Принципы квантовой механики. 
Волновая функция и ее смысл

• Введение
• 1. Основные идеи квантовой механики
• 2. Принципы квантовой механики
• 3. Волновая функция
• Заключение
• Литература

В свое время теория относительности изменила классическое представление об объективности. Но она оставила неизменной другую принципиально важную отличительную особенность классической физики — претензию на «полное» описание природы. Издавна считалось, что существует т. н. «формула Вселенной», включающая в себя полное описание природы. В этом смысле теория относительности была продолжением классической физики.

Первой физической теорией, действительно порвавшей с прошлым, и частично описавшей такую формулу стала квантовая механика, которой удалось связать воедино, казалось бы, противоречащие друг другу выводы. Своим рождением квантовая механика обязана стремлению физиков описать взаимодействие между веществом и излучением.

Попытки описать свойства элементарных частиц с помощью средств классической физики были безуспешными, поэтому были разработаны специальные методы, составляющие содержание квантовой механики.

В основу квантовой механики легла «планетарная модель» атома Бора. Квантовая механика (другие названия: волновая механика, матричная механика) составляет раздел теоретической физики, описывающий квантовые законы движения. Актуальность исследования заключается в важности идей квантовой механики для современной науки.

Цель работы — исследовать принципы квантовой механики. Данная цель определила постановку следующих задач:

1. Исследовать основные идеи квантовой механики;

2. Обосновать принципы квантовой механики;

2. Проанализировать волновую функцию и ее смысл.

Среди использованной литературы отметим работы Л. Грэхэма «Квантовая механика» Грэхэм Л. Квантовая механика М., 2010. и М. Джеммера «Эволюция понятий квантовой механики» Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., 2010.. В работах данных авторов описаны состояния квантово-механической системы и волновая функция (амплитуда вероятности).

Структура работы соответствует поставленным задачам.

В первой главе исследованы основные идеи квантовой механики, во второй главе принципы квантовой механики, в третьей — волновая функция и ее смысл. В заключении подведены итоги работы.

1. Основные идеи квантовой механики

Квантовая механика начала зарождаться в 1901 г., когда Планк предложил теоретический вывод о соотношении между температурой тела и испускаемым этим телом излучением. Он намеревался осуществить для взаимодействия вещества со светом такую же программу, какую Больцман осуществил для взаимодействия вещества с веществом, а именно: построить кинетическую модель необратимых процессов, приводящих к равновесию Стадницкий, С. Е. Стадницкий, А. Е. Теория всего. Основы квантовой механики элементарных частиц, гравитации и антигравитации — М., 2007.С. 57. .

Планк обнаружил, что достичь согласия с экспериментальными результатами в условиях теплового равновесия можно, лишь приняв гипотезу о том, что обмен энергией между веществом и излучением происходит только дискретными порциями, пропорциональными новой универсальной постоянной. Эта универсальная постоянная h (постоянная Планка), служит мерой для дискретных порций энергии, впоследствии названных Эйнштейном квантами.

Согласно расчетам Планка, энергия каждого кванта пропорциональна частоте излучения:

Е=hv (1.1)

Е — энергия кванта;

h = 6,625· 10^-34 Дж•с — постоянная Планка;

v — частота излучения.

Принятые Планком допущения оставались непонятными некоторое время, так как противоречили классической физике. Открытие дискретности, или квантованности энергии оставалось вне связи с другими физическими явлениями до тех пор, пока Эйнштейн не предложил первую общую интерпретацию постоянной Планка.

В 1905 г. Эйнштейн воспользовался квантовой теорией для объяснения некоторых аспектов фотоэлектрического эффекта — испускания электронов поверхностью металла, на которую падает ультрафиолетовое излучение. Попутно Эйнштейн отметил кажущийся парадокс: свет, о котором на протяжении долгого времени было известно, что он распространяется как непрерывные волны, при поглощении и излучении проявляет дискретные свойства. Объяснить новые экспериментальные результаты традиционными волновыми свойствами света было трудно. Эйнштейн использовал открытие Планка для формулировки радикально нового понятия — «корпускулярно-волновой дуализм». Другими словами, свет может быть и волной, и частицей и обе «ипостаси» света связаны между собой постоянной Планка. Постоянная Планка позволяет переходить от частоты (v) и длины волны (л) к таким механическим величинам, как энергия (Е) и импульс (р). Соотношения между v и л, а также между е и р очень просты (е = hv, р = h/л, в то же время р=mV, где m — масса, а V — скорость частицы), и оба содержат постоянную Планка h.

В 1913 г. Бор распространил квантовую теорию на атом и представил частоты волн, испускаемых атомами, возбужденными в пламени или в электрическом разряде. Бор предположил, что электроны могут находиться только на определенных дискретных орбитах, соответствующих различным энергетическим уровням, и что «перескок» электрона с одной орбиты на другую, с меньшей энергией, сопровождается испусканием фотона, энергия которого равна разности энергий двух орбит. Таким образом, модель атома Бора установила связь между различными линиями спектров, характерными для испускающего излучение вещества, и атомной структурой Найдыш В. М. Концепции современного естествознания — М., 2010.С. 113. .

Несмотря на первоначальный успех, модель атома Бора вскоре потребовала модификаций, чтобы избавиться от расхождений между теорией и экспериментом. Кроме того, квантовая теория на той стадии ещё не давала систематической процедуры решения многих квантовых задач. Однако стало ясно, что классическая физика не способна объяснить некоторые факты, ставившие под сомнение изначальные теории строения атома Томпсона и Резерфорда. Первая модель строения атома Томпсона представляла собой т. н. модель «сливового пудинга», согласно которой атом представлял собой положительно заряженную сферу, в которую вкраплены электроны. Резерфорд предложил другую, «ядерную модель». Согласно ей атом состоит из очень плотного и тяжелого положительно заряженного ядра, окруженного облаком легких отрицательно заряженных электронов. Недостатком этих теорий было то, что согласно теории электромагнитного поля Кожевников Н. М. Концепции Современного Естествознания — М., 2010.С. 204. :

— электрон должен непрерывно излучать энергию;

— двигаться не по окружности, а по спирали;

— из-за потери энергии электрон должен упасть на ядро.

Новая существенная особенность квантовой теории проявилась в 1924 г., когда де Бройль выдвинул радикальную гипотезу о волновом характере материи: если электромагнитные волны, например свет, иногда ведут себя как частицы (что показал Эйнштейн), то частицы, например электрон при определенных обстоятельствах, могут вести себя как волны. Через двадцать лет после Эйнштейна, де Бройль обобщил дуализм волна-частица со света на материю. Это открытие послужило исходным пунктом современной формулировки квантовой механики. Таким образом, в микромире стерлась граница между классическими частицами и классическими волнами. В формулировке де Бройля частота, соответствующая частице, связана с её энергией, как в случае фотона (частицы света), но предложенное де Бройлем математическое выражение было эквивалентным соотношением между длиной волны, массой частицы и её скоростью (импульсом): Соотношение де Бройля:

(1.2)

л — длина волны;

h — постоянная Планка;

m — масса частицы;

V — скорость частицы.

Существование электронных волн было экспериментально доказано в 1927 г. Дэвиссоном и Джермером в США и Томсоном в Англии. В свою очередь это открытие привело к созданию в 1933 г. Русского электронного микроскопа. Под впечатлением от комментариев Эйнштейна по поводу идей де Бройля Шредингер предпринял попытку применить волновое описание электронов к построению последовательной квантовой теории, не связанной с неадекватной моделью атома Бора. Он намеревался сблизить квантовую теорию с классической физикой, которая накопила немало примеров математического описания волн. Первая попытка, предпринятая им в 1925 г., закончилась неудачей. Скорости электронов в теории Шрёдингера были близки к скорости света, что требовало включения в неё специальной теории относительности Эйнштейна и учета предсказываемого ею значительного увеличения массы электрона при очень больших скоростях. Следующую попытку Шрёдингер предпринял в 1926 г. Скорости электронов на этот раз были выбраны им настолько малыми, что необходимость в привлечении теории относительности отпадала сама собой. Вторая попытка увенчалась выводом волнового уравнения Шредингера, дающего математическое описание материи в терминах волновой функции. Шрёдингер назвал свою теорию волновой механикой. Решения волнового уравнения находились в согласии с экспериментальными наблюдениями и оказали глубокое влияние на последующее развитие квантовой теории Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики.М., 2010.С. 90. .

Волновая функция Шредингера (пси-функция) является основным понятием квантовой механики (приведена в упрощенном виде):

(1.3)

Через нее выражается распределение вероятностей осуществления определенных исходов опыта при заданной начальной стадии. Иными словами, квантовая механика оперирует только вероятностями. В частности, она не может сказать, в какую точку экрана попадет электрон, она может лишь определить вероятность, с какой электрон может оказаться в точке. В настоящее время волновая функция лежит в основе квантово-механического описания микросистем, подобно уравнениям Гамильтона в классической механике. В 1925 г. Гейзенберг, Борн и Иордан опубликовали другой вариант квантовой теории, получивший название матричной механики, которая описывала квантовые явления с помощью таблиц наблюдаемых величин. Шредингер показал, что волновая механика и матричная механика математически эквивалентны. Известные ныне под общим названием квантовой механики, эти две теории дали долгожданную общую основу описания квантовых явлений Грэхэм Л. Квантовая механика М., 2010.С. 115. .

Итак, многие физики отдавали предпочтение волновой механике, поскольку её математический аппарат был им более знаком, а её понятия казались более «физическими»; операции же над матрицами — более громоздкими. Вскоре после того, как Гейзенберг и Шрёдингер разработали теорию квантовую механику, Дирак предложил более общую теорию, в которой элементы специальной теории относительности Эйнштейна сочетались с волновым уравнением. Уравнение Дирака применимо к частицам, движущимся с произвольными скоростями.

2. Принципы квантовой механики

Квантовая (волновая) механика пытается объяснять как корпускулярные, так и волновые свойства вещества. Волна любой природы полностью описывается её амплитудой и фазой, поэтому квантовая механика должна использовать именно такое описание. Функция волнового процесса представляет собой суперпозицию комплексных экспонент, взятых с определёнными весами (амплитудами). Отсюда описание системы (вообще любой, но актуально только микроразмерной) комплексной волновой функцией, амплитуда и фаза которой полностью определяют состояние такой системы. Это описание позволяет естественным образом описывать волновые явления, такие, как интерференцию элементарных частиц или дифракцию электронов на кристаллической решетке (в классической физике эти свойства присущи исключительно волнам, а состояние частицы характеризует значение ее координат и импульса в данный момент времени). Одно из отличий квантовой механики от обычной заключается в том, что вероятность обнаружить электрон в данном месте ещё не полностью определяет его состояние. Для описания состояния электрона используется комплексная вероятность. Волновая функция и есть значение этой комплексной вероятности. Плотность вероятности обнаружения электрона в данной точке равна квадрату модуля комплексной вероятности (см. формулу 1.3). Комплексность приводит к эффекту интерференции. Практически интерференция наблюдалась для фотонов, электронов и некоторых атомов. Другим необычным свойством электронного «облака» является его неподатливость. Если со всех сторон начать сдавливать это облако, стремясь уменьшить его размеры, то оно станет оказывать всё большее и большее давление. Т. е. попытка ограничить размеры вероятного положения электрона приводит в пределе к бесконечному сопротивлению. Можно представить себе этот процесс, словно электрон начинает метаться по облаку, и чем меньше его размеры, тем сильнее он мечется, т. е. тем больше его кинетическая энергия. Однако такие представления в квантовой физике не могут быть чем-то большим, чем попыткой изобразить процесс. При экспериментах полной аналогии не наблюдается. Напрашивающийся вывод: квантовые частицы — не частицы и не волны, а нечто третье. Другими словами, если мы пытаемся насильно избавить электрон от неопределённости в координате (придать ему чисто корпускулярные свойства), то мы неизбежно увеличиваем неопределённость в импульсе электрона (т.е. стремимся сделать его чистой волной). Все вышесказанное было сформулировано в «принцип неопределенности Гейзенберга»: положение электрона в атоме неопределенно, невозможно одновременно точно определить и скорость электрона и его координаты в пространстве.

— электрон может находиться на любом расстояние от ядра;

— вероятность его нахождения в разных местах атома различна;

— поэтому вводится понятия электронное облако, орбиталь, уровень, подуровень.

Чем определеннее координата микрочастицы, тем менее определенным является импульс и наоборот. Гейзенберг установил, что произведение этих двух неопределённостей никогда не бывает меньше конкретной величины — постоянной Планка.

(2.1)

Х — координаты микрочастицы;

Р — импульс микрочастицы;

h — постоянная Планка.

Это соотношение называется соотношением неопределённостей. Аналогичные соотношения неопределённостей связывают и некоторые другие характеристики микрочастицы. Такие характеристики частицы называются дополнительными друг к другу. Общее словесное описание этого закона таково: создавая всё большую определённость в какой-либо одной характеристике частицы, природа уменьшает определённость в дополнительной ей характеристике. Такое «квантовое дрожание» (обычно говорят нулевые колебания) локализованной микроскопической частицы неустранимо, и именно оно приводит к некоторым чисто квантовым явлениям. Например, даже при нулевой температуре, когда, согласно классической механике, никакого движения не должно быть, нулевые колебания по-прежнему остаются. Именно из-за этого жидкий гелий не затвердевает при нормальном давлении даже при нулевой температуре по Кельвину.

Вышеописанное свойство электронного облака сразу же меняет понятие наблюдения за микрочастицей. Действительно, наблюдение — это процесс взаимодействия объекта с прибором, в результате которого на выходе прибора появляется какой-то определённый сигнал. Но всякое взаимодействие, а значит, и просто наблюдение, самим фактом своего существования принципиально меняет свойства наблюдаемого объекта. И важно, что это возмущение нельзя сделать пренебрежимо малым — важен сам факт возмущения.

При измерении какого-либо свойства частицы, и даже просто при её наблюдении, исходное состояние частицы, как правило, разрушается. Можно сказать, что какое-либо определённое квантовое состояние частицы — невероятно «хрупкая» вещь. Это важное свойство используется в квантовой телепортации и квантовой криптографии. Следующим важным свойством микрочастицы является тот факт, что она не всегда может находиться в произвольном состоянии.

В частности, если она удерживается какими-либо силами в более-менее локализованном состоянии (то есть «не убегает на бесконечность»), то состояния частицы оказываются квантованными: т. е. частица может обладать только определённым дискретным набором энергий в поле связывающих сил. Это кардинально отличается от классической механики: в ней частица может обладать непрерывным набором энергий.

С практической точки зрения, самым важным следствием этого является линейчатый (а не непрерывный) спектр излучения и поглощения атомов. Грубо говоря, это объясняется тем, что «длина волны» пси-функции становится сопоставимой с размерами её конфигурации (то есть насчитывается малое число пиков стоячей волны). В своё время наиболее существенная особенность квантовой теории состояла в ее новой, неизвестной в классической физике формулировке, которая понадобилась для того, чтобы ввести в теоретический язык квантование.

Атом может находиться лишь на дискретных энергетических уровнях, соответствующих различным орбитам электронов. Это, в частности, означает, что энергия (или гамильтониан) не может быть функцией только координат и импульса, как в классической механике (в противном случае, придавая координатам и импульсам значения, близкие к исходным, мы могли бы непрерывно изменять энергию, в то время как эксперимент показывает, что существуют лишь дискретные энергетические уровни).

На следующем этапе развития квантовой механики от традиционного представления о гамильтониане как о функции координат и импульса, пришлось отказаться и заменить его чем-то новым. Основная идея квантовой механики состоит в том, что гамильтониан так же, как и другие величины классической механики, например, координаты или импульсы, надлежит рассматривать как т. н. операторы. Переход от чисел к операторам — одна из наиболее дерзких идей в современной науке. Не вдаваясь в сущность значений операторов, отметим, что на сегодняшний день основная идея квантовой механики сводится к следующему: всем физическим величинам классической механики в квантовой механике соответствуют «свои» операторы, а численным значениям, принимаемым данной физической величиной — собственные значения ее квантово-механического оператора.

Важную особенность квантовой механики: различие, проводимое в ней между понятием физической величины (представимой оператором) и принимаемыми этой величиной численными значениями (представимыми собственными значениями оператора). В частности, энергии в квантовой механике соответствует оператор гамильтониан, а энергетическим уровням (наблюдаемым значениям энергии) — собственные значения спектра гамильтониана. На сегодняшний день теория, способная описать экспериментально наблюдаемое поведение микроскопических частиц в квантовой механике формируется с помощью математического аппарата квантовой механики. Основа математического аппарата квантовой механики была заложена Гейзенбергом и Шредингером в 1925 г.

Наблюдаемым физическим величинам, соответствуют определенные самосопряженные операторы в этом пространстве, а результатам измерения соответствующей физической величины отвечают средние значения этих операторов по заданному вектору состояний. Эволюция квантовой системы со временем также определяется с помощью оператора эволюции, который, в свою очередь, выражается через гамильтониан системы. В некоторых ситуациях, структура этого пространства и действующих в нём операторов выглядит существенно проще не в абстрактном виде, а в координатном представления, в котором вместо вектора состояния используется его разложение по базису координатного представления, т. е. волновая функция. Уравнение эволюции во времени в этом случае имеет вид дифференциального уравнения в частных производных и является уравнением Шредингера.

Введение

операторов распахнуло перед физиками ворота в неожиданно богатый и разнообразный микроскопический мир, в котором творческое воображение и экспериментальное наблюдение достаточно успешно сочетаются друг с другом. Ныне, через более чем пятьдесят лет после введения операторов в квантовую механику, их значение по-прежнему остается предметом горячих дискуссий. Исторически введение операторов связано с существованием энергетических уровней, но теперь операторы применяются даже в классической физике. Их значение намного превзошло ожидания основателей квантовой механики. Микроскопический мир подчиняется законам, имеющим качественно новую структуру. В этой связи, важным свойством квантовой механики является принцип соответствия: в рамках квантовой механики доказывается, что в пределе больших энергий (квазиклассический предел) и в случае, когда квантовая система взаимодействует с внешним миром (декогеренция), уравнения квантовой механики редуцируются в уравнения классической физики. Таким образом, квантовая механика не противоречит классической физике, а лишь дополняет её на микроскопических масштабах Грушевицкая Т. Г. Концепции современного естествознания. — М: Высш. Школа, 2010.С. 89. .

Итак, в настоящее время математическая модель квантовой механики представляет собой теорию гильбертовых пространств и действующих в них операторов. Состояние изолированной квантовой системы — это вектор в гильбертовом пространстве, причем постулируется, что задание вектора состояния — это суть задание полной информации о квантовой системе

3. Волновая функция

Особенности описания движения частиц в квантовой механике. Согласно гипотезе де Бройля, движущаяся частица обладает волновыми свойствами, и этими свойствами нельзя пренебречь, если длина волны де Бройля частицы сравнима или больше характерного размера области движения частицы. Как показывают оценки, условие выполняется для частиц малых масс, движущихся в областях, размеры которых сравнимы с размерами атомов. Такие частицы в дальнейшем будем называть микрочастицами.

Для описания движения микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, не может быть использован способ, разработанный в классической механике, когда состояние частицы определяется заданием в любой момент времени ее пространственных координат и скорости (импульса). При этом движение частицы связано с изменением со временем ее механического состояния, а непрерывная смена состояний соответствует движению частицы по определенной траектории.

Наличие у микрочастицы волновых свойств, как это следует из соотношений неопределенностей Гейзенберга (2.16), делает невозможным одновременное точное определение координат и импульса микрочастицы. Следовательно, механическое состояние микрочастицы не может быть задано классическим способом, а представление о траектории движения микрочастицы принципиально не может быть использовано для описания ее движения.

Такой отказ от традиционного классического способа описания движения частицы может даже вызвать внутренний протест. Как это частица может двигаться в пространстве, не имея при этом траектории движения? Вероятно, мы просто не можем измерить ряд параметров, знание которых позволило бы описать траекторию, по которой все-таки движется частица. Еще раз подчеркнем, что это не так. История развития физики показала, что только отказавшись от классического способа описания движения частицы, только отказавшись от представления о траектории движения, можно правильно и полно описать движение микрочастицы, обладающей волновыми свойствами, и предсказать результаты экспериментов с такими частицами.

Физическая теория, в которой описывается движение частиц, обладающих волновыми свойствами, первоначально получила название волновой механики. Однако, это название вскоре было заменено другим названием — квантовая механика — так как оказалось, что волновая механика предсказывает дискретный характер, то есть квантование различных физических величин у движущихся микрочастиц. Именно название квантовая механика закрепилось за этой теорией.

Квантовая механика является более общей физической теорией, чем классическая механика. Однако, при выполнении условия, когда волновыми свойствами частицы можно пренебречь, выводы квантовой механики должны совпадать с результатами классической механики. Этого требует принцип соответствия, утверждающий, что любая более общая физическая теория не должна исключать предыдущую, а должна включать ее как предельный частный случай. Поэтому при описании движения ракеты в космическом пространстве, подводной лодки в глубинах океана и даже при описании движения электрона в электронно-лучевой трубке физика всегда с успехом будет использовать классический способ описания механического движения тел. Только при существенном уменьшении пространственных масштабов движений микрочастиц, с которыми имеет дело атомная и ядерная физика, а также физика элементарных частиц, квантовая механика становится единственно возможным аппаратом описания явлений микромира. Отметим однако, что хотя квантовые эффекты проявляются на уровне атомных систем, эти эффекты определяют особенности работы многих современных установок и приборов и лежат в основе передовых технологий.

Переходя к описанию движения частиц в квантовой механике, сформулируем ряд ее постулатов, лежащих в основе теории.

Первый постулат квантовой механики: Состояние частицы в квантовой механике описывается заданием волновой функции, являющейся функцией пространственных координат и времени.

Аппарат, разработанный в квантовой механике, позволяет, проводя некоторые операции над волновой функцией, получать полную информацию о движении микрочастицы.

Вероятностный смысл волновой функции. Невозможность задания состояния микрочастицы указанием в любой момент времени ее координат и скорости и отказ от траекторного способа описания движения приводит к вероятностному способу описания движения микрочастицы. Это означает, что в квантовой механике, определяя состояние частицы, следует указать способ определения вероятности обнаружения частицы в различных точках пространства в данный момент времени.

В 1926 г. М. Борн так сформулировал вероятностный смысл волновой функции в квантовой механике:

Квадрат модуля волновой функции определяет плотность вероятности того, что в момент времени частица может быть обнаружена в точке пространства с координатами, и .

Следовательно

. (3.1)

Отметим, что волновая функция в общем случае является комплекснозначной функцией, то есть содержит действительную и мнимую части. Физический смысл, поэтому, имеет не сама волновая функция, а ее квадрат модуля — действительная величина, которую во многих случаях удобно находить, умножая волновую функцию на комплексно сопряженную ей функцию, так как из теории комплексных чисел следует, что .

Преобразуем формулу (3.1) к виду

. (3.2)

Здесь — вероятность того, что для заданного квантового состояния частицы в некоторый момент времени мы обнаружим частицу в элементарном объеме, окружающем точку Гнатюк В. И. Концепции современного естествознания. — М., 2010.С. 80. .

Столь необычный ответ квантовой механики казалось бы на простой вопрос, не является чисто теоретическим абстрактным результатом. В связи с этим отметим, например, что в современных информационных технологиях, разрабатывающих квантовые компьютеры, возможно использование логического элемента не только с двумя состояниями «0» и «1», но и элементов, которые могут находиться в состояниях суперпозиции нуля и единицы с некоторыми вероятностями. Такие элементы существенно изменяют принцип работы компьютера и позволяют создавать алгоритмы, значительно повышающие быстродействие и эффективность переработки информации.

Заключение

Итак, квантовая механика изучает движение и взаимодействие микрочастиц. В основе работы Планка, Эйнштейна, Бора, де Бройля, Гейзенберга, Шредингера. Содержит два основных положения:

— электрон имеет двойственную природу — обладает свойствами частицы и волны;

— как частица имеет массу и заряд, однако движение электрона — волновой процесс (например дифракция электронов).

Основные идеи квантовой механики:

— атомы или молекулы испускают или поглощают электромагнитное излучение при изменении своего энергетического состояния;

— атомы или молекулы могут существовать только в определенных энергетических состояниях. Когда атом или молекула изменяет свое энергетическое состояние, они должны испустить или поглотить такое количество энергии, чтобы можно было перейти в новое энергетическое состояние («условие квантования»);

— энергетическое состояние атома или молекулы может быть описано при помощи определенного набора чисел, называемых квантовыми числами.

Квантовые частицы подчиняются определенным законам, являясь чем-то средним между обычными частицами и волнами. Для описания состояния электрона используется комплексная вероятность. Чем больше допустимая неопределенность импульса, тем точнее можно определить координату микрочастицы и наоборот. Квантовые частицы не всегда могут находиться в произвольном состоянии. Основное уравнение квантовой механики — уравнение Шредингера, математический аппарат — теория матриц, теория групп, операторы, теория вероятностей.

квантовая механика бор волновой Квантовая механика дополняет классическую физику в микроскопических масштабах.

1. Гнатюк В. И. Концепции современного естествознания. — М., 2010. — 503 с.

2. Грушевицкая Т. Г. Концепции современного естествознания. — М: Высш. Школа, 2010. — 608 с.

3. Грэхэм Л. Квантовая механика М., 2010. — 803 с.

4. Джеммер М. Эволюция понятий квантовой механики. М., 2010. — 340 с.

5. Кожевников Н. М. Концепции Современного Естествознания — М., 2010. — 564 с.

6. Найдыш В. М. Концепции современного естествознания — М., 2010. — 234 с.

7. Стадницкий, С. Е. Стадницкий, А. Е. Основы механики элементарных частиц, гравитации и антигравитации — М., 2007. — 243 с.