Моделирование рисковых ситуаций

Для моделирования рисковых ситуаций применяют достаточно разные способы моделирования. На практике часто появляется необходимость согласования действии фирм, объединении, министерств и других участников проектов в случаях, когда их интересы не совпадают. В таких ситуациях теория игр позволяет найти лучшее решение для поведения участников, обязанных согласовывать действия при столкновении интересов. Теория игр все шире проникает в практику экономических решений и исследований, для моделирования рисковых ситуаций. Ее можно рассматривать как инструмент, помогающий повысить эффективность плановых и управленческих решений. Это имеет большое значение при решении задач в промышленности, сельском хозяйстве, на транспорте, в торговле, особенно при заключении договоров с иностранными государствами на любых иерархических уровнях. Так, можно определить научно обоснованные уровни снижения розничных цен и оптимальный уровень товарных запасов, решать задачи экскурсионного обслуживания и выбора новых линий городского транспорта, задачу планирования порядка организации эксплуатации месторождений полезных ископаемых в стране и др. Классической стала задача выбора участков земли под сельскохозяйственные культуры. Метод теории игр можно применять при выборочных обследованиях конечных совокупностей, при проверке статистических гипотез, при моделирование рисковых ситуаций.

Обычно теорию игр определяют как раздел математики для изучения конфликтных и рисковых ситуаций. Это значит, что можно выработать оптимальные правила и решения поведения каждой стороны, участвующей в решении рисковой ситуации. [1, с. 13].

В экономике, например, оказался недостаточным аппарат математического анализа, занимающийся определением экстремумов функций. Появилась необходимость изучения так называемых оптимальных минимальных и максимальных решений. Следовательно, теорию игр можно рассматривать как новый раздел оптимизационного подхода, позволяющего решать рисковые ситуации и новые задачи при принятии решений [14, c. 98].

Игра — упрощенная формализованная модель реальной рисковой ситуации. Математически формализация означает, что выработаны определенные правила действия сторон в процессе игры: варианты действия сторон; исход игры при данном варианте действия; объем информации каждой стороны о поведении всех других сторон.

Одну играющую сторону при исследовании операций может представлять коллектив, преследующий некоторую общую цель. Однако разные члены коллектива могут быть по-разному информированы об обстановке проведения игры.

Выигрыш или проигрыш сторон оценивается численно, другие случаи в теории игр.

Методы принятия решении в условиях риска разрабатываются и обосновываются в рамках так называемой теории статистических решений. При этом в случае «доброкачественной», или стохастической, неопределенности, когда состояниям природы поставлены в соответствие вероятности, заданные экспортно либо вычисленные, решение обычно принимается на основе критерия максимума ожидаемого среднего выигрыша или минимума ожидаемого среднего риска.

Если для некоторой игры с природой, задаваемой платежной матрицей А = ||aij||m,n, стратегиям природы Пj соответствуют вероятности рj, то лучшей стратегией игрока 1 будет та, которая обеспечивает ему максимальный средний выигрыш, т. е.

Применительно к матрице рисков (матрице упущенных выгод) лучшей будет та стратегия игрока, которая обеспечивает ему минимальный средний риск: [7, с. 15].

Заметим, что когда говорится о среднем выигрыше или риске, то подразумевается многократное повторение акта принятия решений. Условность предположения заключается в том, что реально требуемого количества повторений чаще всего может и не быть.

Покажем, что критерии и эквивалентны в том смысле, что оптимальные значения для них обеспечивает одна и та же стратегия Аi, игрока 1, т. е. значения критериев отличаются на постоянную величину, поэтому принятое решение не зависит от стратегии Аi.

Например, для игры, задаваемой матрицей, А (3.1) или матрицей R (3.2), при условии, что р1 = р2 = р3 = р4 = ¼, А1 — лучшая стратегия игрока 1 по критерию (3.3), поскольку [1, с. 13].

(3).

На практике целесообразно отдавать предпочтение матрице выигрышей (3.1) или матрице рисков (3.2) в зависимости от того, какая из них определяется с большей достоверностью. Это особенно важно учитывать при экспертных оценках элементов матриц, А и R.

Создателем теории статистических игр считается А. Вальд. Он показал, что в теории принятия решений статистические игры являются основным подходом, если решение принимается в условиях частичной неопределенности [26, c. 78].

Статистические модели представляют собой игру двух лиц (человека и природы) с использованием человеком дополнительной статистической информации о состояниях природы.

Она существенно отличается от антагонистической игры двух лиц с нулевой суммой, где выигрыш одного равен проигрышу другого. [19, с. 297].

В статистической игре природа не является разумным игроком, который стремится выбрать для себя оптимальные стратегии. Этот игрок не заинтересован в выигрыше. Другое дело — человек, в данном случае статистик. Он имеет целью выиграть игру с воображаемым противником, т. е. с природой.

Игрок-природа не выбирает оптимальной стратегии, но статистик должен стремиться к определению распределения вероятностей состояния природы. Следовательно, основными отличиями статистической игры от стратегической являются:

• * отсутствие стремления к выигрышу у игрока-природы, т. е. отсутствие антагонистического противника;
• * возможность второго игрока — статистика провести статистический эксперимент для получения дополнительной информации о стратегиях природы.

Так, например, статистик, работающий в фирме «Одежда», может изучить многолетние данные о погодных условиях в местностях, где одежда будет продаваться, и в зависимости от наиболее вероятного состояния погоды выработать рекомендации, куда и какое количество партий изделий отправлять, где выгоднее и на каком уровне провести сезонное снижение цен и т. д.

Таким образом, теория статистических решений является теорией проведения статистических наблюдений, обработки этих наблюдений и их использования.

В теории статистических решений основные правила могут быть детерминированными и рандомизированными. [25, с. 5].

В статистических играх используются понятия: риск (функция риска), потери (функция потерь), решение (функция решения), функции распределения при определенных условиях.

Необходимо пояснить понятие рандомизации. Это статистическая процедура, в которой решение принимается случайным образом. Математическая энциклопедия это определяет более подробно: «Статистическая процедура принятия решения, в которой по наблюденной реализации х случайной величины Х решение принимается с помощью розыгрыша по вероятностному закону, называется рандомизацией».

Введем условные обозначения:

В или — множество состояний природы;

В. или j — отдельное состояние природы, j ;

А — множество действий (решений) статистика;

а — отдельное решение статистика, a А;

L - функция потерь. Множества и А предполагаются численно определенными, поэтому представляется возможным установить распределение вероятностей. Если принятое статистиком решение a А и состояние природы, то функция потерь запишется L(; a);

D - совокупность всех нерандомизированных (чистых) функций решения;

d() — функция решения; - случайный вектор. Характеристикой функции решения является функция потерь. Статистик может перед принятием одного из возможных решений провести эксперимент, который заключается в наблюдении случайной переменной х. В итоге представляется возможным получить распределение этой случайной переменной в зависимости от состояния природы [16, c. 178].

F (x|) - функция условного распределения случайной переменной х. Предполагается, что для каждого состояния природы известно значение функции F (x|);

п — объем выборки;

x — множество всех выборок объема п. После получения результата эксперимента х статистик использует некоторую функцию решения и принимает одно из решений, а А, когда результат эксперимента — вектор :