Практическое занятие 6. Кривые второго порядка

Вопросы для повторения

• 1. Уравнение эллипса, каноническое уравнение эллипса.
• 2. Понятия фокусов эллипса; фокальных радиусов; директрисы и эксцентриситета эллипса.
• 3. Каноническое уравнение гиперболы.
• 4. Фокусы и фокальные радиусы гиперболы, асимптота гиперболы.
• 5. Каноническое уравнение параболы.
• 6. Приведение уравнения второй степени к каноническому виду.

Задача 52.

Написать уравнение окружности с центром и радиусом, равным 5. Определить принадлежность точек, , этой окружности.

Ответ:

; Точки и принадлежат окружности, а точка не принадлежит.

Задача 53.

Найти координаты центра и радиус окружности .

Решение:

Задача 54.

Написать уравнение касательных к окружности, проходящих через начало координат.

Решение:

Уравнение касательной, т.к. прямая проходит через начало координат.

Касательная к окружности имеет с ней одну общую точку. Чтобы найти эту точку, необходимо решить систему уравнений:

Подставляя второе уравнение в первое, получаем:

.

Это уравнение имеет два равных корня, когда дискриминант равен нулю, т. е.

откуда, .

Эллипс.

Эллипсом называется линия, состоящая из всех точек плоскости, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных точек и есть величина постоянная (большая, чем расстояние между точками и). Координаты точек и, соответственно и .

Каноническое уравнение эллипса: .

Число называется эксцентриситетом эллипса.

Фокальными радиусами точки эллипса называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и. Их длины и задаются формулами и. Прямые называются директрисами эллипса. Директриса называется левой, а _ правой.

Задача 55.

Дано уравнение эллипса .

Найти:

• 1. длины его полуосей;
• 2. координаты фокусов;
• 3. эксцентриситет эллипса;
• 4. уравнения директрис и расстояния между ними;
• 5. точки эллипса, расстояние от которых до левого фокуса равно 12.

Решение:

Запишем уравнение эллипса в каноническом виде: .

Отсюда. Используя соотношение, находим. Следовательно, .

По формуле найдем .

Уравнения директрис имеют вид, расстояние между ними .

По формуле находим абсциссу точек, расстояние от которых до точки равно 12:

. Подставляя значение x в уравнение эллипса, найдем ординаты этих точек: .

Таким образом, условию задачи удовлетворяет точка A (7;0).

Задача 56.

Составить уравнение эллипса, проходящего через точки .

Решение:

Уравнение эллипса ищем в виде .

Так как эллипс проходит через точки, то их координаты удовлетворяют уравнению эллипса:. Умножая второе равенство на (-4) и складывая с первым, находим .

Подставляя найденное значение в первое уравнение, найдем. Таким образом, искомое уравнение .

Задача 57.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

; .

Гипербола.

Гиперболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, модуль разности расстояний от которых до двух данных точек и есть величина постоянная (не равная нулю и меньшая, чем расстояние между точками и).

Точки и называются фокусами гиперболы. Пусть по-прежнему расстояние между фокусами равно. Модуль расстояний от точек гиперболы до фокусов и обозначим через. По условию, .

.

где _ координаты произвольной точки гиперболы,.

.

Уравнение называется каноническим уравнением гиперболы.

У гиперболы две асимптоты .

Эксцентриситетом гиперболы называется число. Для любой гиперболы .

Фокальными радиусами точки гиперболы называются отрезки прямых, соединяющие эту точку с фокусами и. Их длины и задаются формулами:

• · Для правой ветви ,
• · Для левой ветви .

Прямые называются директрисами гиперболы. Как и в случае эллипса, точки гиперболы характеризуются соотношением .

Задача 58.

Найти расстояние между фокусами и эксцентриситет гиперболы .

Ответ:

Задача 59.

Написать каноническое уравнение гиперболы, если (). Определить эксцентриситет гиперболы.

Ответ: .

Задача 60.

Написать каноническое уравнение гиперболы, симметричной относительно осей координат, если она проходит через точку, а эксцентриситет равен .

Ответ:

Задача 61.

Найти уравнения гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах эллипса .

Ответ:

Задача 62.

Определить геометрическое место точек, расстояния от которых до прямой вдвое меньше, чем до точки .

Ответ:

Задача 63.

Составить уравнение гиперболы симметричной относительно системы координат, если она проходит через точки, .

Ответ:

Задача 64.

Составить уравнение гиперболы, если ее асимптоты заданы уравнением, и гипербола проходит через точку .

Ответ:

Задача 65.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

.

Парабола.

Параболой называется линия, состоящая из всех точек плоскости, равноудаленных от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы).

Для вывода канонического уравнения параболы ось проводят через фокус перпендикулярно директрисе в направлении от директрисы к фокусу; начало координат берут в середине отрезка между фокусом и точкой пересечения оси с директрисой. Если обозначить через расстояние фокуса от директрисы, то и уравнение директрисы будет иметь вид .

В выбранной системе координат уравнение параболы имеет вид:. Это уравнение называется каноническим уравнением параболы.

Задача 66.

Составить каноническое уравнение параболы, вершина которой лежит в начале координат и которая проходит через точку F (2;-4); ox— ось симметрии.

Ответ: .

Задача 67.

Составить уравнение геометрического места точек, одинаково удаленных от точки F (2;0) и от прямой .

Ответ: .

Задача 68.

Составить каноническое уравнение параболы, если ее фокус находится в точке пересечения прямой с осью 0х.

Ответ: .

Задача 69.

На параболе найти точку, фокальный радиус которой равен 4.

Ответ:, .

Задача 70.

Написать уравнение окружности, проходящей через начало координат и точки пересечения параболы с осями координат.

Ответ:

Задача 71.

Написать уравнение параболы, если она проходит через точки пересечения прямой и окружности и симметрична относительно оси .

Ответ: .

Задача 72.

Как расположены на плоскости точки, координаты которых удовлетворяют условиям:

; .

Задача 73.

Какое геометрическое место точек определяется уравнением:

1.

Ответ: Точка с координатами (-1, 3/2);

2.

Ответ: ;

3.

Ответ: ;

4.

Ответ: ;

5.

Ответ: .