Расчет жесткого стержня

• 1. Задание
• 2. Схема нагруженного стержня
• 3. Исходные данные
• 4. Построение системы линейных алгебраических
• 5. Вывод формул проверки, достоверности вычисления опорных реакций
• 6. Вывод рабочих формул определение внутренних усилий стержня
• 7. Численный метод решения СЛАУ — метод Гаусса
• 8. Обоснование применения метода Гаусса
• 9. Блок — схема алгоритма
• 10. Программа
• 12. Анализ результатов
• Литература

1. Задание

Построить математическую модель расчета опорных реакций жесткого стержня с тремя опорными узлами и определение внутренних усилий, поперечной силы Q и изгибающего момента М, возникающих во внутренних сечениях стержня под действием нагрузки. Разработать алгоритм и составить программу вычисления опорных реакций и распределения вдоль оси стержня внутренних усилий.

Вариант — 82−4г. Схема — 2.

Численный метод решения СЛАУ — метод Гаусса.

2. Схема нагруженного стержня

P1, P2-сосредоточенная сила, Н

q4 — интенсивность распределенной нагрузки, H/м

C1, C2 — отрезок балки, м

L1, L2 — пролет балки, м

М1, M2 — круговой момент, Hм

3. Исходные данные

P1=15kH P2=30kH L1=6м L2=12м

M1=10kHм M2=35kHм С1=3м C2=2м

L1=6м L2=12м q4=10kH

4. Построение системы линейных алгебраических

уравнений для определения опорных реакций.

Преобразуем исходную систему:

отбросим опорные стержни и заменим их опорными

реакциями (R1; R2; R3)

интенсивность распределённой нагрузки заменим эквивалентной

силой (F4 = q4c2)

зададим систему координат.

Для вывода формул вычисления опорных реакций запишем уравнение равновесия стержня: сумма моментов относительно опорной точки стержня равна нулю.

:

Представил уравнения равновесия балки в форме системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Матричная форма записи СЛАУ вычисление опорных реакций балки

AR=B

А — матрица коэффициентов при неизвестных

R — матрица неизвестных

В — матрица свободных членов

5. Вывод формул проверки, достоверности вычисления опорных реакций

Для проверки правильности вычисления опорных реакций использовал уравнения равновесия балки, сумма проекций всех сил действующих на балку равна нулю.

Y=R1-P1+R2=0

X=R3-P2-F4=0

6. Вывод рабочих формул определение внутренних усилий стержня

На рассматриваемом стержне выделим четыре участка длиной S (длина отрезка от начала до точки сечения стержня), для которых составим формулы для вычисления внутренних усилий: поперечной силы Q и изгибающего момента М.

s — отрезок от начала до точки сечения балки

I cечение

II cечение

III cечение

IV cечение

В точках границ,, организуем вычисления поперечной силы Q слева (и QQ справа), изгибающего момента М слева (и MМ справа) от рассматриваемых точек.

1 точка границ:

2 точка границ:

3 точка границ:

7. Численный метод решения СЛАУ — метод Гаусса

Численный метод Гаусса относится к точным методам решения системы линейных алгебраических уравнений. Он основан на приведении матрицы коэффициентов к треугольному виду. Процесс поиска решения системы линейных алгебраических уравнений выполняется в два хода: прямой ход и обратный ход.

Прямой ход исключения переменных выполняется путём преобразования коэффициентов СЛАУ, коэффициенты при неизвестных обращаются в нуль, начиная со второго по формулам:

;; , где

; ;

Процесс преобразования уравнений заканчивается последним уравнением. Результатом прямого хода является получение матрицы коэффициентов к треугольному виду.

Обратный ход (последовательное нахождение неизвестных

) выполняется по формулам:

;; ;, где

;

В результате формируется матрица неизвестных: Метод Гаусса для решения СЛАУ применим при условии, что все диагональные элементы матрицы отличны от нуля, т. е., где .

8. Обоснование применения метода Гаусса

Исходная СЛАУ имеет на главной диагонали элементы равные нулю:

следовательно, метод Гаусса применять нельзя.

Для того чтобы использовать численный метод Гаусса для решения данной СЛАУ необходимо её преобразовать. Для этого необходимо применить к исходной СЛАУ схему выбора главных элементов. В исходной СЛАУ переставим уравнения местами: первое уравнение поставим на второе место, второе уравнение поставим на третье место, третье уравнение поставим на первое место.

В результате на главной диагонали матрицы, А отсутствуют члены равные нулю.

Для повышения точности получаемого решения СЛАУ матрица, А должна быть диагонально преобладающей:

Преобразованная СЛАУ имеет вид:

Условия применения метода Гаусса выполняются, следовательно, метод Гаусса можно использовать для решения преобразованной СЛАУ.

9. Блок — схема алгоритма

10. Программа

CLS

SCREEN 12

WINDOW (20, 20) — (-20, — 20)

N = 3

PRINT «Программу составил студент гр.320 851 Клычников А.В.»

50 PRINT «Расчет жесткого стержня «

PRINT «Исходные данные»

INPUT «Интенсивность распределения нагрузки q4 (кH/м) =»; q4

INPUT «Отрезок балки С1 (м) =»; C1

INPUT «Пролет балки L1 (м) =»; L1

INPUT «Отрезок балки C2 (м) =»; c2

INPUT «Пролет балки L2 (м) =»; L2

INPUT «Круговой момент M1 (кH*м) =»; M1

INPUT «Круговой момент M2 (кH*м) =»; M2

INPUT «Сосредоточенная сила P1 (кH) =»; P1

INPUT «Сосредоточенная сила P2 (кH) =»; P2

PRINT ««

IF C1 > 0 THEN GOTO 10 ELSE GOTO 40

10 IF c2 > 0 THEN GOTO 20 ELSE GOTO 40

20 IF L1 > C1 THEN GOTO 30 ELSE GOTO 40

30 IF L2 > c2 THEN GOTO 60 ELSE GOTO 40

40 PRINT «Ошибка ввода»: GOTO 50

60 F = q4 * c2

DIM A (N, N), R (N), B (N)

A (1,1) = - (L1 — C1): A (1,2) = 0: A (1,3) = 0

A (2,1) = 0: A (2,2) = L1 — C1: A (2,3) = L2

A (3,1) = - (L1 — C1): A (3,2) = 0: A (3,3) = L2

B (1) = P1 * (L1 — C1) — M1 — F * (C½) — M2 — P2 * c2

B (2) = F * (L2 — c2/2) — M1 + P2 * (L2 — c2) — M2

B (3) = - P1 * (L1 — C1) — M1 + F * (L2 — c2/2) — M2 + P2 * (L2 — c2)

FOR I = 1 TO N — 1

FOR J = I + 1 TO N

A (J, I) = - A (J, I) / A (I, I)

FOR K = I + 1 TO N

A (J, K) = A (J, K) + A (J, I) * A (I, K): NEXT K

B (J) = B (J) + A (J, I) * B (I): NEXT J

NEXT I

R (N) = B (N) / A (N, N)

FOR I = N — 1 TO 1 STEP — 1: H = B (I)

FOR J = I + 1 TO N: H = H — R (J) * A (I, J): NEXT J

R (I) = H / A (I, I)

NEXT I

R1 = R (1): R2 = R (2): R3 = R (3)

X = R1 — P1 + R2

Y = R3 — P2 — F

PRINT «Результаты «

PRINT «Опорная реакция в точке 1 R1=»; R (1); «kН»

PRINT «Опорная реакция в точке 2 R2=»; R (2); «kН»

PRINT «Опорная реакция в точке 3 R3=»; R (3); «kН»

PRINT «Y=»; Y; «X=»; X

PRINT

PRINT «Таблица ординат эпюр Q и M «

PRINT «S Q M QQ MM»

FOR s = 0 TO L1 + L2

IF s >= 0 AND s < C1 THEN

Q = 0

M = 0

GOTO 70

END IF

IF s > C1 AND s < L1 THEN

Q = R1 — P1

M = P1 * (s — C1) — R1 * (s — C1) + M1

GOTO 70

END IF

IF s > L1 AND s < L1 + L2 — c2 THEN

Q = 0

M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1

GOTO 70

END IF

IF s > L1 + L2 — c2 AND s <= L1 + L2 THEN

Q = - P2 — q4 * (s — L1 — L2 + c2)

M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 + M2 + P2 * (s — L1 — L2 + c2) + q4 * (s — L1 — L2 + c2) * (s — L1 — L2 + c2) / 2

GOTO 70

END IF

IF s = C1 THEN

Q = R1 — P1

M = M1

QQ = R2 — P1 + R1

MM = - M1 — R2 * (L1 — s) + P2 * (L2 — c2) — M2 — R3 * L2 + F * (L2 — c2/2)

GOTO 80

END IF

IF s = L1 THEN

Q = R1 — P1 + R2

M = P1 * (s — C1) — R1 * (s — C1) + M1

QQ = R2

MM = P2 * (L2 — c2) — M2 — R3 * L2 + F * (L2 — c2/2)

GOTO 80

END IF

IF s = L1 + L2 — c2 THEN

Q = - P2

M = M2 + P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 + F * (L1 — C1) / 2 — 30

QQ = R3 — P2 — F

MM = - M2 — R3 * c2 + F

GOTO 80

END IF

70 PRINT USING «##. ## ####. #### ####. ####»; s; Q; M: GOTO 90

80 PRINT USING «##. ## ####. #### ####. #### ####. #### ####. ####»; s; Q; M; QQ; MM

90 NEXT s

A$ = INPUT$ (1)

LINE (10,8) — (18,8), 8

LINE (10,3) — (10, 20), 8

FOR Z = 10 TO 18 STEP.5

LINE (Z, 7.9) — (Z, 8.1), 8

FOR W = 3 TO 20 STEP.5

LINE (9.9, W) — (10.1, W), 8

NEXT W

NEXT Z

LINE (10, — 3) — (18, — 3), 8

LINE (10, 0) — (10, — 18), 8

FOR Z = 10 TO 18 STEP.5

LINE (Z, — 2.9) — (Z, — 3.1), 8

FOR W = - 18 TO 0 STEP.5

LINE (9.9, W) — (10.1, W), 8

NEXT W

NEXT ZFOR T = 0 TO L1 + L2 STEP.001

IF T >= 0 AND T < C1 THEN

Q = 0

M = 0

V1 = Q

U1 = M

GOTO 100

END IF

IF T > C1 AND T < L1 THEN

Q = R1 — P1

M = P1 * (T — C1) — R1 * (T — C1) + M1

V2 = Q

U2 = M

GOTO 100

END IF

IF T > L1 AND T < L1 + L2 — c2 THEN

Q = 0

M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1

V3 = Q

U3 = M

GOTO 100

END IF

IF T > L1 + L2 — c2 AND T <= L1 + L2 THEN

Q = - P2 — q4 * (T — L1 — L2 + c2)

M = P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 + M2 + P2 * (T — L1 — L2 + c2) + q4* * (T — L1 — L2 + c2) * (T — L1 — L2 + c2) / 2

GOTO 100

END IF

100 PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

NEXT T

T = C1: GOTO 110

110 Q = R1 — P1

M = M1

PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

LINE (T / 3 + 10, V1/3 + 8) — (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

LINE (T / 3 + 10, U1/3 — 3) — (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

T = L1: GOTO 120

120 Q = R1 — P1 + R2

M = P1 * (T — C1) — R1 * (T — C1) + M1

PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

LINE (T / 3 + 10, V2/3 + 8) — (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

LINE (T / 3 + 10, U2/3 — 3) — (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

T = L1 + L2 — c2: GOTO 130

130 Q = - P2

M = M2 + P1 * (L1 — C1) — R1 * (L1 — C1) + M1 + F * (L1 — C1) / 2

PSET (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

PSET (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

LINE (T / 3 + 10, V3/3 + 8) — (T / 3 + 10, Q / 3 + 8), 4

LINE (T / 3 + 10, U3/3 — 3) — (T / 3 + 10, M / 3 — 3), 5

END

11. Форма ввода — вывода информации

Программу составил студент гр.320 851 Клычников А.В."

Расчет жесткого стержня

Исходные данные

Интенсивность распределения нагрузки q4 (кH/м) = 10

Отрезок балки c1 (м) = 3

Пролет балки L1 (м) = 6

Отрезок балки c2 (м) = 2

Пролет балки L2 (м) = 12

Круговой момент M1 (кH*м) = 10

Круговой момент M2 (кH*м) = 35

Сосредоточенная сила P1 (кH) = 15

Сосредоточенная сила P2 (кH) = 30

Результаты

Опорная реакция в точке 1 R1=56.6668kН

Опорная реакция в точке 2 R2=-41.6667kН

Опорная реакция в точке 3 R3=50kН

Y=0 X=

PRINT «Таблица ординат эпюр Q и M «

x Q M QQ MM

0.0000 0.0000 0.0000

1.0000 0.0000 0.0000

2.0000 0.0000 0.0000

3.0000 41.6667 10.0000 0.0000 0.0000

4.0000 41.6667 -31.6667

5.0000 41.6667 -73.3334

6.0000 0.0000 -115.0000 -41.6667 -115.0000

7.0000 0.0000 -115.0000

8.0000 0.0000 -115.0000

9.0000 0.0000 -115.0000

10.0000 0.0000 -115.0000

12.0000 0.0000 -115.0000

13.0000 0.0000 -115.0000

14.0000 0.0000 -115.0000

15.0000 0.0000 -115.0000

16.0000 -30.0000 -80.0000 0.0000 -115.0000

17.0000 -40.0000 -45.0000

18.0000 -50.000 0.0000

Проверка по оси X =0

Программу составил студент Лазарев В. А. гр.320 851

12. Анализ результатов

Эпюры поперечной силы Q и изгибающего момента М.

Q (kH) M (kHм)

Анализ результатов показал, что наиболее напряженное сечение стержня находится в точке с координатой S=14м, Q=-40 kH, M=-80kHм.

1. Данилина Н. И. Численные методы. — М.: Выш. шк. 1976 г. — 368 с.

2. Дъяков В. П. Справочник по алгоритмам и программам на языке Бейсик для ПЭВМ. — М.: Наука, 1987 г. — 240с.