Технология численного интегрирования определенного интеграла средствами Excel

При решении задач научного и инженерно-технического характера математическими методами часто возникает необходимость проинтегрировать какую-либо функцию. Из курса матемтического анализа известно, что если функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b] и известна ее первообразная F (x), то определенный интеграл от этой функции в пределах от a до b можеть быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница:

(1).

где F (x) =f (x).

Формула Ньютона-Лейбница играет важную роль в математическом анализе, устанавливая связь задачи определенного интегрирования с задачей отыскания первообразной (неопределенного интегрирования). Она позволяет вычислять интегралы от элементарных функции, первообразные которых тоже являются элементарными функциями.

Однако существует много функции, первообразные которых не выражаются через элементарные функции, т. е. есть функции, которые невозможно интегрировать аналитиечески или данная задача является слишком сложной. Следовательно, вычисление определенного интеграла по формуле (1) может быть затруднительным или практически невыполнимым. Например, по теории Дебая мольная теплоемкость металлов С_V зависит от температуры Т и (- температур Дебая, которая является характеристическим свойством каждого металла) и вычисляется по формуле:

(2).

Эта формула содержит интеграл, который невозможно вычислить аналитическими методами, т. е. первообразная подинтегральной функции не является элементарной функцией.

Отметим также, что формула Ньютона-Лейбница не позволяет вычислять интегралы от функций, которые задаются графическим или таблицей.

Все это позволяет сделaть вывод, что формула Ньютона-Лейбница не дает общего, универсального метода нахождения определенного интеграла от произвольной функции f (x) по ее значениям на отрезке [а, b], она не является алгоритмом решения рассматриваемой задачи.

Общим способом интегрирования любых функций является численное интегрирование. Поэтому важное значение имеют приближенные и в первую очередь численные методы вычисления определенных интегралов. Численные методы (алгоритмы) позволяют подсчитывать интегралы непосредственно по значениям подинтегральной функцы f (x) и не зависят от способа ее задания.

Численное интегрирование основано на том, что определенный интеграл:

(3).

численно равен площади, ограниченной осью абсцисс, прямыми х=а, х=b и под-интегральной кривой, т. е. площадью криволинейной трапеции АВСD (рис. 39).

Рис. 39. Криволинейная трапеция, ограниченная графиком функции f (x), осью Ох и двумя вертикальными прямыми х=а и х=b

12. Метод трапеции Простейший метод интегрирования функций, называемый методом трапеций, заключается в замене интеграла (3) площадями трапеций (рис. 41). С погрешностью можно считать определенный интеграл равным сумме площадей трапеций, основанием которых служит отрезок h= (b-а)/n, а боковыми сторонами ординаты у₀, у₁, …, у_n. Где у_i = f (x_i), i=0,1,2,…, n; х_i = a + ih; h-шаг интегрирования.

Рис. 40. Разбиение площади криволинейной трапеции на целый ряд элементарных, легковычисляемых площадей трапеции

Рассмотрим одну из элементарных трапеций (рис. 40). Площадь, ограниченная кривой у = f (x) между х_i и х_i+1, равна.

(4).

Если h мало, то эту площадь можно с малой погрешностью приравнять к площади трапеции А₁В₁С₁D₁ которая равна.

(5).

(6).

Таких трапеций у нас n, поэтому.

(7).

Подставив (6) в (7), окончательно получим.

(8).

или.

(9).

Формула (8) или (9) называется формулой трапеций.

При вычислении определенного интеграла по методу трапеций возникают ошибки ограничения и округления. Ошибки ограничения при вычислении интеграла (3) по формуле (9), равны сумме площадей между кривой и хордами. (рис. 41) и возникают из-за того, что кривую у=f (x) заменили хордой В₁С₁.

13. Метод Симпсона Один из наиболее широко применяемых методов численного интегрирования является метод Симпсона (парабол). Аналогично методу трапеций, по методу Симпсона определенный интеграл (3) заменяется суммой по формуле:

(10).

или в компактном виде:

(11).

где n должно быть всегда четным натуральным числом; y_i = f (x_i); х_i=a+hi; h=(b-а)/n; i=0,1,2,…, n.

Пример. Средствами Excel вычислить значение определенного интеграла используя формулы трапеций и Симпсона, пологая, что n = 20.

Решение. Алгоритм решения поставленной задачи средствами Excel состоит из следующих шагов:

В ячейки А1, В1, и С1 соответственно вводим значения, а (нижний предел интеграла), b (верхний предел интеграла) и n (количество точек разбиения интервала [a, b], т. е. число интервалов).

В ячейку D1 вводим формулу (шаг интегрирование):

= (В1-А1)/С1.

Для наглядности в ячейки А2, В2,С2,D2 и Е2 соответственно вводим записи: «Номер шага интегрирования m» (m=n+1), «Значение аргумента х», «Значение подинтегральной функции f (x)», «Метод трапеций» и «Метод Симпсона».

В ячейки А3 и В3 соответственно вводим первоначальные значения m (m=0) и аргумента х (х₀ =а=1).

В ячейку С3 вводим формулу (вид подинтегральной функции): = 1/В3^(1/3).

В ячейки D3 и Е3 вводим первоначальные значения суммы (т.е. S=0).

В ячейки А4, В4,С4,D4 и Е4 соответственно вводим формулы: =А3+1, = В3+D$ 1, = В4^(1/3), = D3+(D3+D4)*D$½ (метод трапеций), = ЕСЛИ (или (А3=0; А3=20); D3+С3*D$ 1/3; D3+С3*(3-(-1)^A3)*D$ 1/3) (метод Симпсона) и одновременно скопируем их соответственно в диапазон ячеек: А5: А23, В5: В23, С5: C23, D5: D23, Е5: Е24.

Все выше указанные процедуры формально можно представить в виде таблицы (рис. 42):

Рис. 42. Формальное представление алгоритма вычисление определенного интеграла методом трапеций и Симпсона

Результаты вычисление значение данного определенного интеграла представлены на рис. 43.

Рис. 43. Результаты вычисление значение определенного интеграла из примера

В столбцах D и Е накапливаются результаты интегрирования. В ячейках D23 и Е24 получается соответственно приближенное значение данного интеграла по методу трапеций и Симпсона.

С целью проверки результатов можно вычислить определенный интеграл вручную:

Видим, что результат, полученный методом Симпсона, весьма близок к точному.