Х.

Аналогичное уравнение =??*(у) называют выборочным уравнением регрессии Х на Y; функцию ??*(у) называют выборочной регрессией Х на Y, ее график — выборочной линией регрессии Х на Y.

Пусть известны результаты n независимых опытов известны пары чисел (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n).

Найдем по данным наблюдений выборочное уравнение прямой линии среднеквадратичной регрессии. Для определенности будем искать в виде.

=kх+b регрессии Y на Х. Угловой коэффициент прямой линии регрессии У на Х называют выборочным коэффициентом регрессии Y на Х и обозначают ??_ух.

Выборочное уравнение прямой линии регрессии Y на Х вида Y= ??_ух х+b.

Подберем параметры ??_ух и b так, чтобы точки (х₁, у₁), (х₂, у₂), …, (х_n, у_n), построенные по данным наблюдений, на плоскости хОу лежали как можно ближе к прямой линии регрессии.

Воспользуемся методом наименьших квадратов. Так как каждое отклонение зависит от отыскиваемых параметров, то и сумма квадратов отклонений есть функция F этих параметров.

F (??, b)=?(Y_i-y_i)², или F (??, b)=?(??x_i+b-y_i)²

Для отыскания минимума приравниваем к нулю соответствующие частные производные:

dF/d??=2;

dF/db=2.

Выполнив элементарные преобразования, получим систему двух линейных уравнений относительно ?? и b:

(?х²)??+(?x)b=?xy; (?х)??+nb=?y.

Решив эту систему, найдем искомые параметры:

??_ху=(n?xy-?x?y)/(n?x²-(?x)²);

b=(?x²?y-?x?xy)/(n?x²-(?x)²).

Аналогично можно найти выборочное уравнение прямой линии регрессии Х ни Y:

=х+С, где — выборочный коэффициент регрессии Х на У.

Допустим, что получено большое число данных, среди них есть повторяющиеся, и они сгруппированы в виде корреляционной таблицы. Воспользуемся тождествами:

?x=n; ?y=n; ?x²=n; ?xy=?xy, пара чисел (x, y) встретилась раз.

Подставив в систему.

и сократив обе части второго уравнения на n, получим.

Решив эту систему, найдем параметры и b и искомое уравнение.

=х+b.

Однако более целесообразно, введя новую величину — выборочный коэффициент корреляции, написать уравнение регрессии в ином виде. Найдем b из второго уравнения второй системы: b=.

Подставив правую часть этого равенства в уравнение =х+b, получим.

=(х —).

Найдем из первой системы коэффициент регрессии, учитывая, что ²— ()²=??²_х:

??_ху==. [19].

Умножив обе части равенства на дробь ??_х/??_у

??_ух=. [20].

Обозначив правую часть через r_в — выборочный коэффициент корреляции.

r_в=. [21].

Подставив r_в в =(х —): = r_в. [22].

Отсюда = r_в [23].

то уравнение регрессии Y по Х имеет вид = r_в(х —) [24].

Аналогично уравнение регрессии Х по Y: = r_в(y- [25].

Выборочный коэффициент корреляции определяется равенством:

r_в=, где и — варианты признаков Х и Y; частота пары вариант (х, у); n — объем выборки; , — выборочные средние квадратические отклонения; - выборочные средние.

Если величины Y и Х независимы, то r=0; если r=1 и r= -1, то У и Х связаны линейной функциональной зависимостью. Коэффициент корреляции измеряет силу (тесноту) линейной связи между Y и Х. Выборочный коэффициент корреляции является оценкой коэффициента корреляции генеральной совокупности и поэтому также служит для измерения линейной связи между величинами — количественными признаками Y и Х.

Если выборка имеет достаточно большой объем и хорошо представляет генеральную совокупность, то заключение о тесноте линейной зависимости между признаками, полученные по данным выборки, может быть распространено и на генеральную совокупность. Рассмотрим 2 вспомогательные таблицы:

Табл.№ 6 Умножение частоты n_ij на условную варианту U:

U.
V.	— 2.	— 1.					U.	v*U.
— 2.	— 4.	— 4.					— 8.
— 1.		— 6.					— 6.
сумма.

Табл.№ 7 Умножение частоты на условную варианту V:

U.
V.	— 2.	— 1.
— 2.	— 4.	— 8.
— 1.		— 6.	— 3.
V.	— 4.	— 14.	— 1.				сумма.
u*V.

Вычислим выборочные характеристики случайных величин Х, переходя к условным вариантам Табл.№ 8.

Ui.	Ni.	Ui*ni.	Ui2*ni.
— 2.		— 4.
— 1.		— 10.
сумма.

По таблице находим =0,86, =1,7, тогда 0,98.

Табл.№ 9.

Vi.	Ni.	Vi*ni.	Vi2*ni.
— 2.		— 12.
— 1.		— 9.
Сумма.

По таблице находим = 0,23, = 1,05, тогда 0,998 549.

Тогда выборочный коэффициент корреляции по формуле [21] r_в=0,778 885.