Растяжение и сжатие

Контрольная работа Растяжение и сжатие

1. Определение напряжений при растяжении — сжатии

2. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука

3. Определение перемещений для деформации при растяжении — сжатии

4. Напряженное состояние при растяжении-сжатии и закон парности касательных напряжений

5. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжениисжатии

1. Определение напряжений при растяжении-сжатии

Растяжением или сжатием будем называть такое нагружение стержня, когда в поперечных сечениях возникает лишь один внутренний силовой фактор — нормальная сила.

растяжение сжатие деформация прочность Рис.1

Для определения продольных сил используем метод сечений. Проведем сечение а-а и спроектируем все силы, действующие на нижнею часть сечения, на ось стержня. Приравнивая сумму проекции к нулю, найдем:

N1=-3F

Минус показывает, что действует сжатие.

На участке А-В (в сечении в-в):

N2=5F

Наглядное представление о законе изменения продольных сил по длине дает эпюра продольных сил.

Рис. 2

Если на поверхности призматического стержня нанести прямоугольную сетку, то после деформации линии останутся взаимно перпендикулярными.

(z)-?

Все горизонтальные линии (c-d) переместятся вниз, оставаясь горизонтальными и прямыми. Можно предположить, что внутри стержня будет такая же картина. Это гипотеза Бернули или гипотеза плоских сечений: «Плоское сечение, перпендикулярное оси стержня после деформирования остается плоским и перпендикулярным оси сечения».

На этом основании считаем, что поперечная сила равномерно распределена по сечению.

Эта гипотеза справедлива, в первую очередь, для стержневых конструкций.

Интенсивность поперечной силы — нормальное напряжение:

2. Деформации при растяжении-сжатии и закон Гука Опыты показывают, что при растяжении длина стержня увеличивается, а поперечные размеры уменьшаются. При сжатии наоборот.

Рис.3

(2)-относительное удлинение или линейные деформации.

Для многих конструкционных материалов при нагружении до определенных пределов опыты показывают линейную зависимость линейных деформаций от нормальных напряжений.

(3) — закон Гука.

Емодуль продольной упругости или упругости первого рода.

Значения модуля упругости для некоторых материалов (в МПа):

сталь- 2.105−2.2.105;

титан- 1.1.105;

алюминий- 0.675. 105;

медь- 1.105;

стеклопластик- 0.18.105−0.4.105;

После подстановки (1) и (2) в (3):

= (4)

Между продольной е и поперечным еt деформациями существует следующая экспериментальная зависимость:

еt=не; (5)

нкоэффициент поперечной деформации (коэффициент Пуассона).

Если рассматривать произвольно ориентированный прямоугольник АВСД, то стороны его удлиняются, а сам прямоугольник под действием касательных напряжений переносится и превращается в параллелограмм. Углы, А и С уменьшатся, а В и Д увеличатся.

Изменение прямого угла называется угловой деформацией или углом сдвига.

Найдем угла поворота отрезков АВ и АД.

Угол поворота под действиям продольного удлинения:

=

Угол поворота под действием поперечного сужения:

Для определения угла поворота АД вместо б нужно использовать

Угловая деформация или угол сдвига:

Или введя модуль упругости G или модуль упругости второго рода:

(1)

(2)

3. Определение перемещений для деформации растяжение-сжатие

Рис. 4

dz; N (z)

Определим удлинения бесконечно малого участка.

ЕА (Z) — характеризует степень склонности данного участка к деформированию.

При наличии нескольких участков с различными функциями от Z, мы должны учесть вклад каждого участка, которые расположены между жестким закреплением и рассматриваемым участком:

Определение продольных перемещений при постоянных в пределах участка продольных силах.

Этот случай встречается довольно часто.

Тогда

4.Напряженное состояние при растяжении-сжатии и закон парности касательных напряжений Для полного суждения о прочности материала необходимо уметь определять напряжение действующие по любому наклонному сечению растянутого элемента.

Рис. 5

;

Проектируя все силы на направление у0:

убАб-у1Аcosб=0

уб=у1cos2б; (6)

Проектируя все силы на направление фб :

фбАб-у1Аcosб=0

; (7)

при ;

при ;

— закон парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках действуют одинаковые касательные напряжения, которые направлены либо к общему ребру, либо от этого ребра.

Рис.6

Этот закон имеет место и для объемного напряженного состояния.

Определим напряжение на некоторой наклонной площадке, которая расположена под углом б к плоскости нормального сечения. Полное напряжение на этой площадке обозначим через p.

Рис. 7

Из условия равновесия сил:

;

(1)

Раскладываем это напряжение на нормальную к накладной площадке и касательную составляющие (уб и фб).

уб=pcosб фб=psinб

или с учетом (1):

(2)

Выделим в области, примыкающей к точке А, прямоугольник АВСД.

Рис. 8

;

;

(3)

Закон парности касательных напряжений: величины касательных напряжений на взаимно перпендикулярных площадках равны и направлены либо к общему ребру либо от ребра.

Этот же результат можно получить из условия равновесия — момент от равен моменту .

;

.

5. Допускаемые напряжения, коэффициент запаса и расчеты на прочность при растяжениисжатии

В простейших случаях, как например при растяжении-сжатии, оценка прочности элемента конструкции производится по наибольшему нормальному или наибольшему касательному напряжению.

Таким образом, условия прочности записываются в виде:

уmax?уadm

или

уmax?уadm

Здесь:

уmaxдопускаемое значение нормального напряжения;

фadmдопускаемое значение касательного напряжения.

Допускаемые напряжения зависят от материала и условий работы рассчитываемого элемента конструкции. Эти величины должны быть выбраны таким образом, что бы была обеспечена нормальная эксплуатация конструкции.

Здесь действуют два фактора:

Фактические нагрузки, действующие на деталь.

Свойства материалов могут значительно отличаться от принятого в расчетах.

Такие факторы как перегрузка, неоднородность материала и другие носят чаще всего случайный характер и предварительно не могут быть учтены.

С целью обеспечения безопасной работы конструкции, допускаемые напряжения должны быть ниже предельных, при которых может произойти разрушение (хрупкие материалы) или появится пластические деформации (пластические материалы).

Здесь: уuпредел прочности;

уyпредел текучести.

Коэффициент запаса равен отношению предельных напряжений к допустимым. Назначение коэффициента запаса задача специальных курсов конструкция и проектирования детали приборов и т. д.

Расчеты на прочность:

А. Проектированный:

задана нагрузка F;

известен материал и допускаемое напряжение уadm.

Необходимо определить площадь поперечного сечения А.

Б. Расчеты на прочность:

задана нагрузка F и площадь поперечного сечения А;

известен материал и допускаемые напряжения уadm.

Необходимо оценить прочность конструкции:

Определить нормальное напряжение:

Условие прочности выполняется, если:

у?уadm.

В. Расчет несущей способности:

заданы размеры сечения;

задан материал.

Определить предельную нагрузку: F=N=Aуadm.

1.Александров А. В. и др. Сопротивление материалов: Учебник для ст-тов вузов — 2-е изд., испр. — М.: Высшая школа, 2008. — 559 с.

2.Бояршинов, С. В. Основы строительной механики машин — М.: Машиностроение, 2006. — 456 с.

3.Гафаров Р. Х. Что нужно знать о сопротивлении материалов: Учебное пособие для вузов обуч. по направлениям подгот. и спец. в области техники и технологии — М.: Машиностроение, 2007. — 275 с.

4.Дарков, А. В. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 2007. — 623 с.

5.Миролюбов И. Н. и др. Пособие по решению задач по сопротивлению материалов: учебное пособие для технических вузов. — М.: Высшая школа, 2007. — 399 с.

6.Степин П. А. Сопротивление материалов. — М.: Высшая школа, 2008. — 303 с.

7.Феодосьев В. И. Сопротивление материалов: Учебник для студ-ов высш.техн.учеб.зав. — 10-е изд., перераб. и доп. — М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2008. — 588 с.