Расчет вала при совместном действии изгиба и кручения по гипотезам прочности

Костромская Государственная Сельскохозяйственная Академия

Кафедра: " Детали машин"

Методическое пособие и задачи для самостоятельного решения по курсу «ПРИКЛАДНАЯ МЕХАНИКА»

Раздел: " Сопротивление материалов"

Тема: РАСЧЕТ ВАЛА ПРИСОВМЕСТНОМ ДЕЙСТВИИ ИЗГИБА И КРУЧЕНИЯ ПО ГИПОТЕЗАМ ПРОЧНОСТИ.

Составил: доцент Комаров Н.В.

Кострома 2003

Для решения задания необходимо усвоить тему: «Гипотезы прочности и их применение», т. к в задачах рассматриваются совместные действия изгиба и кручения и расчет производится с применением гипотез прочности.

Условие прочности в этом случае имеет вид

_{эк в} = М_{эк в}/ W_z

М_{эк в —} так называемый эквивалентный момент По гипотезе наибольших касательных напряжений (III — гипотеза прочности) М_{эк в III} = (М_и² + Т_к²) ^½

По гипотезе потенциальной энергии формоизменения (V — гипотезе прочности) М_{эк в V} = (М_и² + 0.75 Т_к²) ^½

В обеих формулах Т — наибольший крутящий момент в поперечном сечении вала М_и — наибольший суммарный изгибающий момент, его числовое значение равно геометрической сумме изгибающих моментов, возникающих в данном сечении от вертикально и горизонтально действующих внешних сил, т. е.

1. Привести действующие на вал нагрузки к его оси, освободить вал от опор, заменив их действия реакциями в вертикальных и горизонтальных плоскостях

2. По. заданной мощности Р и угловой скорости определить вращающие моменты действующие на вал.

3. Вычислить нагрузки F₁, F_r1, F₂, Fr2 приложенные к валу.

4. Составить уравнения равновесия всех сил, действующих на вал, отдельно в вертикальной плоскости и отдельно в горизонтальной плоскости и определить реакции опор в обеих плоскостях.

5. Построить эпюру крутящих моментов.

6. Построить эпюру изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях (эпюры M_z и M_y).

7. Определить наибольшее значение эквивалентного момента:

М_{эк в III} = (М_z² + M_y² + Т_к²) ^½ или М_{эк в V} = (М_z² + M_y² + 0.75 Т_к²) ^½

8. Приняв _{эк в} = определить требуемый осевой момент сопротивления

W_z = М _{эк в}/

9. Учитывая, что для бруса сплошного круглого сечения

W_и = *d_в^3/32 0.1* d_в³

определяем диаметр его d по следующей формуле:

d (32* М _{эк в} / *) ^1/3 (М _эк / 0.1) ^1/3

Пример: Для стального вала постоянного поперечного сечения с двумя зубчатыми колесами, передающего мощность Р = 15 кВт при угловой скорости =30 рад/с, определить диаметр вала по двум вариантам:.

а) Используя, IIIгипотезу прочности б) Используя, V — гипотезу прочности Принять =160МПа, F_r1 = 0.4 F₁, F_r2 = 0.4 F₂

Составляем расчетную схему вала: Т₁=Т₅, где Т₁ и Т₂ — скручивающие пары, которые добавляются при параллельном переносе сил F₁ и F₂ на ось вала Определяем вращающий момент действующий на вал:

Т₁ = Т₂ = Р/ = 0,5*10³ Нм = 0,5 кНм Вычисляем нагрузку приложенную к валу

F₁ = 2*T_1/d₁ = 2*0.5*10^3/0.1 = 10⁴ H = 10kH

F₂ = 2*T_2/d₂ = 2*0.5*10^3/0.25 = 4*10³ H = 4kH

F_r1 = 0.4*10³ = 4 kH F_r2 = 0.4*4 = 1.6 kH

Определяем реакции опор в вертикальной плоскости YOX (рис б)

M_a = - F_r1 AC — F_r2 AD + R_BY*AB = 0

R_BY = F_r1 AC + F_r2 AD / AB = 4*0.05 + 1.6*0.25/0.3 = 2 kH

M_B = - R_AY*AB + F_r1*BC + F_r2*DB = 0

R_AY = F_r1*BC + F_r2*DB / AB = 4*0.25 + 1.6*0.05/03 = 3.6 kH

Проверка:

Y = R_AY — F_r1 — F_r2 + R_BY = 2−4-1.6+3.6 = 0

Y = 0, следовательно R_AY и R_BY найдены правильно Определим реакции опор в горизонтальной плоскости ХОZ (рис б)

M_A = F₁ AC — F₂ AD — R_Bz*AB = 0

R_Bz = F₁ AC — F₂ AD / AB = 10*0.05 — 4*0.25/0.3 = - 1.66 kH

Знак минус указывает, что истинное направление реакции R_Bz противоположно выбранному (см. рис. б)

M_B = R_Az*AB — F₁*CB + F₂*DB = 0

R_Az = F₁*CB — F₂*DB / AB = 10*0.25 — 4*0.05/0.3 = 7.66 kH

Проверка:

Z = R_Az — F₁ + F₂ — R_Bz = 7.66−10+4−1.66 = 0

Z = 0, следовательно реакции R_Az и R_Bz найдены верно.

Строим эпюру крутящих моментов Т (рис в).

Определяем ординаты и строим эпюры изгибающих моментов M_z в вертикальной плоскости (рис. г и д) и М_y — в горизонтальной плоскости.

М_Cz = R_Ay*AC = 3.6*0.05 = 0.18 kHм М_Dz = R_Ay*AD — F_r1*CD = 3.6*0.25 — 4*0.2 = 0.1 kHм М_Cy = R_Az*AC = 7.66*0.05 = 0.383 kHм М_Dy = R_Az*AD — F₁*CD = 7.66*0.25 — 10*0.2 = - 0.085 kHм Вычисляем наибольшее значение эквивалентного момента по заданным координатам так как в данном примере значение суммарного изгибающего момента в сечений С больше, чем в сечении D, то сечение С и является опасным. Определяем наибольший суммарный изгибающий момент в сечении С.

М_{и С} = (М_Сz² + M_Cy²) ^½ = (0.18² + 0.383²) ^½ = 0.423 kHм М_{и D} = (М_Dz² + M_Dy²) ^½ = (0.1² + 0.085²) ^½ = 0.13 kHм Эквивалентный момент в сечении C по III и V гипотезе прочности М_{эк в III} = (М_z² + M_y² + Т_к²) ^½ = (018²+ 0.383²+0.5²) ^½ =

= 0.665 kHм М_{эк в V} = (М_z² + M_y² + 0.75 Т_к²) ^½ =

= (0.18²+0.383²+0.75*0.5²) ^½ = 0.605 kHм Определяем требуемые размеры вала по вариантам III и V гипотез прочности.

d_III = (М_{эк в III} / 0.1*) ^½ = (0.655*10^3/0.1*160*10⁶) ^½ =

= 3.45*10^-2 (м) = 34.5 (мм)

d_VI = (М_{эк в V} / 0.1*) ^½ = (0.605*10^3/0.1*160*10⁶) ^½ =

= 3.36*10^-2 (м) = 33.6 (мм) Принимаем диаметр вала согласно стандартного ряда значений d=34 мм Из условия прочности рассчитать необходимый диаметр вала постоянного поперечного сечения, с двумя зубчатыми колёсами, предающего мощность Р, при заданной угловой скорости.

Принять =160МПа, F_r1 = 0.4 F₁, F_r2 = 0.4 F₂ (Все размеры указаны на рисунках)