Расчет характеристик САР

• Задание
• 1. Принципиальная схема САР. Функциональная схема САР
• 1.1 Принципиальная схема САР
• 1.2 Функциональная схема САР
• 2. Дифференциальные уравнения и передаточные функции всех элементов системы
• 2.1 Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре
• 2.2 Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре
• 2.3 Дифференциальное уравнение электромашинного усилителя с продольно-поперечным возбуждением
• 2.4 Дифференциальное уравнение тахогенератора
• 2.5 Дифференциальное уравнение усилителя постоянного тока (УПТ)
• 2.6 Структурная схема данной САР
• 3. Частотные характеристики
• 3.1 ЭДН
• 3.2 ЭМУ
• 3.3 ТГ
• 3.4 УПТ
• 4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой САР по задающему воздействию
• 5. Проверка устойчивости замкнутой системы
• 5.1 Критерий Гурвица
• 5.2 Критерий Михайлова
• 5.3 Критерий Найквиста
• 6. График переходного процесса системы. Показатели качества переходного процесса
• 6.1 График переходного процесса
• 6.2 Показатели качества переходного процесса
• Литература

Задание

1. Изобразить принципиальную схему САР для заданного варианта. Составить функциональную схему САР.

2. По заданным в варианте статическим характеристикам и значению рабочей точки определить передаточные коэффициенты всех элементов системы в абсолютных значениях. Выполнить статический расчёт САР, определив величину статической ошибки системы по задающему воздействию.

3. Составить дифференциальные уравнения и определить передаточные функции всех элементов системы, используя заданные параметры. Изобразить структурную схему САР.

4. По найденным в п. 3 передаточным функциям построить частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) всех элементов системы.

5. По найденным в разделе 1 передаточным функциям элементов системы определить передаточные функции разомкнутой и замкнутой САР по задающему воздействию.

6. Построить эквивалентные частотные характеристики (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) разомкнутой системы.

7. Проверить устойчивость замкнутой системы по критериям Гурвица, Михайлова и Найквиста.

8. Построить график переходного процесса системы. Определить показатели качества переходного процесса.

Решение.

Дано:

Система автоматический стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока. Объект регулирования — двигатель постоянного тока с регулированием частоты вращения изменением напряжения на якоре (ЭДН).

Рабочая точка: n = 1000 об/мин

Статическая ошибка: S = 4%

Параметры ЭМУ: (характеристика I)

Рис. 1. Статические характеристики ЭМУ

L_{y -} индуктивность цепи управления, Гн;

R_y — сопротивление цепи управления, Ом;

L_q — индуктивность поперечной цепи, Гн;

R_q — сопротивление поперечной цепи, Ом.

Параметры ЭДН:

замкнутая система переходный процесс

Рис. 2. Статическая характеристика ЭДН

f — коэффициент внутреннего демпфирования.

1. Принципиальная схема САР. Функциональная схема САР

1.1 Принципиальная схема САР

Рис. 3. Принципиальная схема САР стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока. Объект регулирования: ЭДН

1.2 Функциональная схема САР

Рис. 4. Функциональная схема САР стабилизации частоты вращения двигателя постоянного тока.

2. Дифференциальные уравнения и передаточные функции всех элементов системы

2.1 Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре

(определяется по статической характеристике)

(определяется по статической характеристике)

(определяется по статической характеристике)

Рассчитываем статическую ошибку:

S =, Кр. с= К*К*К=6,25 *0,001*31,250, 1953

S = 0,8366 = 83,66%

Полученная статическая ошибка не сходится с заданной, следовательно вводим в цепь дополнительный элемент — УПТ. Рассчитываем коэффициент передачи УПТ:

S = = 4%, = = 24

К===122,88

Конечная статическая ошибка:

S = = 4%, что соответствует заданным параметрам.

2.2 Дифференциальное уравнение двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре

Рис. 5. Принципиальная схема двигателя постоянного тока с независимым возбуждением при регулировании частоты вращения изменением напряжения на якоре.

Входная величина — U_я

Выходная величина — щ

Исходными физическими уравнениями являются уравнения электрического и механического равновесия.

Схема цепи якоря двигателя позволяет составить уравнение электрического равновесия:

(1)

где R_я — активное сопротивление цепи якоря;

L_я — индуктивность цепи якоря;

E_пр = 30С_еФ — противоЭДС якоря.

Для двигателей малой и средней мощности индуктивностью якоря можно пренебречь.

Полагая, что вращающий момент двигателя расходуется на преодоление динамического момента, обусловленного моментом инерции вращающихся масс и момента вязкого трения, получим уравнение моментов:

(2)

где С_m — электромеханическая постоянная; Ф — поток обмотки возбуждения; J — момент инерции всех вращающихся масс; - коэффициент вязкого трения.

Вывод дифференциального уравнения

Выразим из уравнения (2) ток якоря I_я и подставим его в уравнение (1), после преобразования получим уравнение:

(3)

где — коэффициент внутреннего демпфирования;

— коэффициент пропорциональности между частотой вращения и напряжением.

Окончательно дифференциальное уравнение можно представить в виде:

(4)

где — электромеханическая постоянная времени;

— передаточный коэффициент двигателя.

с.

Передаточная функция элемента

Если к уравнению (4) применим преобразование Лапласа (начальные условия нулевые), то уравнение (4) примет вид:

(5)

Определив отношение лапласова изображения выходной величины к лапласову изображению входной, получим выражение передаточной функции элемента:

(6)

ЭДН является апериодическим звеном первого порядка. Корень: P = 0,36.

2.3 Дифференциальное уравнение электромашинного усилителя с продольно-поперечным возбуждением

Рис. 6. Принципиальная схема электромашинного усилителя с продольно-поперечным возбуждением.

Входная величина — U_у

Выходная величина — U_вых

Эквивалентная схема:

Рис. 6. Эквивалентная схема электромашинного усилителя с продольно-поперечным возбуждением.

Если пренебречь ЭДС взаимоиндукции, которая наводится токами управляющей обмотки в продольной обмотке якоря и считать, что ЭМУ полностью скомпенсирован потоком компенсационной обмотки.

Данная схема позволяет составить уравнения электрического равновесия: для цепи обмотки управления:

(1)

для поперечной цепи якоря:

(2)

где R_y, R_d, L_y, L_{d -} активные сопротивления и индуктивности соответственно цепи управления и поперечной цепи.

Если ЭМУ работает в ненасыщенном режиме, то напряжение поперечной цепи U_д и напряжение на выходе U_вых можно определить так:

(3)

(4)

Вывод дифференциального уравнения

Решая совместно (1), (2), (3), и (4), получим следующее дифференциальное уравнение:

(5)

где - постоянная времени цепи управления ЭМУ,

— постоянная времени поперечной цепи ЭМУ,

— передаточный коэффициент ЭМУ.

==0,2 с

==0,15 с

Передаточная функция элемента

Если к уравнению (5) применим преобразование Лапласа (начальные условия нулевые), то уравнение примет вид:

Определив отношение Лапласа преобразования выходной величины к Лапласову преобразованию входной, получим выражение передаточной функции элемента:

Делаем вывод о том, что ЭМУ является колебательным звеном второго порядка. Корни Р₁ = - 6,67; Р₂ = - 4,997

2.4 Дифференциальное уравнение тахогенератора

Входная величина — щ

Выходная величина — Uу

Так как на вход тахогенератора подаётся щ, а на выходе изменяется Uу, это значит, что тахогенератор выполняет роль усилительного динамического звена и его дифференциальное уравнение будет иметь вид: Uу = К* щ

В преобразовании Лапласа Uу (р) = К* щ (р)

Найдем передаточную функцию данного элемента АСР:

W (p) = = K

K = 0,001W (р) тг = 0,001

2.5 Дифференциальное уравнение усилителя постоянного тока (УПТ)

УПТ — это усилительное звено и его передаточная характеристика как и у тахогенератора равен К.

Для УПТ данной АСР передаточная характеристика будет иметь вид:

W (p) = 122,88

2.6 Структурная схема данной САР

Рис. 7. Структурная схема САР.

3. Частотные характеристики

3.1 ЭДН

Рис. 8. АФЧХ ЭДН

Рис. 9. АЧХ ЭДН.

Рис. 10. ФЧХ ЭДН

Рис. 11. ЛАЧХ ЭДН

Рис. 12. ЛФЧХ ЭДН

3.2 ЭМУ

Рис. 13. АФЧХ ЭМУ

Рис. 14. АЧХ ЭМУ

Рис. 15. ФЧХ ЭМУ

Рис. 16. ЛАЧХ ЭМУ

Рис. 17. ЛФЧХ ЭМУ

3.3 ТГ

Рис. 18. АФЧХ ТГ

Рис. 19. АЧХ ТГ

Рис. 20. ФЧХ ТГ

Рис. 21. ЛАЧХ ТГ

Рис. 22. ЛФЧХ ТГ

3.4 УПТ

Рис. 23. АФЧХ УПТ

Рис. 24. АЧХ УПТ

Рис. 25. ФЧХ УПТ

Рис. 26. ЛАЧХ УПТ

Рис. 27. ЛФЧХ УПТ

4. Определение передаточных функций разомкнутой и замкнутой САР по задающему воздействию

Эквивалентная передаточная функция разомкнутой системы при последовательном соединении элементов находится по формуле:

где — передаточная функция i-го элемента системы;

k — количество элементов в системе.

Т.о. для данной САР получим:

Передаточная функция замкнутой системы находится по формуле:

где — передаточная функция разомкнутой системы.

Посчитаем передаточную функцию замкнутой системы для нашей САР:

6. Построение эквивалентных частотных характеристик (АФЧХ, АЧХ, ФЧХ, ЛАЧХ, ЛФЧХ) разомкнутой системы

Для построения частотных характеристик (АФЧХ, АЧХ и ФЧХ) системы в выражении передаточной функции разомкнутой системы производим замену оператора на значение, что даст аналитическую форму АФЧХ разомкнутой системы —, то есть:

Wpc (p) | p=j=Фрс (j)

Т.о. для нашей САР получим:

Затем путем алгебраических преобразований выделяют действительную и мнимую части амплитудно-фазочастотной функции:

Т.о. для нашей САР получим:

Построим АФЧХ:

Рис. 28. АФЧХ разомкнутой системы

Для построения АЧХ необходимо воспользоваться формулой:

Т.о.

Построим АЧХ:

Рис. 29. АЧХ разомкнутой системы

Для построения ФЧХ воспользуемся формулой:

Построим ФЧХ:

Рис. 30. ФЧХ разомкнутой системы

Строим ЛАЧХ:

Рис. 31. ЛАЧХ разомкнутой системы

Строим ЛФЧХ:

Рис. 32. ЛФЧХ разомкнутой системы

5. Проверка устойчивости замкнутой системы

5.1 Критерий Гурвица

Для проверки устойчивости системы по алгебраическому критерию Гурвица необходимо воспользоваться характеристическим уравнением системы.

Характеристическое уравнение системы имеет вид:

Образуем таблицу коэффициентов характеристического уравнения:

Условия устойчивости сводятся к тому, чтобы все коэффициенты и определители, составленные по схеме, приводимой ниже, были положительными.

Подсчитаем и проверим положительность определителей:

Следовательно, по критерию Гурвица система устойчива.

5.2 Критерий Михайлова

Проверим устойчивость системы по критерию Михайлова.

Заменяя в характеристическом уравнении на, получим:

Выделим в уравнении вещественную часть и мнимую. И получим аналитическое представление вектора Михайлова:

Строим годограф Михайлова:

Рис. 33. Годограф Михайлова

Из графика видно, что годограф Михайлова в положительном направлении описывает 3 квадранта. Так как порядок системы n=3, то можно сделать вывод, что система, по критерию Михайлова — устойчива.

5.3 Критерий Найквиста

Проверим устойчивость системы по критерию Найквиста.

Для этого воспользуемся АФЧХ разомкнутой системы:

Рис. 34. АФЧХ разомкнутой системы (критерий Найквиста)

По графику видно, что точка с координатами (-1; j0) графиком не охватывается. Следовательно, система по критерию Найквиста устойчива.

6. График переходного процесса системы. Показатели качества переходного процесса

6.1 График переходного процесса

Рис. 35. График переходного процесса

6.2 Показатели качества переходного процесса

— Время переходного процесса: =4,4с

— Перерегулирование:

— Колебательность:

Число колебаний 5

1. Кринецкий И. И. Судовая автоматика / И. И. Кринецкий. — М.: Пищевая промышленность, 1978. — 341 с.

2. Колосов С. П. Элементы автоматики / С. П. Колосов. — М.: Просвещение, 1970. — 265 с.

3. Зайцев Г. Ф. Теория автоматического управления и регулирования / Г. Ф. Зайцев. — Киев.: Выща школа, 1988. — 310 с.

4. Теория автоматического управления / под ред. Ю. М. Соломенцева. — М.: Высшая школа, 2000. — 387 с.