Расчет системы автоматического регулирования (САР)

• Введение
• 1. Определение передаточных функций звеньев САР
• 2. Структурные преобразования звеньев системы автоматического регулирования. Определение передаточных функций САР
• 3. Оценка устойчивости САР
• 4. Исследование показателей качества САР
• 5. Построение частотных характеристик разомкнутой системы
• 6. Оценка качества САР по ВЧХ
• 7. Расчет переходной характеристики САР
• 8. Определение показателей качества САР по переходной характеристике
• 9. Определение параметров регулятора методом ЛАЧХ
• 10. Оценка качества процесса регулирования скорректированной системы
• Заключение
• Список использованных источников

Центральной проблемой автоматизации является автоматическое управление. Необходимость автоматического управления возникает в тех случаях, когда требуется заранее с заданной точностью управлять тем или иным физическим параметром (регулируемой величиной) объекта управления при действии на объект внешних возмущающих воздействий.

Теория автоматического управления — это наука о принципах построения и методах расчета систем автоматического управления различными динамическими процессами. Ее выводы применимы для любых автоматических систем регулирования независимо от назначения и их физических принципов устройства.

Создание современных систем автоматического управления и их эксплуатация становятся невозможными без глубокого знания теории автоматического управления. Поэтому большое значение приобретает изучение курса «Теория автоматического управления».

В данной курсовой работе производится исследование системы автоматического регулирования. Работа включает: проведение структурных преобразований схемы системы, получение выражений для основных передаточных функций как разомкнутой системы, так и замкнутой, построение частотных и переходных характеристик, а также вычисление основных показателей качества переходного процесса.

1. Определение передаточных функций звеньев САР Структурная схема системы автоматического регулирования представлена на рисунке 1.

Рисунок 1 — Структурная схема САР Передаточные функции звеньев системы автоматического регулирования имеют следующий вид:

Структурная схема САР с учетом передаточных функций звеньев представлена на рисунке 2.

Рисунок 2 — Структурная схема САР с учетом передаточных функций

Исходные данные САР представлены в таблице 1.

Таблица 1 — Исходные данные САР

Подставив численные значения параметров и исключив те параметры, которые имеют нулевые значения, получим передаточные функции звеньев системы:

; .

Структурная схема САР с учетом вычисленных передаточных функций звеньев представлена на рисунке 3.

Рисунок 3 — Структурная схема САР с учетом передаточных функций

2. Структурные преобразования звеньев системы автоматического регулирования. Определение передаточных функций САР.

Для нахождения передаточных функций, в структурной схеме, представленной на рисунке 1, необходимо произвести преобразования к виду, приведенному на рисунке 4.

Рисунок 4 — Расчетная структурная схема

Так как звенья с передаточными функциями W2(p), W3(p) и W4(p) соединены последовательной связью, то пользуясь правилами преобразования, их эквивалентные передаточные функции будут равны:

Преобразованная схема представлена на рисунке 5.

Рисунок 5 — Преобразованная структурная схема

Так как звенья с передаточными функциями WH (p) и соединены последовательно, то пользуясь правилами преобразования, их эквивалентные передаточные функции будут равны:

.

Результат всех структурных преобразований представлен на рисунке 6.

Рисунок 6 — Структурная схема, после преобразования Итак, после преобразований получаем:

;

;

.

Подставив

Получим:

;

;

.

С учетом исходных данных, представленных в таблице 1, получим:

;

;

.

Данные передаточные функции будут использоваться для дальнейшего определения передаточных функций САР в 3 разделе.

Передаточная функция — это отношение изображения по Лапласу выходной переменной к изображению входной при нулевых начальных условиях и остальных воздействиях равных нулю.

;

;

.

Передаточная функция разомкнутой САР:

.

Передаточная функция замкнутой САР по задающему воздействию:

.

Передаточная функция замкнутой САР по ошибке воспроизведения задания:

.

Передаточная функция замкнутой САР по возмущающему воздействию:

.

Передаточная функция замкнутой САР по ошибке от возмущения:

.

3. Оценка устойчивости САР

Оценка устойчивости системы производится по критерию Ляпунова. Критерий Ляпунова является необходимым условием устойчивости. Характеристическое уравнение системы с помощью теоремы Виета может быть записано в виде:

.

где p1, p2, …, pn — корни этого уравнения. Если система устойчива, значит все корни левые, то есть вещественные части всех корней отрицательны, что можно записать как ai = -|ai|< 0.

Для доказательства устойчивости системы по критерию Ляпунова необходимо найти корни характеристического полинома. Найдем корни характеристического полинома с помощью моделирующей программы MatLAB.

Характеристический полином:

Корни полинома:

p1= -12.93,

p2= -49.36 771 290 548 703 +64.3 121 866 393 1692i

p3= -49.36 771 290 548 703 -64.3 121 866 393 1692i.

Однако, исходя из найденных корней, нельзя считать систему устойчивой, так как критерий Ляпунова является необходимым, но не достаточным. Для определения устойчивости системы воспользуемся критериями устойчивости Гурвица, Михайлова.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: система автоматического управления n-го порядка будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения больше 0, а также главный определитель Гурвица больше 0 и дополнительные определители Гурвица больше 0.

Найдём главный и дополнительные определители. Для этого воспользуемся моделирующей программой Mathcad:

.

Главный определитель:

Дополнительный определитель:

Так как главный и дополнительные определители Гурвица имеют положительный знак, то система устойчива по критерию Гурвица. Проверим устойчивость системы по критерию Михайлова. Запишем характеристическое уравнение замкнутой системы:

.

Подставим в этот полином чисто мнимое значение p=jщ. При этом получим функцию Михайлова, как характеристический полином, состоящий из вещественной и мнимой части:

;

;

.

Задаваясь различными значениями щ в пределах от нуля до бесконечности, построим годограф Михайлова (рисунок 7а).

а) б) Рисунок 7

а) Годограф Михайлова в моделирующей программе Mathcad

б) Годограф Михайлова увеличенный вблизи начала координат Так как годограф системы, имеющей третий порядок, при изменении щ от 0 до ?, начинается на вещественной положительной полуоси и при увеличении щ в положительном направлении последовательно проходит против часовой стрелки три квадранта, и при этом не обращается в 0, то можно сделать вывод, что замкнутая система устойчива.

4. Исследование показателей качества САР

Передаточная функция замкнутой САР имеет вид:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

.

Корни характеристического полинома:

p1=- 12.93, p2= -49.3678 -64.312i, p3= -49.3678 +64.312i.

На рисунке 8 представлено распределение корней характеристического уравнения на комплексной плоскости:

Рисунок 8 — Корни характеристического уравнения на комплексной плоскости

Степень устойчивости САР равна минимальному значению модуля вещественной части всех корней [2]:

.

Показатель колебательности САР можно определить как отношение модуля мнимой части корней, образующих максимальный угол между лучами, проведёнными через них из начала координат, к вещественной. Так как отсутствует комплексные корни, перерегулирование отсутствует:

.

Дадим приближенные оценки качества процесса регулирования по корням характеристического уравнения САР:

Время регулирования определим по формуле:

с.

Перерегулирование найдем по формуле:

.

5. Построение частотных характеристик разомкнутой системы

Если на вход объекта подавать периодический сигнал заданной амплитуды и частоты, то на выходе будет также периодический сигнал той же частоты, но в общем случае другой амплитуды со сдвигом по фазе. Взаимосвязь между параметрами периодических сигналов на входе и выходе объекта определяют частотные характеристики.

В данном разделе необходимо построить асимптотическим методом следующие частотные характеристики разомкнутой САР: ЛАЧХ, ЛФЧХ и АФЧХ.

Передаточная функция разомкнутой системы находится как при возмущающем воздействии равном нулю (F=0).

Передаточная функция разомкнутой системы имеет вид:

.

При помощи математического пакета MATLAB строим АФЧХ разомкнутой системы (рисунок 9):

Рисунок 9 — АФЧХ разомкнутой системы

Построим асимптотическую ЛАЧХ (логарифмическая амплитудная частотная характеристика).

ЛАЧХ — это построенная в логарифмическом масштабе АЧХ.

где .

Асимптотические ЛАЧХ можно построить непосредственно по виду передаточной функции по следующему правилу, состоящему из четырех пунктов [4]:

1) Частотная область разбивается на диапазоны, границы которых определяются сопрягающими частотами, соответствующими постоянным времени передаточной функции:

.

Число сопрягающих частот равняется числу постоянных времени в передаточной функции, а число частотных диапазонов на единицу больше.

2) Первая низкочастотная асимптота ЛАЧХ, которая проводится в крайнем левом низкочастотном диапазоне, имеет наклон (20v)дб/дек, в случае наличия интегрирующего звена, и проходит через точку с координатами: =1 с-1, L (1)=20lgk дб, где v — порядок типового динамического звена, в которое входит эта постоянная времени Тi.

3) На сопрягающих частотах ЛАЧХ претерпевает изломы.

3.1) Если сопрягающая частота соответствует постоянной времени Тi, находящейся в знаменателе передаточной функции, то ЛАЧХ делает излом вниз на (20v)дб/дек, где v — порядок типового динамического звена, в которое входит эта постоянная времени Тi.

3.2) Если сопрягающая частота соответствует постоянной времени Тi, находящейся в числителе передаточной функции, то ЛАЧХ делает излом вверх на +(20v) дб/дек, где v — порядок типового динамического звена, в которое входит эта постоянная времени Тi.

4) Вторая асимптота проводится до следующей сопрягающей частоты и так далее.

Построим ЛАЧХ системы.

Приведем передаточную функцию разомкнутой системы к виду:

.

Получим:

.

Т.е., ,, , .

Представим передаточную функцию, как комбинацию типовых звеньев:

.

Найдем сопрягающие частоты:

с-1; с-1; с-1; с-1

Строим ЛАЧХ.

Частотную область разбиваем на четыре диапазона.

Низкочастотный участок ЛАЧХ имеет наклон (20r)= (201)= 20дб/дек и проходит через точку с координатами: = 1 с-1, L (1)=20lgk=13,98 дб (точка А[1;13,98]).

На частоте с-1 ЛАЧХ делает излом вниз на (20v)= (201)= 20 дб/дек.

На частоте с-1 ЛАЧХ делает излом вниз на (20v) = (201) = 20дб/дек.

На частоте с-1 ЛАЧХ делает излом вверх на (20v) = (201) = 20 дб/дек.

На частоте с-1 ЛАЧХ делает излом вниз на (20v) = (201) = 20 дб/дек.

Вид полученной асимптотической ЛАЧХ приведен на рис. 10.

Рисунок 10 — Асимптотическая ЛАЧХ

Определим по графику частоту среза (точка пересечения ЛАЧХ с осью абсцисс):

с-1

Построим ЛФЧХ системы.

Для этого воспользуемся правилами построения асимптотической ЛФЧХ:

— Фазовые частотные характеристики при последовательном соединении звеньев складываются.

— Фазовая частотная характеристика интегрирующего звена представляется горизонтальной прямой, соответствующей значению фазы

— 90 градусов.

— Фазовая частотная характеристика апериодического звена плавно изменяется от 0 до ± 90 градусов (если сопрягающая частота соответствует постоянной времени Т, находящейся в числителе передаточной функции, то `+', в ином случае `-`), принимая на частоте сопряжения 1/T, значение ± 45 градусов.

— Фазовая частотная характеристика колебательного звена плавно изменяется от 0 до — 180 градусов, принимая на частоте сопряжения 1/T, значение — 90 градусов.

Итак:

Представим передаточную функцию, как комбинацию типовых звеньев:

.

Найдем сопрягающие частоты:

с-1; с-1; с-1; с-1

Строим ЛФЧХ.

Частотную область разбиваем на четыре диапазона.

Низкочастотный участок ЛФЧХ — прямая, соответствующая значению фазы -90 градусов.

На частоте с-1 ЛФЧХ делает излом вниз так, что на с-1 принимает значение на меньше имеющегося.

На частоте с-1 ЛФЧХ делает излом вниз так, что на с-1 принимает значение на меньше имеющегося.

На частоте с-1 ЛФЧХ делает излом вверх так, что на с-1 принимает значение на больше имеющегося.

На частоте с-1 ЛФЧХ делает излом вниз так, что на с-1 принимает значение на меньше имеющегося.

Вид полученной асимптотической ЛФЧХ приведен на рисунке 12.

Рисунок 12 — Асимптотическая ЛФЧХ

Определим запасы устойчивости по амплитуде и по фазе.

Рисунок 14 — определение запаса по фазе по графику ЛАЧХ и ЛФЧХ

С помощью частотных критериев определим запас устойчивости по фазе и амплитуде. Из графиков ЛАЧХ и ЛФЧХ следует, что запас по амплитуде равен бесконечности, т.к. график не пересекает отметку в 180 градусов. Запас устойчивости по фазе = 59 градусов.

6. Оценка качества САР по ВЧХ Для построения вещественной частотной характеристики замкнутой САР необходимо заменить p на jщ в передаточной функции замкнутой системы и найти действительную часть от частотной передаточной функции. Далее откладываем по оси абсцисс щ-угловую скорость, а по оси ординат — полученную действительную часть частотной передаточной функции.

Теперь заменим р на jw:

Выражаем вещественную и мнимую части:

Для этого умножим дробь на сопряженное выражение, тем самым избавимся от j в знаменатели. А затем выделим вещественную часть.

— ВЧХ замкнутой системы.

а) б) Рисунок 15 — ВЧХ замкнутой САР а) общий вид; б) вблизи ординаты Перерегулированием % называется отношение разности между максимальным и установившимся отклонениями регулируемой величины, к установившемуся отклонению.

Можно сказать, что процесс вызван возмущением, тогда перерегулирование у вычисляется следующим образом:

Время регулирования в данном случае будет находиться по следующему неравенству:

где — продолжительность положительности, и так как, то

7. Расчет переходной характеристики САР Рассчитаем переходную характеристику САР h (t) при воздействии на вход системы единичного ступенчатого сигнала g (t)=1(t).

Из условий курсового проекта известно, что изобразить переходную характеристику нужно в таком диапазоне времени, когда ее величина не будет отличаться от значения выходного сигнала в установившемся режиме более чем на 5%. Полученная характеристика представлена на рисунке 9.

Рисунок 16 — График переходной характеристики h (t)

Для проверки расчетов смоделируем систему автоматического управления (САУ) в Simulink. Полученная модель САР представлена на рисунке 10.

Рисунок 17 — Модель САР в Simulink

Двойной щелчок на иконке осциллографа (Scope) открывает окно, в котором можно наблюдать изменение выходных переменных во времени, которые представлены на рисунке 18.

Рисунок 18 — Показания осциллографа в Simulink

Сравнивая рисунок 16а и 18а можно сделать вывод, что построенная переходная характеристика в MATLAB и в Simulink схожи. Это говорит о правильности вычислений.

8. Определение показателей качества САР по переходной характеристике

Определим показатели качества САР по переходной характеристике.

Величина перерегулирования определяется по формуле:

;

;

;

.

где — максимальная амплитуда сигнала, — установившееся значение.

Время регулирования определяется как время вхождения в пятипроцентную трубку точности. Время регулирования находится по графику (Рисунок 16): с.

9. Определение параметров регулятора методом ЛАЧХ

Пусть надо обеспечить перерегулирование и время регулирования tрег = 0.5с.

Рисунок 19 — Номограмма для определения параметров регулирования Из номограммы, приведённой на рисунке 19, находим, .

Так как, то или получаем с-1.

Следовательно получаем, что может быть выбран в следующих пределах с-1.

Построим желаемую ЛАЧХ, а также ЛАЧХ корректирующего устройства.

Рисунок 20 — Графики ЛАЧХ, скорректированной ЛАЧХ и ЛАЧХ корректирующего устройства Выделим частоты сопряжения:

с-1, с-1, с-1, с-1, с-1, с-1.

По этим частотам составим передаточную функцию регулирующего звена:

10. Оценка качества процесса регулирования скорректированной системы Произведем повторное построение характеристики h (t) при использовании регулирующего звена:

При помощи моделирующей системы Mathcad найдем передаточную функцию замкнутой САР по задающему воздействию:

.

Получим:

.

С помощью MatLab найдем корни скорректированной системы:

.

Нанесём корни на комплексную плоскость.

Все корни являются левыми, то есть <0. Однако, исходя из этого, нельзя считать систему устойчивой, так как критерий Ляпунова является необходимым, но не достаточным. Для определения устойчивости системы воспользуемся критерием устойчивости Гурвица.

Критерий устойчивости Гурвица формулируется следующим образом: система автоматического управления n-го порядка будет устойчива, если все коэффициенты характеристического уравнения больше 0, а также главный определитель Гурвица больше 0 и дополнительные определители Гурвица больше 0.

Рисунок 21 — Корни характеристического уравнения САР

.

Главный определитель:

Дополнительные определители:

Так как главный и дополнительные определители Гурвица имеют положительный знак, то система устойчива по критерию Гурвица.

Степень устойчивости САР равна минимальному значению модуля вещественной части всех корней:

.

Показатель колебательности САР можно определить как отношение модуля мнимой части корней, образующих максимальный угол между лучами, проведёнными через них из начала координат, к вещественной:

.

Дадим приближенные оценки качества процесса регулирования по корням характеристического уравнения САР:

Время регулирования определим по формуле:

c.

Перерегулирование найдем по формуле:

.

Заключение

система автоматического регулирования

В данной курсовой работе был произведен расчет передаточных функций САР, построены логарифмические частотные характеристики, система САР была исследована на устойчивость, при этом в результате данного исследования было выявлено, что данная САР является устойчивой, значит, может быть успешно реализована. Были построены переходные характеристики системы, по которым мы оценивали основные показатели качества как нескорректированной, так и скорректированной системы.

Перерегулирование стало равно 19,6%, что удовлетворяет заданному условию. Однако в нескорректированной системе время регулирования было равно 0,07 секунд, а в скорректированной увеличилось, и стало равным с.

Список использованных источников

1) Бесекерский В. А., Попов Е. П. Теория систем автоматического регулирования Издание третье, исправленное. Издательство «Наука», главная редакция Физико-математической литературы, Москва, 1975.

2) Воронов А. А. И др., Основы теории автоматического регулирования и управления. Учеб. Пособие для вузов. М., «Высш. Школа», 1977.

3) Информационный портал Факультета Заочного и Дистанционного Обучения. Вологодского Государственного Технического Университета. http://www.zdo.vstu.edu.ru/tau2004.html.

4) Ивановский государственный энергетический университет Электромеханический факультет Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок. Методические указания «Математические основы теории автоматического управления» http://drive.ispu.ru/elib/lebedev.

5) Н. В. Клиначёв Учебно-методический комплекс «Теория систем автоматического регулирования» http://model.exponenta.ru/lectures/0050.htm.