Основы метода комплексных амплитуд

При анализе цепей переменного тока используют следующие способы представления гармонических токов и напряжений:

• 1) с помощью временных диаграмм.
• 2) с применением временных диаграмм.
• 3) с использованием комплексных чисел.

Временная диаграмма гармонического тока i (t) — это график функции времени.

Временную диаграмму напряжения можно наблюдать на экране осциллографа.

С помощью временных диаграмм можно производить суммирование и вычитание мгновенных значений токов. (рис. 6).

Рисунок 6 — Суммирование мгновенных значений токов на временной диаграмме.

Однако получение суммарного и разностного тока по времени диаграмме является наглядной, но очень трудоёмкой операцией.

Поскольку временная диаграмма периодического тока i (t) представляет собой проекцию вектора, длина которого численно равна амплитуде, начальное положение на плоскости равно начальной фазе тока, и вращающегося против часовой стрелки с угловой скоростью (рис3.7), то для изображения гармонического тока удобно использовать векторные диаграммы.

Рисунок 7 — Представление гармонического тока вращающимся вектором.

При этом рассматриваются не проекции вращающихся с угловой скоростью w векторов, а сами эти векторы.

Векторная диаграмма — это диаграмма представляющая собой совокупность векторов, построенных с соблюдением их взаимной по фазе. Чтобы `остановить' вращение векторов необходимо вращать плоскость вокруг точки начала этих векторов по часовой стрелке с той же угловой частотой, то и предполагается при рассматривании векторных диаграмм.

Векторная диаграмма строится в амплитудных либо в действующих значениях. Отсчёт начальных фаз ведётся от горизонтальной оси. (рис. 8).

Рисунок 8 — Векторная диаграмма токов.

По векторной диаграмме можно определить сумму (разность) токов.

Пусть, например,.

Необходимо найти. Воспользуемся для этого методом векторных диаграмм. Изобразим на плоскости векторы и со своими начальными фазами. (рис. 9).

Рисунок 9 — Суммирование токов методом векторных диаграмм.

Амплитуда тока находится из векторной диаграмме путём геометрического сложения векторов и. Отсюда же находиться начальная фаза суммарного тока.

Аналогично можно найти и разность токов, используя геометрические построения.

Существенные недостатки метода векторных диаграмм и метода временных диаграмм являются:

недостаточная точность;

большой объём графических работ (громоздкость).

Эти недостатки особенно проявляются при анализе сложных радиотехнических цепей.

Для расчёта сложной цепи гармонического тока, если все источники ЭДС этой цепи генерируют колебания одной и той же частоты, широко применяется метод комплексных амплитуд (иначе — символический или комплексный).

Этот метод разработан в конце XIX века американскими инженерами Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели.

Метод комплексных амплитуд, подобно логарифмическому методу, основан на идее функционального преобразования, при котором операции над исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми новыми функциями, так называемыми изображениями исходных функций. Поэтому методы такого типа называются символическими.

Решение любой задачи символическими методами содержит следующие основные этапы:

• — прямое преобразование, в результате которого осуществляется переход от исходных величин (оригиналов) к их символическим (изображениям);
• — определение изображений искомых величин путём выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;
• — обратное преобразование, с помощью которого переходят от изображений искомых величин к их оригиналам.

Очевидно, что эффективность символического метода определяется трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, насколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.

Символический метод комплексных амплитуд (комплексный метод) основан на представлении гармонических функций времени в виде комплексных чисел, т. е. на преобразовании исходных функций из временной области (области вещественных переменных) в частотную (область мнимого аргумента jw).

При использовании комплексного метода алгебраически интерпретируется векторная диаграмма.

Комплексным числом A называется выражение вида, А = a + jb, (3.9).

где, а — действительное число, называемое вещественной составляющей комплексной;

b — действительное число, называемое мнимой составляющей комплексного числа;

— мнимая единица.

Вещественная и мнимая составляющие комплексного числа обозначаются так,.

Выражение (3.9) — это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Комплексное число, А изображается на комплексной плоскости в виде точки А, абсцисса которой равна а, а ордината — b (рис. 3.10 а) Ось абсцисс, на которой откладывается вещественная часть комплексного числа, называется действительной (Re); ось ординат, на которой откладывается мнимая часть — мнимой ().

Рисунок 10 а, б, в — К определению понятия комплексного числа.

Каждой точке, А комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплексному числу, А можно поставить в соответствие вектор А, проведённый из начала координат в точку А. (рис 3.10 б) Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа:

(3.10).

Угол между вектором, А и положительным направлением вещественной оси называют аргументом комплексного числа:

(3.11).

Положительное направление отсчёта — против часовой стрелки. Главное значение в промежутке.

Как видно из рис. 3.11, вещественная, а и мнимая b части комплексного числа, А есть проекция вектора, А на действительную и мнимую оси.

(3.12).

Подставляем соотношение (3.12) в выражение (3.9), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

(3.13).

Использую форму Эйлера.

(3.14).

где e — основание натурального логарифма, получаем показательную формулу записи комплексного числа:

(3.15).

Комплексные числа и считаются равными, если попарно равны их действительные и мнимые части a=c, b=d, или равны их модули |А|=|В|, а аргументы отличаются на ,(n — целое число).

Два комплексных числа и называются сопряжёнными, если их действительные части равны, а мнимые отличаются только знаком.

Точки на плоскости, изображающие сопряжённые комплексные числа, симметричны относительно действительной оси (рис. 3.10 в) Модули сопряжённых чисел равны, а главные значения их аргументов отличаются только знаком:

Арифметические операции над комплексными числами выполняются так же, как над обыкновенными двучленами, учитывая что ,.

Операции сложения и вычитания удобнее выполнять, используя алгебраическую форму записи:

(3.16).

сумма двух сопряжённых комплексных чисел и представляет собой действительное число.

(3.17).

Умножение, деление и возведение в степень комплексных чисел удобнее производить в показательной форме:

(3.18).

Из выражений (3.18) следует, что при умножении вектора на действительное число m получается новый вектор, модуль которого в m раз больше модуля А:

При умножении вектора на вектор, модуль которого равен единице, образуется новый вектор, повёрнутый относительно вектора, А на угол против часовой стрелки:

(3.19).

Из выражения (3.19) и формулы Эйлера (3.14) также, что умножение вектора на вектор

(3.20).

равносильно повороту вектора, А на угол против часовой стрелки:

а умножение вектора, А на вектор приводит к повороту вектора, А на угол по часовой стрелке:

Умножение вектора, А на равносильно изменению аргумента, А на:

При использовании метода комплексных амплитуд необходимо уметь записывать символы (комплексные числа), характеризующие функции мгновенных значений электрических величин, их амплитуды и действующие значения.

Рассмотрим этот вопрос применительно к синусоидальному току:

Ранее было доказано, что этой функции соответствует вектор, вращающийся против часовой стрелки с угловой скоростью равной угловой частоте тока (рис. 11 а).

Комплексный мгновенный ток. Вращающемуся вектору тока, помещённому на комплексную плоскость (рис. 3.11 б) соответствует комплексное число.

(3.22).

Рисунок 11 а, б — Соответствие вращающемуся вектору (а) комплексного числа (б).

Данное комплексное число i можно принять в качестве символа мгновенного синусоидального тока, при этом:

(3.23).

— его вещественная составляющая,.

(3.24).

— его мнимая составляющая.

Комплексное число i (3.22) в теории цепей принимается в качестве символа функции времени мгновенного синусоидального тока при условии, что мнимая часть этого комплекса (3.24) вообще опускается при переходе от символа к оригиналу. Таким образом, символом функции времени мгновенного синусоидального тока i (t) является комплексное число i, называемое комплексным мгновенным синусоидальным током.

Из соотношения для (3.22) следует определение этого тока:

Комплексный мгновенный синусоидальный ток есть комплексная величина, зависящая от времени, модуль и аргумент которой равен соответственно амплитуде и аргументу заданного синусоидального тока.

Комплексная амплитуда тока. Если рассмотреть вращающийся вектор синусоидального тока (рис. 3.11 а) в момент времени t=0, т. е. в момент начала отсчёта (рис. 3.12 а), то этот вектор можно считать неподвижным. На комплексной плоскости этому вектору соответствует число, называемое комплексной амплитудой данного синусоидального тока:

(3.25).

Комплексная амплитуда является частью комплексного мгновенного тока.

Множитель (оператор вращения) характеризует зависимость комплексного мгновенного тока i от времени. В комплексной амплитуде тока (3.25) он отсутствует.

Комплексная амплитуда синусоидального тока есть комплексная величина, модуль которой равен амплитуде, а аргумент — начальной фазе данного синусоидального тока.

Рисунок 12 а, б — Комплексная амплитуда тока (а) и комплексный действующий ток.

Комплексный действующий ток. Большинство расчётных соотношений для цепей гармонических токов записываются через действующие значения электрических величин (тока, напряжения, ЭДС). Переход к символической форме записи требует выбора символа (комплексного числа) и для действующих значений электрических величин.

Применительно к синусоидальному току символ действующего значения тока можно получить делением комплексной амплитуды тока (3.25) на.

(3.27).

Данному комплексному числу соответствует неподвижный вектор, как и комплексному числу, но уменьшенный по длине в (рис. 3.12 б).

Это комплексное число (2.27) называется комплексным действующим током.

Комплексный действующий синусоидальный ток (комплексный ток) есть комплексная величина, модуль которой равен действующему значению синусоидального тока, а аргумент — начальной фазе этого тока.

Пример 1. Пусть имеется гармонический ток.

Тогда комплекс мгновенного тока:

Комплексная амплитуда тока:

— в показательной форме;

— в тригонометрической форме;

— в алгебраической форме.

Комплексный действующий ток:

— в показательной форме;

— в тригонометрической форме;

— в алгебраической форме.

Вещественная часть комплекса мгновенного тока есть исходный гармонический ток:

Пример 2. Напряжению соответствует комплексная амплитуда.

Комплексный метод предполагает замену геометрических операций над векторами синусоидальных электрических величин алгебраическими операциями над их символами (комплексными числами).

Рисунок 13 а, б, в — Сложение комплексных токов.

Покажем возможность такой алгебраизации геометрических задач на следующем примере.

Пример 3. Сложение комплексных чисел изображающих вектора.

В цепи синусоидального тока, изображённой на рис. 2.13 а, действующее значение тока суммируется геометрически, что подтверждает векторная диаграмма токов для данной цепи (рис 3.13 б), т. е.

(3.28).

При этом проекция результирующего вектора на соответствующие оси системы координат равны сумме проекций составляющих векторов и на этой же оси.

;

Векторной диаграмме токов, помещённой на комплексную плоскость (рис. 3.13 в) соответствует система чисел, ,, являющихся символами рассматриваемых векторов токов:

;; (3.29).

Символами результирующего вектора с учётом соотношений (3.29) можно записать следующим образом:

т. е.

(3.30).

Сравнивая выражения (3.28) и (3.30) можно сделать вывод о соответствии геометрических и алгебраических операций.

Геометрической сумме векторов синусоидальных электрических величин соответствует алгебраическая сумма комплексных чисел, изображающих эти векторы.

Распространяя этот результат на все аналогичные линейные операции над гармоническими функциями времени, можно сделать вывод, что любые геометрические операции над векторами синусоидальных электрических величин можно заменить алгебраическими операциями над символами этих величин, в качестве которых используются комплексные числа. Другими словами линейным операциям над гармоническими функциями времени соответствуют линейные операции над их комплексами.

В лекции № 1 показано, что для расчёта последовательной RLC-цепи необходимо решить следующее интегро-дифференциальное уравнение, составленное на основе второго закона Кирхгофа:

Решение этого уравнения сопряжено с выполнение операций дифференцирования и интегрирования функций времени.

Применение комплексного метода позволяет решать подобные уравнения более простым алгебраическим способом.

Рассмотрим это подробнее. Пусть ток в цепи изменяется по синусоидальному закону Тогда его производная и интеграл соответственно записываются следующим образом:

(3.31).

(3.32).

Новым синусоидальным функциям (3.31) и (3.32) соответствуют свои мгновенные комплексные значения (символы), которые по аналогии с соотношением (3.26) можно записать так:

.

С учётом формул (3.20), (3.21) и (3.26) окончательно получим:

(3.33).

(3.34).

Комплексные числа (3.33) и (3.34) являются символами производной и интеграла синусоидальных функций электрических величин и отражают смысл алгебраизации операций дифференцирования (интегрирования) оригиналов:

Операции дифференцирования (интегрирования) синусоидальных функций можно заменить алгебраическими операциями умножения (деления)комплексных мгновенных значений (комплексных амплитуд) этих функций на .

Таким образом, при переходе от синусоидальных электрических величин (оригиналов) к их символам (комплексным числам) удаётся полностью алгебраизовать все операции над синусоидальными электрическими величинами.

Это позволяет существенно упростить анализ линейных цепей, находящихся под гармоническим воздействием, т.к. даёт возможность заменить систему интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия цепи, составленную для мгновенных значений токов и напряжений ветвей, системой алгебраических уравнений для комплексных амплитуд соответствующих токов и напряжений.

В этом и заложена основа комплексного метода расчёта гармонических цепей.