Комплексные числа. 
Курс общей физики

Мнимой единицей называют величину i, квадрат которой равен — 1:

Выражение где хну- действительные числа, называется комплексным числом. При этом число х называется действительной, или вещественной частью комплексного числа z и обозначается как.

а число у — мнимой частью числа z и обозначается так:

Для более полного представления о комплексных числах и понимания производимых над ними алгебраических операций комплексному числу дают следующую геометрическую интерпретацию. Числа х и у рассматривают как декартовы координаты точки на плоскости ху (рис. 9.16). Так что комплексное число (9.62) соответствует точке, имеющей координаты хну. Поэтому говорят, что точка на плоскости изображает некоторое комплексное число. Например, мнимая единица изображается точкой с координатами х = 0 и у = 1, которая лежит на оси у. При х = 0 комплексное число z = iy называется чисто мнимым. Точки, изображающие такие числа, также лежат на оси у. Все точки оси х изображают действительные числа. Поэтому ось абсцисс называется действительной осью, а ось ординат — мнимой.

Рис. 9.16. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Комплексное число z = х +1 у можно также представить вектором на плоскости, который соединяет начало координат с точкой (х_} у). Длина г этого вектора называется модулем комплексного числа ^ и обозначается г. Угол у?, который вектор z образует с осью х, называется аргументом комплексного числа. Декартовы координаты точки на плоскости связаны с г и (р соотношениями.

при помощи которых формулу (9.62) можно записать в виде.

Это выражение называется тригонометрической формой комплексного числа. Очевидно, что.

Показательная функция е мнимого аргумента i

определяется формулой Эйлера:

Это определение позволяет записать комплексное число (9.64) в так называемой показательной форме:

Два комплексных числа z = Х + i у и z^ — x^ + i у2 равны друг другу, если они изображаются одной и той же точкой на плоскости. При этом равны их действительные и мнимые части: х = Х2, у = У2 или равны их модули, а аргументы отличаются один от другого на 2 7гп, где п — целое число: г = т*2, y>i = (р2 + 2 тг п .

Комплексное число называется комплексно сопряженным числу z = х +? у. Очевидно, что сумма

есть действительное число, а разность.

есть число чисто мнимое. Из последнего равенства следует, что число г будет действительным при условии.