Об исследовании загрязнения воздушной среды мелкодисперсной пылью с использованием аппарата случайных функций

Об исследовании загрязнения воздушной среды мелкодисперсной пылью с использованием аппарата случайных функций

Исследования, проведенные в воздушной среде вблизи городских автомобильных дорог, показали, что в результате изменений параметров движения транспорта и метеорологических параметров в ряде случаев колебания дисперсного состава пыли значительно выше, чем погрешность методов измерений [1−3]. В данном случае разброс значений функции следует отнести к особенностям случайного процесса, который определяет фракционный состав пыли с учетом влияния различных факторов (интенсивность и скорость движения транспорта) и изменяющихся в определенных пределах параметров воздушной среды (влажность и скорость ветра и т. п.). Поэтому необходимо рассматривать функции, описывающие дисперсный состав пыли в воздушной среде городов как случайные.

В соответствии с этим рассмотрена некоторая случайная функция D (d_ч,), параметром которой принимается диаметр частицы d_ч, изменяющийся в интервале = d_min, d_max, а — это элементарное событие, т. е. условия, при которых происходит отбор пробы. В каждом конкретном случае измерений () D является уже не случайной, а детерминированной функцией параметра d_ч, которую можно назвать траекторией или реализацией случайной функции D (d_ч,)[4]. Случайную функцию можно рассматривать как совокупность её возможных реализаций.

Пусть D (d_ч,) — случайная функция, зависящая от размера частиц d_ч и — вектора, описывающего характеристики происходящего явления. Тогда определим дисперсный состав пыли, как случайную функцию D (d_ч,), d_ч, являющуюся отображением D: R, зависящую от размера частиц d_ч, где — пространство элементарных событий, выражающихся в конкретном проявлении экологических факторов. Тогда при любом фиксированном значении параметра d_ч, случайная функция D (d_ч,) является случайной величиной, называемой сечением случайной функции.

Случайная функция D (d_ч,) характеризуется рядом параметров, одним из которых, является вероятностный коридор, с помощью которого можно описать неопределенность параметров функции распределения фракционного состава [5]. Величина вероятностного коридора, в случае одиночной пробы фракционного состава пыли, определяется доверительным интервалом математического ожидания функции распределения, которая аппроксимирует экспериментальное распределение фракционных масс пыли.

Другой важнейшей характеристикой при исследовании пылевой обстановки в воздушной среде можем считать интегральную концентрацию С (d_ч) пыли в воздухе городской среды, которая соответствует массовой концентрации всех частиц с размерами d_ч и также может быть рассмотрена как случайная функция (рис. 1).

Рис. 1 — Функции интегральных концентраций

На рис. 2 представлена динамика изменения концентрации пыли разных фракций по месяцам и в течение суток.

Рис. 2 — Динамика изменения концентрации пыли по месяцам в воздухе города

Представим функцию С (d_ч) как произведение концентрации взвешенных частиц С₀, которая также может рассматриваться как случайная величина, и случайной функции прохода D (d_ч,).

. (1).

Важным частным случаем задачи исследования С (d_ч) является определение концентраций РМ₁₀ и РМ_{2, 5} как случайных величин (рис. 3, 4).

Такой подход позволяет не только получить характеристики дисперсного состава пыли в воздушной среде, но и определить ряд дополнительных показателей. Например, актуальной проблемой при оценке содержания пыли в воздушной среде является определение вероятности превышения величины фракционной концентрации некоторого возможного норматива [6].

Рис. 3 — Динамика изменения концентрации РМ₁₀ по месяцам

Рис. 4 — Динамика изменения концентрации РМ_{2, 5} по месяцам

Рассмотрим задачу в общем случае. Пусть С (t) — случайная функция, например, РМ₁₀, РМ_{2, 5}, С_м.р., С_с.с.. Если рассматривать С (t) как дифференцируемую случайную функцию, то необходимо определить вероятности следующих событий: в момент времени t ордината случайной функции должна быть не больше С_норм и в момент времени ордината случайной функции должна быть больше С_норм, т. е. .

Наибольший интерес на практике получила специальная теория стационарных случайных процессов, или, точнее, теория стационарных случайных функций (так как аргументом стационарной случайной функции в общем случае может быть и не время).

Для стационарной случайной функции С (t) корреляционная функция зависит не от обоих своих аргументов t₁ и t₂, а только от разности? t между ними, т. е. от длины интервала [7]:

(2).

где М — математическое ожидание, и — математические ожидания сечений, соответствующих фиксированным значениям аргументов t₁ и t₂.

Плотность распределения ординат случайной функции и плотность распределения скоростей не зависят от времени, где. Обозначим эти плотности соответственно: f© и .

Тогда среднее время пребывания стационарной случайной функции выше заданного уровня в течение времени Т, среднее число выходов за этот же промежуток времени и средняя длительность выхода определятся формулами 3−5 соответственно:

; (3).

; (4).

. (5).

Кроме того, можно определить среднее число выходов в единицу времени за фиксированный уровень С_норм:

. (6).

Очевидно для стационарного процесса.

(7).

т.е. не отличается от вероятности выброса в единицу времени.

Если рассматривать нормальный стационарный процесс, то можно получить простые расчетные формулы. В этом случае закон распределения случайной функции однозначно выражается через её математическое ожидание и её дисперсию, так как.

. (8).

Скорость изменения ординаты случайной функции и ординату случайной функции для того же момента времени можно считать некоррелированными случайными величинами, а для нормального случайного процесса, следовательно, и независимыми величинами [8]. Поэтому двумерная плотность вероятности f (C, v) распадается на произведение нормальных плотностей распределения для случайных функций С и V:

(9).

где дисперсия скорости изменения ординаты случайной функции определяется по формуле:

(10).

т.е. значению корреляционной функции скорости в нуле. Математическое ожидание V (t) вследствие стационарности случайного процесса равно нулю.

Однако нужно иметь ввиду, что для практических расчетов, необходимо проверять независимость, стационарность случайного процесса и имеет ли место для него нормальный закон.

При подстановке (9) в (7) получаем формулу для среднего числа выходов за уровень С_норм в единицу времени:

. (11).

Формулу (11) принято называть формулой Райса [9−11].

Аналогично, после подстановки (9) в (5) будем иметь среднюю длительность выхода за фиксированный уровень С_норм:

(12).

где Ф (t) — интегральная функция Лапласа,.

.

На практике по эмпирическим данным получают корреляционную функцию, которую можно аппроксимировать в случае стационарного процесса, например, дифференцируемыми функциями:

1); 2) ;

3); 4) .

дисперсный концентрация пыль фракционный.

• 1. Барикаева Н. С., Николенко Д. А., Исследование запыленности городской среды вблизи автомобильных дорог // Международный научный журнал «Альтернативная энергетика и экология». 2013. № 11 (133). С. 75−78.
• 2. Николенко Д. А., Соловьева Т. В., Анализ опыта мониторинга загрязнения мелкодисперсной пылью придорожных территорий в странах ЕС и России // Инженерный вестник Дона. 2015. № 3 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2015/3186
• 3. Анализ источников загрязнения атмосферного воздуха мелкодисперсной пылью / А. Б. Стреляева, Н. С. Барикаева, Е. А. Калюжина, Д. А. Николенко // Интернет-вестник ВолгГАСУ. Сер.: Политематическая. 2014. Вып. 3(34). Ст. 11. URL: vestnik.vgasu.ru/
• 4. Азаров В. Н., Тертишников И. В., Калюжина Е. А., Маринин Н. А. Об оценке концентрации мелкодисперсной пыли (РМ10 и РМ2, 5) в воздушной среде // Вестник ВолгГАСУ, сер. Строительство и архитектура. 2011. № 25 (44). С. 402−407.
• 5. Азаров В. Н., Кошкарев С. А., Николенко М. А., Бурханова Р. А. Исследование основных показателей пыли асбестоцемента в атмосферный воздух для оценки их влияния на качество жизни работающих // Инженерный вестник Дона. 2014. № 3. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n3y2014/2539.
• 6. Evaluation of the impact of dust suppressant application on ambient PM10 concentrations in London / B. Barratt, D. Carslaw, G. Fuller, D. Green, A. Tremper // King’s College London, Environmental Research Group Prepared for Transport for London under contractto URS Infrastructure & Environment Ltd. November 2012. 56 р.
• 7. Свешников А. А. Прикладные методы теории случайных функций. // Учеб. пособие. СПб.: Лань. 2011. 252 с.
• 8. Бирюкова Л. Г., Бобрик Г. И., Ермаков В. И. и др. Теория вероятностей и математическая статистика. // Учеб. пособие. М.: ИНФРА-М. 2012. 286 с.
• 9. Rice S.O. The distraction of the maxima of a random curve. Amer. J. Math. 61. 1939. рp. 409−416.
• 10. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise. Bell Syst. Tech. J., 23. 1944. рp. 282−332.
• 11. Rice S.O. Mathematical analysis of random noise. Bell Syst. Tech. J., 24. 1945. рp. 46−156.