Линзы. 
Оптика

Посмотрим на рис. 11, а и мысленно отрежем нижнюю и верхнюю части призмы, не подходя близко к точкам преломления M и N (рис. 11, б). Для данного луча ничего не изменится, только теперь усеченная призма имеет два основания — большее и меньшее (а не верхнее и нижнее — это несущественно). Дважды преломляясь на гранях усеченной призмы, луч оба раза отклоняется в сторону большего основания (если призма сделана из материала, оптически более плотного, чем окружающая среда).

Сконструируем систему призм, как показано на рис. 12, и направим на нее параллельный пучок лучей. Не входя в подробности преломления, мы знаем его результат. Лучи, пройдя через призмы, отклоняются в сторону больших оснований, а так как такие основания расположены ближе к оси пучка, параллельные лучи соберутся в какое-то пятно около оси. Не надо думать, что они соберутся в точку, но сам факт сближения лучей должен быть понятен. Такая собирательная система помимо сложности изготовления и использования имеет принципиальный недостаток — много лучей проходит между призмами, не преломляясь. Можно заполнить промежутки, одновременно упростив конструкцию, если взять кусок стекла и отшлифовать его по сферическим поверхностям. Такие сферические стекла или линзы широко применяются в оптике. Сферическое стекло — отшлифованная стеклянная пластина, ограниченная сферическими или плоскими поверхностями. Середина такой линзы практически представляет собой плоскопараллельную пластинку. Лучи, идущие под углом, отличным от нуля, в такой пластинке смещаются. Но это смещение будет пренебрежимо малым, если ограничиться параксиальными лучами и сделать линзу достаточно тонкой. Тогда любой луч (из выбранных параксиальных) пройдет через точку O (рис. 13), практически не отклоняясь. Точка, через которую лучи проходят, не отклоняясь, называется оптическим центром линзы.

Все прямые, проходящие через оптический центр, — оптические оси. Одна из оптических осей, проходящих и через центр сферической поверхности, называется главной (ограничимся случаем центрированных систем, в которых центры кривизны всех поверхностей лежат на одной прямой). Остальные оптические оси — побочные.

Параллельный пучок лучей (естественно, параллельный и одной из оптических осей, рис.13) после преломления в данной линзе собирается приблизительно в одной точке, называемой действительным фокусом. Такие линзы называются собирающими. Как мы видели, собирающими будут выпуклые линзы (у которых середина толще краев), если они сделаны из материала, оптически более плотного, чем окружающая среда. Параллельный пучок лучей после преломления в линзе может рассеиваться (рис.14), тогда в одной точке, называемой мнимым фокусом, соберутся продолжения этих лучей. Такие линзы называются рассеивающими. Сделанные из материала, оптически более плотного, чем окружающая среда, они вогнуты (середина тоньше краев). Если линзы сделаны из материала оптически менее плотного, чем окружающая среда (например, пустотелые линзы в воде), собирающими будут вогнутые, а рассеивающими — выпуклые. Все фокусы, расположенные по одну сторону линзы, лежат в одной плоскости, перпендикулярной главной оптической оси и проходящей через главный фокус. Она называется фокальной плоскостью.

Выпуклые линзы бывают (рис. 15): двояковыпуклые (а), плосковыпуклые (б), вогнуто-выпуклые (в). Схематически тонкие собирающие линзы изображены на рис. 15, г.

Вогнутые линзы бывают (рис. 16): двояковогнутые (а), плосковогнутые (б), выпукло-вогнутые (в). Схематическое изображение рассеивающих тонких линз приведено на рис. 16, г. Обычно путают названия линз вогнуто-выпуклой и выпукло-вогнутой. Чтобы этого избежать, надо хорошо себе представить, что линза, изображенная на рис. 15, в, выпуклая (середина толще краев), а изображенная на рис. 16, в — вогнутая (середина тоньше краев). Первое же слово в названии обозначает одну из ограничивающих поверхностей, а не выпуклость или вогнутые линзы.

Изображение точки S в линзе будет точка пересечения всех преломленных лучей или их продолжений. В первом случае изображение действительное, во втором — мнимое. Как всегда, чтобы найти точку пересечения всех лучей, достаточно построить любые два. Мы можем это сделать, пользуясь вторым законом преломления. Для этого надо измерить угол падения произвольного луча, сосчитать по формуле (2) угол преломления, построить преломленный луч, который под каким-то углом упадет на другую грань линзы. Измерив этот угол падения, надо вычислить по формуле (2) новый угол преломления и построить выходящий луч. Как видите, работа достаточно трудоемкая, поэтому обычно ее избегают. По известным свойствам линз можно построить три луча без всяких вычислений. Луч, падающий параллельно какой-либо оптической оси, после двойного преломления пройдет через действительный фокус или его продолжения пройдет через мнимый фокус. По закону обратимости луч, падающий по направлению на соответствующий фокус, после двойного преломления выйдет параллельно определенной оптической оси. Наконец, через оптический центр линзы луч пройдет, не отклоняясь.

На рис. 17 построено изображения точки S в собирающей линзе, на рис. 18 — в рассеивающей. При таких построениях изображают главную оптическую ось и на ней показывают фокусные расстояния F (расстояния от главных фокусов или от фокальных плоскостей до оптического центра линзы) и двойные фокусные расстояния (для собирающих линз). Затем ищут точку пересечения преломленных лучей (или их продолжений), используя любые два из вышеперечисленных.

Обычно вызывает затруднение построение изображения точки, расположенной на главной оптической оси. Для такого построения нужно взять любой луч, который будет параллелен какой-то побочной оптической оси (пунктир на рис. 19). После двойного преломления он пройдет через побочный фокус, который лежит в точке пересечения этой побочной оси и фокальной плоскости. В качестве второго луча удобно использовать луч, идущий без преломления вдоль главной оптической оси.

На рис. 20 изображены две собирающие линзы. Вторая «лучше» собирает лучи, ближе их сводит, она «сильнее». Оптической силой линзы называется величина, обратная фокусному расстоянию:

. (6).

Выражается оптическая сила линзы в диоптриях (дптр).

Одна диоптрия — оптическая сила такой линзы, фокусное расстояние которой 1 м.

У собирающих линз положительная оптическая сила, у рассеивающих — отрицательная.

Построение изображения предмета в собирающей линзе сводится к построению его крайних точек. В качестве предмета выберем стрелку АВ (рис. 21). Изображение точки, А построено, как на рис. 17, точка В1 может быть найдена, как на рис 19. Введем обозначение (аналогичные введенным при рассмотрении зеркал): расстояние от предмета до линзы |BO| = d; расстояние от предмета до линзы изображения |BO1| = f, фокусное расстояние |OF| = F. Из подобия треугольников А1В1О и АВО (по равным острым — вертикальным — углам прямоугольные треугольники подобна) |A1B1|/|AB = f/d. ИЗ подобия треугольников A1B1 °F и DOF (по тому же признаку подобия) A1B1|/|AB = (f — F)/F. Следовательно,.

или fF = df — dF.

Разделив уравнение почленно на dFf и перенеся отрицательный член в другую сторону равенства, получим.

. (7).

Мы вывели формулу линзы, аналогичную формуле зеркала.

В случае рассеивающей линзы (рис. 22) «работает» ближний мнимы фокус. Обратите внимание на то, сто точка А1 является тоской пересечения продолжения преломленных лучей, а не точкой пересечения преломленного луча FD и падающего луча AO.

Для доказательства рассмотрите луч, падающий из точки, А по направлению на дальний фокус. После двойного преломления он выйдет из линзы параллельно главной оптической оси, так что его продолжение пройдет через точку А1. Изображение точки В может быть построено аналогично рис. 19. ИЗ подобия соответствующих треугольников |A1B1|/|AB| = f/d; |A1B1|/|AB| = (F — f)/F; fF = dF — - df или.

.

Эту формулу рассеивающей линзы можно получить из (8). Для этого условимся считать положительными величины d (от предмета до линзы), f (от линзы до изображения) и F (от линзы до фокуса), если они направлены в сторону падающих лучей. Тогда в формуле (8) для собирающей линзы все члены положительны, для рассеивающей — расстояние от предмета до линзы положительно, d> 0, а расстояния от линзы до изображения и до фокуса отрицательны (f < 0, F < 0). Если перейти к абсолютным значениям расстояний, то получим.

или.

— в соответствии с выделенной формулой.

Линейным увеличением линзы называется число, показывающее, во сколько раз линейные размеры изображения больше линейных размеров предмета. Из подобия рассмотренных треугольников имеем.

K = |A1B1|/|AB| = f/d (8).

Можно провести исследования формулы линзы, аналогичное исследованию формулы зеркала.

Как изменится изображение предмета, если его половина линзы разбилась? Изображение станет менее интенсивным, но ни его форма, ни расположение не изменятся. Аналогично изображение предмета в любом кусочке линзы или зеркала.