Приведение обеих частей уравнения к одному основанию

Пример 1. Решить уравнение: .

Решение. Заметим, что основания степеней, стоящих в левой и правой части уравнения есть степени двойки, поэтому, учитывая свойства степеней, имеем уравнение, тогда на основании теоремы получаем уравнение: .

Ответ:

Пример 2. Решить уравнение: .

Решение. Учтем, что, , тогда первоначальное уравнение примет вид: .

Ответ:

Логарифмирование обеих частей уравнения (если они строго положительные) по одинаковому основанию.

Пример 3. Решить уравнение: .

Решение. Первый прием здесь применить нельзя, так как числа 3 и 5 невозможно представить в виде степени с одинаковым основанием. Учитывая, что и, при любом значении переменной, прологарифмируем обе части уравнения по основанию 3, получим:, откуда используя свойства логарифма, имеем. Получили квадратное уравнение, решая которое получаем корни: .

Ответ:

Замечание. Логарифмировать можно, вообще говоря, по любому основанию, но обычно логарифмируют по одному из оснований степеней, входящих в уравнение.

Разложение левой части уравнения на множители и сведение уравнения к совокупности нескольких уравнений вида (1).

Пример 4. Решить уравнение: .

Решение. Вынесем в левой части уравнения выражение за скобки, получим: = .

Ответ:

Пример 5. Решить уравнение: .

Решение. Так как, ,, то первоначальное уравнение примет вид:. Сгруппируем первое, четвертое и второе, третье слагаемые, и вынесем общие множители за скобки:. Полученное уравнение сводится к совокупности уравнений:,. Решая эти уравнения логарифмированием обеих частей, находим корни первоначального уравнения: .

Ответ: .

Рассмотрим примеры нескольких видов уравнений, которые могут быть решены вторым методом — методом введения новых переменных.

Уравнение вида при помощи введения новой переменой, сводится к решению алгебраического уравнения .

Пример 6. Решить уравнение: .

Решение. Пусть. Тогда первоначальное уравнение примет вид:, откуда находим. Таким образом, данное уравнение равносильно совокупности двух уравнений и. Решая первое уравнение, получаем. Второе уравнение совокупности решений не имеет, так как при любом значении переменной, а .

Ответ: .

Пример 7. Решить уравнение: .

Решение. Учитывая, что и, получим уравнение. Введем новую переменную, получим:. Преобразуя это дробно-рациональное уравнение, придем к следующему уравнению:. Последнее уравнение распадается на совокупности двух уравнений, решая которые получаем:,. Теперь задача сводится к решению совокупности уравнений:; ;. Из первого уравнения находим. Логарифмируя обе части второго уравнения по основанию 2, находим. Третье уравнение решений не имеет, так как, в то время как при любом значении переменной.

Пример 8. Решить уравнение: .

Решение. Так как, то имеем:. Разделим обе части уравнения на, получим:. Введем новую переменную, придем к квадратному уравнению, решая которое, получим,. Таким образом, решение первоначального уравнения сводится к решению совокупности двух показательных уравнений:; , решая которые получим:. Ответ: .