Нестационарная фильтрация «цветного» шума

1.Постановка задачи Дано: 1. Корреляционная функция стационарного центрированного случайного сигнала L (t)

2.Наблюдаемый на интервале (0,t) нестационарный случайный сигнал ,

где W (t) — стационарный центрированный случайный сигнал с заданной корреляционной функцией K_w(t),

фильтр цветной шум

Требуется: 1. Найти оптимальный по среднему квадрату ошибки фильтр для полезного сигнала L (t) (дифференциальное уравнение, структурную схему, D_emin(t)), выделить решение для стационарного режима, найти A построить |A (jw)|².

2.Найти требуемое в п. 1 в предположении, что W (t) — белый шум со спектральной плотностью S_w:

а). непосредственно;

б). на основе решения в п. 1.

3.Сопоставить результаты по п.п.1,2, дать анализ различий и совпадений.

4.Осуществить машинную имитацию процесса оптимальной фильтрации для условий п. 1 (переходный и стационарный режимы), построить графики реализаций на одном графике); для стационарного режима вычислить оценку среднего квадрата перечисленных сигналов.

Исходные данные Корреляционная функция полезного сигнала:

Корреляционная функция помехи:

Функция

Входные сигналы

1.Полезный сигнал (t).

Корреляционная функция полезного сигнала:

График корреляционной функции:

Рис.

Спектральная плотность полезного сигнала L (t).

График спектральной плотности:

Рис.

Частотная характеристика формирующего фильтра полезного сигнала L (t)

Запишем линейное дифференциальное уравнение 2-го порядка формирующего фильтра для полезного сигнала L (t)

Перейдем от дифференциального уравнения 2-го порядка к нормальной форме Коши и запишем систему дифференциальных уравнений для полезного сигнала (t):

Интенсивность белого шума V1(t) .

Помеха W (t).

Корреляционная функция помехи W (t):

График корреляционной функции:

Рис.

Спектральная плотность помехи W (t):

График спектральной плотности:

Рис.

Частотная характеристика формирующего фильтра помехи W (t):

Дифференциальное уравнение для помехи W (t):

Интенсивность белого шума V2(t) .

3.Наблюдаемый сигнал.

В стационарном режиме M[X]=0, D[X]=1,8.

График функции g_?(t):

Рис.

4.Оптимальный по среднему квадрату фильтр для полезного сигнала L (t).

Переходной режим.

Воспользуемся формулами, полученными в и запишем:

Вспомогательный процесс:

Интенсивность белого шума W (t)

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

P_?(0) находится из уравнения 0=F P_?(0)+ P_?(0)F^T+GsG^T.

Запишем полученные уравнения в скалярной форме.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Структурная схема оптимального фильтра «цветного» шума:

Рис.

Матрица ковариаций P (t):

График D_{e min}(t):

График K_{e min}(t):

График Dp_{e min}(t):

График. Матрица Калмана a (t, t):

График. Производная матрицы Калмана a (t, t):

Стационарный режим.

Подставим полученные значения в систему дифференциальных уравнений для выходного сигнала Y (t) и получим оптимальный фильтр для стационарного режима:

Получим из этой системы дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение 2-ого порядка:

Теперь получим частотную характеристику оптимального фильтра:

График зависимости |A (j)|²:

Рис. Все графики выполнены в одном масштабе.

5.Оптимальный по среднему квадрату фильтр для полезного сигнала (t) в предположении, что W (t) — белый шум.

а).Найденный непосредственно.

Переходной режим.

Воспользуемся формулами, полученными в и запишем:

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Запишем полученные уравнения в скалярной форме.

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

Матрица Калмана:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Структурная схема оптимального фильтра белого шума:

Схема Матрица ковариаций P (t):

График D_e min(t)

График K_e min(t)

График Dpe min (t)

График. Матрица Калмана a (t, t):

Стационарный режим.

Подставим полученные значения в систему дифференциальных уравнений для выходного сигнала Y (t) и получим оптимальный фильтр для стационарного режима:

Получим из этой системы дифференциальных уравнений дифференциальное уравнение 2-ого порядка:

Теперь получим частотную характеристику оптимального фильтра:

График зависимости |A (j)|²:

Рис. Все графики выполнены в одном масштабе.

б).Найденный на основе решения в п. 1.

Для получения белого шума из цветного разделим параметры помехи W (t) на и получим:

Дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций:

Подставим преобразованные выражения в дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций и получим:

Дифференциальное уравнение оптимального фильтра:

— матрица Калмана оптимального фильтра, на вход которого подается помеха в виде белого шума.

Подставим преобразованные выражения в дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций и получим:

Машинная имитация для процесса оптимальной фильтрации

Структурная схема имитационной модели:

Для машинной имитации необходимо все уравнения привести к дискретному виду:

1).Формирующий фильтр полезного сигнала (t).

2).Формирующий фильтр помехи W (t).

3).Наблюдаемый сигнал X (t).

4).Матрица ковариаций P (t).

5).Матрица Калмана a (t, t).

6).Производная матрицы Калмана.

7).Выходной сигнал Y (t).

Для получения стационарного режима полезного сигнала и помехи формирующие фильтры надо разогнать. ФФ полезного сигнала разгоняется за 120 тактов, а ФФ помехи разгоняется за 12 тактов.

Белые шумы V1 и V2 являются независимыми и генерируются как нормальное распределение с МО=0 и D=2.

Оптимальный фильтр входит в стационарный режим на 250 такте.

Машинная имитация процесса оптимальной фильтрации была осуществлена в универсальной математической системе Mathcad 8.0.

Реализации случайных процессов:

График реализаций (t) и Y (t):

где t_ср — время наступления стационарного режима.

График реализации X (t)

График реализации E (t)

Оценки средних квадратов сигналов для стационарного режима.

Полезный сигнал (t):

M[²(t)]=0,837

Наблюдаемый сигнал X (t):

M[X²(t)]=1,849

Выходной сигнал Y (t):

M[Y²(t)]=0,699

Ошибка E (t):

M[E²(t)]=0,308

Выводы

В результате данного курсового проекта был найден оптимальный по среднему квадрату ошибки фильтр для полезного сигнала (t) в случае, когда на вход подается помеха в виде цветного шума и когда на вход подается помеха в виде белого шума. В частности было найдено дифференциальное уравнение оптимального фильтра, построена его структурная схема и найдена D_emin(t).

Оптимальный фильтр в случае, когда на вход подается помеха в виде белого шума, был найден двумя способами:

— непосредственно;

— на основе решения в п. 1 задания.

Результаты, полученные этими двумя способами, сошлись. В частности сошлись уравнения для матрицы ковариаций, матрицы Калмана и уравнения для выходного сигнала Y (t).

При сравнении результатов оптимальной фильтрации цветного и белого шума можно сделать следующий вывод: цветной шум обеспечивает меньшую дисперсию ошибки, чем белый шум (для цветного шума D_emin=0,3; для цветного шума D_emin=0,361), но оптимальный фильтр в случае белого шума имеет меньшую вычислительную сложность.

Также была осуществлена машинная имитация процесса оптимальной фильтрации для условий п. 1 задания и построены графики реализаций сигналов (t), X (t), Y (t), E (t) для переходного и стационарного режимов. Для стационарного режима также были найдены оценки среднего квадрата вышеперечисленных сигналов: M[²(t)]=0,837; M[X²(t)]=1,849; M[Y²(t)]=0,699; M[E²(t)]=0,308.

1. Лекции по СД и ТЭ СУ.

2. Учебник по СД и ТЭ СУ.

3. Булыгин В. С. Избранные задачи статистической оптимизации. МАИ, 1978 г.