Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

Министерство образования Российской Федерации

Томский Политехнический Университет

Кафедра ТОЭ

Задание 4

Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами.

Выполнил: студент гр. 8а32 Курганкин В.В.

Проверил преподаватель: Купцов А.М.

Томск 2004 г

Переходные процессы в линейных электрических цепях с сосредоточенными параметрами

В заданной цепи с нулевыми начальными условиями с момента времени t = 0 действует источник ЭДС e (t) или тока J (t), изменяющиеся по линейному закону

или ,

где — заданное время срабатывания ключа К.

После срабатывания ключа К в момент времени ЭДС источника или ток источника тока принимают постоянные значения:;. Параметры элементов цепи и источников указаны в табл. 4.1, 4.2.

Требуется

1. На интервале времени определить закон изменения тока в катушке индуктивности (схема RL) или напряжения на конденсаторе (схема RC) классическим методом и методом интеграла Дюамеля.

2. На интервале времени определить закон изменения той же величины, что и в п. 1, классическим и операторным методами.

3. Составить систему уравнений состояния цепи после срабатывания ключа К (с момента времени).

4. Построить в одних осях график изменения искомой величины на интервалах времени и, где — постоянная времени цепи второго порядка (большая по величине, если их две).

Схема

Расчетные данные

1. Расчёт цепи классическим методом и методом интеграла Дюамеля на интервале

а) Классический метод

Составим уравнения цепи по I и II законам Кирхгофа:

По законам коммутации

.

На промежутках и электрическая цепь имеет один накопитель энергии — конденсатор (рис. 1), поэтому

.

Корень характеристического уравнения найдем с помощью межузловой проводимости.

Рис. 1

;

;

;

Т.к., то до коммутации, потому что .

После коммутации, т. е. линейно возрастает, тогда. Подставим в дифференциальное уравнение цепи:

; ;

Тогда .

Следовательно, .

Т.к., то ;

.

б) Метод интеграла Дюамеля

Найдем переходную характеристику цепи. Для этого найдем напряжение на конденсаторе при единичном воздействии.

.

(из найденного выше).

т.к.. Т.к., то и, значит, .

Тогда (по методу двух узлов).

Из условия, что, получим .

Следовательно, а значит .

Воспользуемся основной формой записи интеграла Дюамеля:

.

Т.к. и, то; ;.

2. Расчёт цепи классическим и операторным методами на интервале

а) Классический метод

В цепи два накопителя энергии — катушка индуктивности и конденсатор (рис. 2). Поэтому, по законам коммутации,

и

ток индуктивность конденсатор напряжение

где — время размыкания ключа К.

Поэтому

Рис. 2

Корни характеристического уравнения найдем

;

;

Корни уравнения:

Т.к., то принужденная составляющая, ,

и .

Тогда по II закону Кирхгофа:

Начальные условия (при :

и (из найденного выше).

Определение постоянных интегрирования (A и):

Значит

б) Операторный метод

Чтобы рассчитать цепь операторным методом, преобразуем исходную схему после коммутации, используя прямое преобразование Лапласа, т. е.

.

На основе операторных изображений элементов цепи (резисторного, емкостного и индуктивного) получим схему, изображённую на рис. 3. При имеем и .

Найдём изображение напряжения на конденсаторе с помощью метода двух узлов (узловых потенциалов).

тогда .

Чтобы найти, необходимо найти корни уравнения и производную

где, и учесть, что коммутация происходит в момент времени .

Поскольку

то нужно найти

B.

3. Система уравнений состояния цепи после срабатывания ключа К

По I и II законам Кирхгофа для цепи после срабатывания ключа К имеем:

В качестве переменных состояния используем и, тогда

и .

Итоговая система состояния цепи для момента времени

4. График изменения напряжения на конденсаторе в интервалах времени и