Расчет параметров четырехполюсника

Введение

В различных областях электротехники особенно часто применяются аппараты и устройства с двумя парами выводов, при помощи которых они соединяются с другими участками электронной цепи, т. е. четырёхполюсники.

На практике четырёхполюсники и цепи, которые целесообразно представлять состоящими из нескольких четырёхполюсников, применяются, прежде всего, для передачи и преобразования электрических сигналов, несущих информацию. Тракт передачи информации, или канал связи, как правило, состоит из ряда четырёхполюсников, включённых между генератором (передатчиком) сигналов и приёмником сигналов. В тракт передачи обычно входят: линия связи генератора и приёмника, находящихся часто на значительных расстояниях один от другого; усилители, в которых увеличивается мощность; аттенюаторы (ослабители) для снижения уровня сигналов; фильтры для разделения сигналов; корректирующие контуры, включаемые для устранения искажений сигналов; трансформаторы, при помощи которых изменяются сопротивления отдельных участков тракта передачи информации, и устраняется гальваническая связь между этими участками.

Таким образом, теория четырёхполюсников даёт возможность единым методом анализировать системы, самые различные по структуре и принципу действия. Кроме того, сложная цепь расчленяется на более простые части, характеристики которых дают полное представление о режиме работы всей цепи.

1. Основные уравнения четырёхполюсника четырехполюсник электрический расчет Четырехполюсником называют электрическую схему, имеющую два входных и два выходных режима. Трансформатор, линию передачи энергий, мостовую схему и т. п. можно рассматривать как четырехполюсник.

Рисунок 1 — положительные направления для токов и напряжений в активном четырехполюснике Принято изображать четырёхполюсник в виде прямоугольника с выходящими из него концами (полюсами) mn и pq (рисунок 1). Если четырёхполюсник содержит источники электрической энергии, то в прямоугольнике ставят букву, А (активный); если буква, А отсутствует, то это значит, что четырёхполюсник пассивный. Входной ток обозначают, входное напряжение; ток и напряжение на выходе — и .

Четырёхполюсник является передаточным звеном между источником питания и нагрузкой. К входным зажимам mn, как правило, присоединяется источник питания; к выходным зажимам pq — нагрузка.

Предполагается, что нагрузка четырёхполюсника и напряжение на входе при работе четырёхполюсника в качестве связующего звена могут изменяться, но схема внутренних соединений четырёхполюсника и сопротивления в ней остаются неизменными.

Для любого пассивного линейного четырёхполюсника напряжение и ток на входе и связаны с напряжением и током на выходе и двумя основными уравнениями:

(1)

В этих уравнениях комплексные коэффициенты A, B, C, D зависят от схемы внутренних соединений четырёхполюсника, от значений сопротивлений схемы и от частоты. Для каждого четырёхполюсника их можно определить расчетным или опытным путём. Коэффициенты связаны соотношением:

AD — BC = 1

Форма записи уравнений (1) называют формой А.

Помимо А-формы для расчёта токов и напряжений в четырёхполюснике используются и другие формы записи уравнений. К ним относятся:

Y-форма:

Z-форма:

H-форма:

G-форма:

B-форма:

Обратим внимание на попарную инверсию Yи Z-форм, Аи В-форм, Ни G-форм.

Исторически сложилось так, что для А-формы (её считают основной) положительные направления для токов и напряжений соответствуют рисунку 1, а для Y-, Z-, H-, G-форм — рисунок 2, а, В-форме — рисунок 2, б.

Рисунок 2 — положительные и отрицательные направления токов и напряжений в четырехполюсниках Четырёхполюсник называют симметричным, если при замене первичных зажимов вторичными токи источника и приёмника не изменяются. Уравнения симметричного четырёхполюсника должны остаться неизменными при взаимной первичных и вторичных зажимов. Поэтому A = D и разметка первичных и вторичных зажимов для симметричного четырёхполюсника не обязательна. Все четырёхполюсники, не удовлетворяющие этому условию, называют несимметричными.

Комплексные коэффициенты при всех формах записи уравнений зависят от величин сопротивлений или проводимостей ветвей четырехполюсника, схемы четырехполюсника, а также от частоты источника питания. Соотношения между коэффициентами четырехполюсника при различной форме записи уравнений даны в таблице 1. В этой таблице определители матриц Z, Y, H и A находятся по формулам:

Таблица 1

2. Определение коэффициентов четырёхполюсника Комплексные коэффициенты несимметричного пассивного четырёхполюсника определяют опытным путем или расчётом, причём в последнем случае величины сопротивлений или проводимостей ветвей, составляющих четырёхполюсники, и схема их соединений должны быть известны. Из выражений для коэффициентов А, В, С, D следует, что их значения получаются различного сочетания трёх постоянных величин: Z11 (входного сопротивления со стороны зажимов mn при разомкнутых зажимах pq); Z22 (входного сопротивления со стороны зажимов pq при разомкнутых зажимах mn) и Z12 = Z21 (взаимного сопротивления). Таким образом, для экспериментального определения этих коэффициентов достаточно иметь данные опытов, которые в той или форме определяют комплексные величины Z11, Z22 и Z12 = Z21 или другие комплексные величины, через которые искомые коэффициенты могут быть выражены.

Если одновременно можно измерить как первичные (и), так и вторичные (и) комплексные величины, то для определения коэффициентов А, В, С и D достаточно иметь данных только двух опытов. Проще всего значения этих коэффициентов вычисляются по данным опытов при (режим холостого хода) или (режим короткого замыкания).

При режиме х. х. первичные напряжение и ток определяются из уравнений

и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при х.х.

При режиме к.з. на вторичных зажимах и, откуда, .

Входное сопротивление со стороны первичных зажимов при к.з. вторичных Следовательно, измерив величины и фазы, и при х.х., а также, и при к.з., можно определить все коэффициенты четырёхполюсника.

3. Различные формы записи уравнений четырёхполюсника. Соединение четырёхполюсника Ту или иную форму записи уравнений применяют, исходя из соображений удобства. Так, в теории синтеза цепей используют обычно Yили Z-форму записи. Параметры транзисторов для малых переменных составляющих дают в Y-, Hили Z-форме, так как в этих формах их удобнее определить опытным путём.

При нахождении связи между входными и выходными величинами различным образом соединённых четырёхполюсников (при определении коэффициентов эквивалентного четырёхполюсника) используют Z-, H-, Gи А-формы.

Рисунок 3 — виды соединения четырехполюсников При последовательном соединении четырёхполюсников, а и б (рис. 3, а) применяют Z-форму, при параллельном соединении (рис. 3, б) — Y-форму, при последовательно-параллельном (рис. 3, в) — Н-форму, при параллельно-последовательном (рис. 3, г) — G-форму, при каскадном соединении (рис. 3, д) — А-форму.

Форму записи уравнений выбирают, исходя из удобства получения матрицы составного четырёхполюсника. Так, Z-матрица последовательно соединённых четырёхполюсников равна сумме Z-матриц этих четырёхполюсников, так как напряжение на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равно сумме напряжений на входе (выходе) составляющих его четырёхполюсников, а токи соответственно на входе (выходе) у последовательно соединённых четырёхполюсников одинаковы.

Y-матрица параллельно соединённых четырёхполюсников равна сумме их Y-матриц, так как ток на входе (выходе) эквивалентного четырёхполюсника равен сумме токов на входе (выходе) параллельно соединённых четырёхполюсников, а напряжения на входе (выходе) у них одинаковы.

Аналогично, и в отношении Н-матрицы при параллельно-последовательных соединениях четырёхполюсников. При каскадном соединении ток и напряжение на выходе первого четырёхполюсника равны входному току и напряжению второго четырёхполюсника, поэтому А-матрица двух каскадно соединённых четырёхполюсников, а и б равна произведению А-матриц этих четырёхполюсников:

(1)

При параллельном, последовательном, параллельно-последовательном и последовательно-параллельном соединениях необходимо соблюдать условие регулярности соединения четырёхполюсников — через оба первичных зажима каждого четырёхполюсника должны течь равные по значению и противоположные по направлению токи; то же и по отношению и к вторичным зажимам.

При регулярном соединении матрица каждого четырёхполюсника должна оставаться такой же, какой она было до соединения четырёхполюсников. Пример нарушения условия регулярности при последовательном соединении показан на рисунке 4, а. Так соединять четырёхполюсники 1 и 2 нельзя, поскольку входные зажимы второго четырёхполюсника оказались накоротко соединёнными с его выходными зажимами.

Регулярное соединение тех же четырёхполюсников показано на рисунке 4, б — перекрещены обе пары концов второго четырёхполюсника (при перекрещивании обеих пар концов все элементы любой матрицы остаются неизменными).

Рисунок 4 — регулярные соединения четырехполюсников

4. Применение четырёхполюсников Четырёхполюсники широко применяются в электронике. С их помощью можно преобразовывать ток, напряжение, сдвиг фаз между ними. Между тем в качестве четырёхполюсников можно рассматривать такие приборы как трансформаторы, транзисторы и для них рассчитывать параметры различных форм, чтобы облегчить расчёты схем.

5. Моделирование Определить A-параметры трансформатора на рис. 5, а также рассчитать Z-параметры, если R1 = 10 Ом; Х1 = 60 Ом; R2 = 8 Ом; Х2 = 40 Ом; ХМ = 30 Ом.

Рисунок 5 — трансформатор Решение:

Основные уравнения для A-параметров:

(1)

Определим эти параметры по второму закону Кирхгофа:

Упростим выражение, заменив, получим:

где проведём аналогичную замену, т. е.

Отсюда Получаем следующие коэффициенты:

, ,

Теперь запишем уравнения для Z-параметров:

(2)

Подставим найденные значения в уравнения (2):

(3)

Ответ:

Рассчитать Y-параметры четырёхполюсника на рис. 6. Сопротивления в Омах указаны на схеме. [3]

Рисунок 6 — четырехполюсник Решение:

Уравнения для Y-параметров:

(1)

Для начала мы преобразуем П-схему четырёхполюсника в эквивалентную ей звезду:

Рисунок 7 — П-схема эквивалентная схеме на рис. 6

Найдем сопротивления эквивалентной цепи:

Для решения задачи воспользуемся режимом короткого замыкания:

Рисунок 8 — режим короткого замыкания Следовательно, из уравнений (1) получим:

Из схемы видно, что напряжение можно найти по второму закону Кирхгофа:

(2)

Ток найдём по первому закону Кирхгофа:

Из этого уравнения выразим ток :

(3)

Подставим (3) в (2):

Найдем коэффициент :

Аналогично находим остальные коэффициенты уравнения (1):

Чтобы найти коэффициент произведем режим к.з. в обратную сторону, тогда

Ответ:

Промоделируем данную схему в программе Electronics Workbench.

Проведем опыт короткого замыкания:

Рисунок 9 — модель Чтобы убедиться в правильности схемы, рассчитаем ток .

Рисунок 10 — направление токов

Исходные данные:

Рассчитаем полное сопротивление цепи:

Подставим численные значения:

Ток получился приблизительно равный току, который мы получили при моделировании данной схемы.

Заключение

Таким образом, в ходе проведения курсового исследования мы рассмотрели теорию четырёхполюсников, определяли формы записи и постоянные коэффициенты четырёхполюсника, сделали моделирование и проверили расчетным путем его достоверность. Также были решены задачи по нахождению постоянных коэффициентов для различных схем.

1. Бессонов Л. А. Теоретические основы электротехники. Теория четырёхполюсников/ Л. А. Бессонов.- 6-е изд., перераб. и доп. Учебник для студентов энергетических и электротехнических вузов. М.:Высшая школа, 1973. — 752 с.

2. Ионкин П. А. Теоретические основы электротехники. Т. I. Основы теории электрических цепей: теория четырёхполюсников/ П. А. Ионкин, А.И.

3. Даревский, Е. С. Кухаркин. Учебник для электротехн. вузов. — 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1976. — 544 с.

4. Бессонов Л. А. Сборник задач по теоретическим основам электротехники: Учеб. пособие/ Л. А. Бессонов, И. Г. Демидова, М. Е. Заруди.- 2-е изд., перераб. и доп. М.:Высшая школа, 1980. — 472 с.

5. Галас В. П. Моделирование и анализ электрических схем в среде EWB: Практикум для студентов / В. П. Галас. Владим. Гос. ун-т.; Владимир, 2003. -52 с.