Методика решения задач по динамике материальной точки

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. Движение с чисто геометрической точки зрения рассматривается в кинематике. Отличие динамики состоит в том, что при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

На движущееся тело наряду с постоянными силами действуют обычно силы переменные, модули и направления которых при движении тела изменяются. Переменные силы могут определенным образом зависеть от времени, положения тела и его скорости. В частности, от времени зависит сила тяги электровоза при постепенном выключении или включении реостата или сила, вызывающая колебания фундамента при работе мотора с плохо центрированным валом; от положения тела зависит Ньютонова сила тяготения или сила упругости пружины; от скорости зависят силы сопротивления среды.

Инертность тела проявляется в том, что оно сохраняет свое движение при отсутствии действующих сил, а когда на него начинает действовать сила, то скорости точек тела изменяются не мгновенно, а постепенно и тем медленнее, чем больше инертность этого тела. Количественной мерой инертности материального тела является физическа величина, называемая массой тела (масса является еще мерой гравитационных свойств тела), В классической механике масса m рассматривается как величина скалярная, положительная и постоянная для каждого данного тела.

Кроме суммарной массы движение тела зависит еще в общем случае от формы тела, точнее от взаимного расположения образующих его частиц, т. е. от распределения масс в теле. Чтобы при первоначальном изучении динамики отвлечься от учета формы тела (распределения масс), вводят абстрактное понятие о материальной точке, как о точке, обладающей массой, и начинают изучение динамики с динамики материальной точки.

Из кинематики известно, что движение тела складывается в общем случае из поступательного и вращательного. При решении конкретных задач материальное тело можно рассматривать как материальную точку в тех случаях, когда по условиям задачи допустимо не принимать во внимание вращательную часть движения тела. Например, материальной точкой можно считать планету при изучении ее движения вокруг Солнца или артиллерийский снаряд при определении дальности его полета и т. п. Соответственно поступательно движущееся тело можно всегда рассматривать как материальную точку с массой, равной массе всего тела.

Изучать динамику обычно начинают с динамики материальной точки, так как естественно, что изучение движения одной точки должно предшествовать изучению движения системы точек и, в частности, твердого тела.

Для свободной материальной точки задачами динамики являются следующие:

1) зная закон движения точки, определить действующую на нее силу (первая задача динамики);

2) зная действующие на точку силы, определить закон движения точки (вторая, или основная, задача динамики).

Для несвободной материальной точки, т. е. точки, на которую наложена связь, вынуждающая ее двигаться по заданной поверхности или кривой, первая задача динамики обычно состоит в том, чтобы, зная движение точки и действующие на нее силы, определить реакцию связи. Вторая (основная) задача динамики при несвободном движении распадается на две и состоит в том, чтобы, зная действующие на точку силы, определить:

а) закон движения точки,

б) реакцию наложенной связи.

Основные законы, используемые при решении

зада динамики материальной точки

Динамика это раздел классической механики, изучающий движение материальных тел под действием приложенных к ним сил, т. е. дающий связь между взаимодействиями тел и изменениями в их движении. Она является основным разделом механики и базируется на трех законах Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции) формулируется следующим образом: изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Закон инерции отражает одно из основных свойств материи пребывать неизменно в движении

Второй закон Ньютона (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: ускорение, приобретаемое материальной точкой (телом), прямо пропорционально действующей силе, совпадает с нею по направлению и обратно пропорционально массе материальной точки (тела).

Математически этот закон выражается векторным равенством

Если на точку действует одновременно несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей, равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид

+ += ;

Воздействие тел (материальных точек) друг на друга всегда является взаимным и определяется третьим законом Ньютона (законом о равенстве действия и противодействия): действия двух тел друг на друга всегда равны по модулю, противоположно направлены и действуют вдоль прямой, соединяющей эти тела:

= ;

где — сила, действующая на первое тело со стороны второго; - сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Необходимо помнить, что силы и приложены к разным телам (материальным точкам) и поэтому не уравновешивают друг друга; они действуют парами и являются силами одной природы.

Этим законом пользуются в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

Из второго и третьего законов Ньютона вытекает закон сохранения импульса замкнутой системы.

Совокупность материальных точек (тел), рассматриваемых как единое целое, называется механической системой. Силы взаимодействия между материальными точками механической системы называются внутренними. Силы, с которыми на материальные точки системы действуют внешние тела, называются внешними. Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы (они взаимно уравновешиваются), называется замкнутой или изолированной. В такой системе необходимо учитывать только силы взаимодействия между входящими в нее телами (внутренние силы). Строго говоря, изолированных механических систем в природе не существует. В задачах на поступательное движение системы материальных точек часто используются законы сохранения механической энергии и импульса.