Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова
Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0). Получим частотную передаточную функцию разомкнутой системы W (jw), для чего в выражение для передаточной функции разомкнутой системы подставляем p=jw. Для данной системы это условие выполняется, АФЧХ разомкнутой… Читать ещё >
Исследование системы на устойчивость по критерию Михайлова (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Для оценки устойчивости по критерию Михайлова необходимо построить кривую, которую описывает конец вектора D (jw) на комплексной плоскости при изменении частоты w от 0 до бесконечности, называемую годографом Михайлова. Вектор D (jw) получаем из характеристического полинома замкнутой системы (8).
(10).
(11).
Используя ЭВМ, построим годограф Михайлова и проанализируем его.
Рисунок 3 — Годограф Михайлова.
Для устойчивости системы необходимо, чтобы годограф Михайлова обошёл в положительном направлении (против часовой стрелки) последовательно n-квадрантов, нигде не обращаясь в нуль. В нашем случае годограф из первой четверти попадает во вторую, затем в третью и четвёртую, то есть он обходит четыре квадранта, а значит, система устойчивая.
Исследование системы на устойчивость по критерию Найквиста
Получим частотную передаточную функцию разомкнутой системы W (jw), для чего в выражение для передаточной функции разомкнутой системы подставляем p=jw.
(12).
Преобразуя выражение (12) получим.
(13).
где U1 и V1 — действительная и мнимая части частотной передаточной функции W (jw), равные.
(14)(9).
(15) (10).
(16).
Таблица 1 — Координаты АФЧХ.
w. | u1(w). | u2(w). | v1(w). | v2(w). | U (w). | V (w). | |
0,1. | 3,61. | — 0,55 498. | 0,99 942. | — 1,9 996 485. | — 36,9 909. | ||
0,3. | 3,61. | — 0,499 362. | 0,298 434. | — 1,9 689 463. | — 11,767 018. | ||
0,6. | 3,61. | — 0,1 995 797. | 0,587 472. | — 1,8 716 003. | — 5,5 091 419. | ||
0,9. | 3,61. | — 0,4 484 346. | 0,857 718. | — 1,7 281 109. | — 3,3 053 465. | ||
1,2. | 3,61. | — 0,7 956 749. | 1,99 776. | — 1,5 588 719. | — 2,1 546 613. | ||
1,5. | 3,61. | — 1,2 401 438. | 1,30 425. | — 1,3 821 812. | — 1,4 536 298. | ||
1,8. | 3,61. | — 1,7 803 541. | 1,461 744. | — 1,2 112 037. | — 0,9 944 481. | ||
2,1. | 3,61. | — 2,4 144 882. | 1,562 862. | — 1,536 745. | — 0,6 820 277. | ||
2,4. | 3,61. | — 3,1 403 981. | 1,598 208. | — 0,9 130 558. | — 0,4 646 713. | ||
2,7. | 3,61. | — 3,955 605. | 1,558 386. | — 0,7 900 103. | — 0,3 112 396. | ||
3,61. | — 4,8573. | 1,434. | — 0,6 836 275. | — 0,2 018 244. | |||
3,3. | 3,61. | — 5,8 423 434. | 1,215 654. | — 0,5 922 604. | — 0,1 232 354. | ||
3,6. | 3,61. | — 6,9 072 653. | 0,893 952. | — 0,5 140 281. | — 0,665 265. | ||
3,9. | 3,61. | — 8,48 265. | 0,459 498. | — 0,4 470 866. | — 0,255 254. | ||
4,2. | 3,61. | — 9,2 612 117. | — 0,97 104. | — 0,389 755. | 0,408 659. | ||
4,5. | 3,61. | — 10,541 644. | — 0,78 525. | — 0,3 405 616. | 0,2 536 853. | ||
4,8. | 3,61. | — 11,884 769. | — 1,614 336. | — 0,2 982 473. | 0,4 051 163. | ||
5,1. | 3,61. | — 13,285 466. | — 2,593 758. | — 0,2 617 487. | 0,5 110 193. | ||
5,4. | 3,61. | — 14,73 828. | — 3,732 912. | — 0,2 301 745. | 0,582 986. | ||
5,7. | 3,61. | — 16,23 743. | — 5,41 194. | — 0,2 027 799. | 0,6 295 655. | ||
3,61. | — 17,7768. | — 6,528. | — 0,1 789 431. | 0,6 571 151. | |||
6,3. | 3,61. | — 19,349 947. | — 8,202 726. | — 0,1 581 447. | 0,6 703 984. | ||
6,6. | 3,61. | — 20,950 095. | — 10,74 768. | — 0,1 399 497. | 0,6 730 091. | ||
6,9. | 3,61. | — 22,570 139. | — 12,153 522. | — 0,123 993. | 0,667 675. | ||
7,2. | 3,61. | — 24,202 644. | — 14,448 384. | — 0,1 099 672. | 0,6 564 771. | ||
7,5. | 3,61. | — 25,839 844. | — 16,96 875. | — 0,976 123. | 0,6 410 096. | ||
7,8. | 3,61. | — 27,47 364. | — 19,724 016. | — 0,86 708. | 0,6 224 982. | ||
8,1. | 3,61. | — 29,95 607. | — 22,723 578. | — 0,770 665. | 0,6 018 871. | ||
8,4. | 3,61. | — 30,696 987. | — 25,976 832. | — 0,685 277. | 0,5 799 043. | ||
8,7. | 3,61. | — 32,268 691. | — 29,493 174. | — 0,609 539. | 0,557 111. | ||
3,61. | — 33,8013. | — 33,282. | — 0,54 227. | 0,5 339 391. | |||
9,3. | 3,61. | — 35,285 066. | — 37,352 706. | — 0,482 449. | 0,5 107 196. | ||
9,6. | 3,61. | — 36,709 908. | — 41,714 688. | — 0,429 191. | 0,4 877 042. | ||
9,9. | 3,61. | — 38,65 418. | — 46,377 342. | — 0,381 729. | 0,4 650 831. | ||
10,2. | 3,61. | — 39,340 853. | — 51,350 064. | — 0,339 394. | 0,4 429 975. | ||
3,61. | — 42,2653. | — 66,198. | — 0,247 349. | 0,3 874 096. | |||
11,8. | 3,61. | — 44,318 978. | — 83,495 856. | — 0,179 047. | 0,33 732. | ||
12,6. | 3,61. | — 45,263 746. | — 103,42 181. | — 0,12 821. | 0,2 929 434. | ||
13,4. | 3,61. | — 44,844 751. | — 126,15 403. | — 0,9 031. | 0,2 540 549. | ||
14,2. | 3,61. | — 42,790 428. | — 151,8707. | — 0,62 048. | 0,2 202 198. | ||
3,61. | — 38,8125. | — 180,75. | — 0,40 996. | 0,1 909 202. | |||
15,8. | 3,61. | — 32,60 598. | — 212,9701. | — 0,25 357. | 0,1 656 251. | ||
16,6. | 3,61. | — 23,849 167. | — 248,70 917. | — 0,13 792. | 0,1 438 269. | ||
17,4. | 3,61. | — 12,20 365. | — 288,14 539. | — 0,5 297. | 0,1 250 597. | ||
18,2. | 3,61. | 2,68 569 392. | — 331,45 694. | 8,8243E-05. | 0,1 089 059. | ||
3,61. | 21,1907. | — 378,822. | 0,5 314. | 0,949 982. | |||
20,6. | 3,61. | 70,6 185 963. | — 486,42 533. | 0,10 552. | 0,72 683. | ||
21,4. | 3,61. | 102,368 715. | — 547,1 995. | 0,119 322. | 0,63 761. | ||
3,61. | 182,1347. | — 682,686. | 0,131 703. | 0,493 656. | |||
24,6. | 3,61. | 286,707 864. | — 838,84 229. | 0,131 705. | 0,38 534. | ||
25,4. | 3,61. | 349,529 624. | — 925,4 971. | 0,129 033. | 0,341 494. | ||
26,2. | 3,61. | 420,65 585. | — 1016,9142. | 0,125 266. | 0,303 251. | ||
3,61. | 498,8547. | — 1114,614. | 0,120 765. | 0,26 983. | |||
27,8. | 3,61. | 586,452 632. | — 1218,3272. | 0,115 799. | 0,240 567. | ||
29,4. | 3,61. | 790,381 156. | — 1444,5067. | 0,105 236. | 0,192 331. | ||
30,2. | 3,61. | 907,906 635. | — 1567,3293. | 0,999. | 0,172 459. | ||
Рисунок 4 — График АФЧХ разомкнутой системы
Согласно условию устойчивости по критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не охватывала точку с координатами (-1,j0).
Для данной системы это условие выполняется, АФЧХ разомкнутой системы не охватывает точку с координатами (-1,j0), следовательно, система устойчива.
АФЧХ данной системы пересекает вещественную ось в точке с координатами (-0.4;0) на частоте w=4.17 Гц.