Максимизация прибыли универмага

Большой универсальный магазин собирается заказать новую коллекцию костюмов для весеннего сезона. Решено заказать 4 типа костюмов. Три типа — костюмы широкого потребления (из полиэстеровых смесей, шерстяные, хлопковые). Четвертый тип — дорогие импортные модельные костюмы из различных тканей. Имеющийся у менеджеров магазина опыт и специальные исследования позволяют оценить средние затраты рабочего времени продавцов на продажу одного костюма каждого типа, объём затрат на рекламу и площади в расчете на один костюм каждого типа. Все эти данные, а также прибыль от продажи одного костюма представлены в таблице.

Предполагается, что весенний сезон будет длиться 90 дней. Магазин открыт 10 часов в день, 7 дней в неделю. Два продавца постоянно будут в отделе костюмов. Выделенная отделу костюмов площадь составляет прямоугольник 100 * 60 м². Бюджет, выделенный на рекламу всех костюмов на весенний сезон, составляет 15 000 $.

а.) Сколько костюмов каждого типа надо закупить, чтобы максимизировать прибыль?

б.) Допустим, что менеджмент магазина считает необходимым закупить не менее 200 костюмов каждого типа. Как это требование повлияет на прибыль магазина?

При ответе на следующие вопросы сохраните ограничение (б).

в.) Изменится ли оптимальное решение, если прибыль от продажи одного полиэстерового костюма переоценена (недооценена) на 1 $, на 2 $?

г.) Обоснуйте, будет ли каждое из предлагаемых решений полезно для магазина:

• — отдать в распоряжение отдела костюмов 400 м² от отдела женской спортивной одежды. Предполагается, что на этой площади магазин может получить прибыль всего лишь 750 $ за последующие 90 дней;
• — истратить дополнительно 400 $ на рекламу;
• — нанять дополнительно продавца на 26 полных дней. Это будет стоить магазину 3600 $ и добавит 260 ч. труда продавцов отдела костюмов в течении 90 дней предстоящего сезона.

д.) Если общее число закупленных костюмов не может превысить 5000 шт., то как такое ограничение повлияет на оптимальное решение?

Решение:

Обозначим через Х1 — количество костюмов из полиэстеровых смесей, Х2 — количество костюмов из шерсти, Х3 — количество костюмов из хлопка и Х4 — количество импортных костюмов.

Целевая функция, определяющая прибыль универмага имеет вид:

Ограничения:

Ограничение по времени:

90*10*2 = 1800.

Построение таблицы:

Максимизация прибыли:

а).

б).

в) — прибыль от продажи одного полиэстерового костюма больше на 1 $.

— прибыль от продажи одного полиэстерового костюма больше на 2 $.

Если прибыль от реализации полиэстерового костюма увеличить на 1 $ или 2 $, то оптимальное решение изменится.

В первом случае, максимальная прибыль составит 171 065 $ при следующих закупках: 734 полиэтеровых костюмов, 1333 шерстяных костюмов, 2133 хлопковых костюмов и 200 импортных костюмов.

Во втором случае: максимальная прибыль составит 172 225 $ при следующих закупках: 1725 костюмов из полиэтеровых тканей, 200 шерстяных, 2700 хлопковых и 200 импортных костюмов.

— прибыль от продажи одного полиэстерового костюма меньше на 1 $.

— прибыль от продажи одного полиэстерового костюма меньше на 2 $.

Если прибыль от реализации полиэстерового костюма уменьшить на 1 $, то оптимальное решение не изменится, уменьшится лишь получаемая прибыль и составит 169 587 $. Если прибыль от реализации полиэстерового костюма уменьшить на 2 $, то оптимальное решение изменится. В этом случае общая прибыль составит 169 397 $ при следующих закупках: 200 костюмов из полиэстера, 2401 шерстяных, 1065 хлопковых и 200 импортных костюма.

г) — увеличение площади на 400 м²;

— увеличение денег на рекламу на 400 $;

— при найме дополнительного продавца.

Ни увеличение площади, ни увеличение денег на рекламу к увеличению общей прибыли не приводит. При неизменных площадях магазин мог получить прибыль в размере 172 250 $, при передаче части площади его прибыль составит 170 897 $. Увеличение денег на рекламу приводит к уменьшению общей прибыли и составит 171 056 $. А вот при найме дополнительного продавца прибыль увеличится, и составит 189 400 $.

д).

Общее число закупленных костюмов 500+2000+2000= 4500, что не превосходит 5000, выполняется при данных условиях задачи. Т. е. это никак не повлияет на оптимальное решение.