Разработка компьютерной программы моделирования дисперсных систем

Оглавление Введение

1. Теоретическая часть

1.1 Законы распределения

1.2 Характеристики распределения порошков по размерам

1.3 Алгоритм метода Моте-Карло

1.4 Метод линейных итераций

1.5 Алгоритм метода вязкой суспензии

2. Практическая часть

2.1 Разработка программы

2.2 Первая вкладка

2.3 Вторая вкладка

Выводы

Введение

Дисперсные системы — это системы, состоящие из двух или более фаз, которые имеют четкую границу раздела и не вступают в химическое взаимодействие друг с другом.

1 фаза — называется дисперсной фазой, частицы.

2 фаза — среда, в которой размещены частицы первой фазы (непрерывная). Называется дисперсионной фазой.

Дисперсные системы могут иметь и более сложное строение, например, представлять собой двухфазное образование, каждая из фаз которого, будучи непрерывной, проникает в объем другой фазы. К таким системам относятся твердые тела, пронизанные разветвленной системой каналов-пор, заполненных газом или жидкостью, некоторые микрогетерогенные полимерные композиции и другие. Нередки случаи, когда дисперсионная среда «вырождается» до тончайших слоев (пленок), разделяющих частицы дисперсной фазы.

Для исследования дисперсных систем удобно использовать компьютерное моделирование, оно позволяет рассчитать параметры таких систем, а также визуально отобразить полученные данные.

1. Теоретическая часть

1.1 Законы распределения Гамма распределение — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если параметр принимает целое значение, то такое гамма-распределение также называется распределением Эрланга.

Пусть распределение случайной величины задаётся плотностью вероятности, имеющей вид:

где — гамма-функция Эйлера.

Тогда говорят, что случайная величина имеет гамма-распределение с параметрами и. Пишут.

Математическое ожидание ;

Дисперсия ;

Экспоненциальное или показательное распределение — абсолютно непрерывное распределение, моделирующее время между двумя последовательными свершениями одного и того же события Случайная величина имеет экспоненциальное распределение с параметром, если её плотность имеет вид[2]

.

Математическое ожидание ;

Дисперсия ;

Усеченное нормальное распределение.

Нормальное распределение, также называемое распределением Гаусса — распределение вероятностей, которое в одномерном случае задается функцией плотности вероятности, совпадающей с функцией Гаусса:

Математическое ожидание — .

Дисперсия — .

Нормальное распределение зависит от двух параметров — смещения и масштаба, то есть является с математической точки зрения не одним распределением, а целым их семейством. Значения параметров соответствуют значениям среднего (математического ожидания) и разброса (стандартного отклонения).

Стандартным нормальным распределением называется нормальное распределение с математическим ожиданием 0 и стандартным отклонением 1. 2]

Логнормальное распределение в теории вероятностей — это двухпараметрическое семейство абсолютно непрерывных распределений. Если случайная величина имеет логнормальное распределение, то её логарифм имеет нормальное распределение.

Математическое ожидание ;

Дисперсия ;

1.2 Характеристики распределения порошков по размерам Допустим, в порошке содержится N частиц, их диаметры D_i. i=1,2,…, N.

— плотность распределения частиц по размерам.

f (D) — математическая плотность распределения частиц по размерам.

f (D)dD — относительное число частиц, которые имеют размер [D, D+dD].

— относительное число частиц, у которых величина меньше, чем заданное число D[1].

1.3 Алгоритм метода Монте-Карло

1) С помощью генератора случайных чисел задается случайное число R?[0,1].

2) Записывается уравнение F (D)=R, где F (D) — заданная функция распределения по размерам. Уравнение решается, находится значение D.

3) Пункты 1 и 2 повторяются для каждой частицы. В результате получается набор N частиц, имеющих заданное распределение f (D).

В случаях, когда F (D) имеет простое аналитическое выражение (экспоненциальная функция), то уравнение F (D)=R может быть решено аналитически и используется зависимость D®.

1.4 Метод линейных итераций Метод трапеций — метод численного интегрирования функции одной переменной, заключающийся в замене на каждом элементарном отрезке подынтегральной функции на многочлен первой степени, то есть линейную функцию.

1. Генерируется число R и в массиве находится ячейка F=R. Если такой ячейки нет, то находятся значения двух ячеек, между которыми находится R. С помощью метода линейной интерполяции находится значение D равное соответствующему R[1].

1.5 Алгоритм метода вязкой суспензии Для заданной объемной концентрации частиц ц и заданной плотности распределения f (D) происходит генерирование частиц. Определяется суммарный объем частиц:

V= ц*Lx*Ly.

В цикле i=1,., N методом Монте-Карло генерируются частицы.

Для вновь генерированной степени определяем их объем и объем уже существующих частиц .

Если, процесс продолжается; если, процесс прекращается. В результате имеем набор частиц, имеющих заданный закон распределения по размерам и заданную объемную концентрацию ц.

1. Все связанные частицы размещаются в заданном объеме LxLyLz с помощью метода Монте-Карло, т. е. для каждой созданной частицы создаются координаты:

Эти координаты частиц используются в качестве начальных условий для метода вязкой суспензии.

2. Решается система дифференциальных уравнений:

— некий параметр, меняющийся от 0 до 1.

Организуется цикл и вычисляется для i=1,., N.

После этого во втором цикле происходит корректировка:

3. Расчет заканчивается, когда в системе не останется ни одной пары пересекающихся частиц, то есть, когда все

Существуют граничные условия: границы расчетной области — твердая непроницаемая поверхность. Это означает, что частицы не могут выходить за пределы области, а могут только соприкасаться с ней.

2. Практическая часть

2.1 Разработка программы В качестве языка программирования был выбран язык C#. C# — объектно-ориентированный язык программирования. C# относится к семье языков с C-подобным синтаксисом, из них его синтаксис наиболее близок к C++ и Java. Язык имеет статическую типизацию, поддерживает полиморфизм, перегрузку операторов (в том числе операторов явного и неявного приведения типа), делегаты, атрибуты, события, свойства, обобщённые типы и методы, итераторы.

Лучшей средой разработки для данного языка является Microsoft Visual Studio 2013. Visual Studio включает в себя редактор исходного кода с поддержкой технологии IntelliSense и возможностью простейшего рефакторинга кода. Встроенный отладчик может работать как отладчик уровня исходного кода, так и как отладчик машинного уровня. Остальные встраиваемые инструменты включают в себя редактор форм для упрощения создания графического интерфейса приложения, веб-редактор, дизайнер классов и дизайнер схемы базы данных. Visual Studio позволяет создавать и подключать сторонние дополнения (плагины) для расширения функциональности практически на каждом уровне, включая добавление поддержки систем контроля версий новых наборов инструментов (например, для редактирования и визуального проектирования кода на предметно-ориентированных языках программирования или инструментов для прочих аспектов процесса разработки программного обеспечения (например, клиент Team Explorer для работы с Team Foundation Server).исходного кода (как например, Subversion и Visual SourceSafe).

Программа состоит из 3 вкладок: «Состав порошковой смеси», «Распределение частиц» и «Справка».

Рисунок 1. Вкладки приложения

дисперсный программа итерация суспензия Каждая вкладка представляет собой окно с полями для ввода и отображением информации — результатов работы программы.

Рисунок 2. Поле первой вкладки «Состав порошковой смеси»

Начальные условия:

Ш N — число частиц;

Ш M — число отрезков;

Ш L — число отрезков для метода трапеций;

Ш Dmax — максимальный размер частиц (мат.ожидание);

Ш Dcp — средний размер частиц;

Ш Dis — дисперсия;

Поле для выбора вида распределения:

Ш Логнормальное распределение;

Ш Экспоненциальное распределение;

Ш Гамма распределение;

Ш Усечено нормальное распределение;

Рисунок 3. Поле второй вкладки «Распределение частиц»

Размер области:

Ш Lx, Ly — размеры области для генерации частиц;

Ш — концентрация частиц;

Ш, а — скорость размещения;

Значения параметров:

Ш Dcp — средний размер частиц (мат.ожидание);

Ш — дисперсия;

Ш Dmax — максимальный размер частиц;

Ш — шаг по времени;

Ш — число отрезков;

Ш L — число отрезков для метода трапеций;

Ш Количество созданных частиц;

Ш Количество тактов;

Рисунок 4. Поле третьей вкладки «Справка»

2.2 Первая вкладка Первая вкладка — «Состав порошковой смеси». Здесь содержатся поля для ввода начальных условий, выбор распределения, по которому будет производиться расчет, график данного распределения и данные, полученные в результате генерации. Выбор распределения осуществляется с помощью компонента ComboBox, в котором содержатся названия распределений. Для каждого распределения необходимо задать начальные условия.

Рисунок 5. Первая вкладка «Состав порошковой смеси»

После ввода начальных условий необходимо нажать кнопку «Построить гистограмму» для построения графика и вывода на экран.

Программа создает L диаметров D, высчитывает соответствующие им значения F. Значения F нормируются, т. е. каждое значение делится на последний элемент массива. Далее с помощью генератора случайных чисел генерируется число от 0 до 1 и сравнивается со значениями F. Берутся значения двух ближайших точек к данному случайному числу, и с помощью метода линейной интерполяции высчитывается диаметр частицы.

После этого строится график плотности распределения. Для вывода графика распределений используется модуль ZedGraph — компонент для рисования графиков под.NET Framework. Преимуществом данного модуля является возможность изменения масштаба графика одной кнопкой. Так же, в ZedGraph можно строить различные графики на одной панели (в данном случае нам необходимы гистограмма и кривая). Гистограмма показывает плотность созданных частиц, согласно указанному закону, а кривая — теоретически определенная плотность распределения.

Для построения гистограммы использовался следующий алгоритм:

1. Пользователь задает число М — число отрезков для построения гистограммы;

2. Рассчитывается шаг a, a1 для построения диаграммы;

3. Диаметр частицы, полученный методом Монте-Карло делится на шаг a, a1;

4. От полученного значения берется целая часть встроенным методом Math. Truncate (x). Составляем массив, смотрим, в какую ячейку попала частица, и увеличиваем счетчик на единицу в этой ячейке;

5. Шаги 4−5 повторяются N раз;

6. По полученным данным строится гистограмма.

2.3 Вторая вкладка

Вторая вкладка «Распределение частиц» см. рисунок 3.

В качестве начальных условий здесь указываются:

После ввода всех условий, необходимо нажать кнопку «Создать частицы», тогда программа создаст случайным образом частицы, которые будут отражены в элементе panel.

Частицы на панели отрисовываются с помощью встроенного метода DrawEllipse, принадлежащего библиотеке System.Drawing.Graphics. Диаметр частиц и их положение определяются с помощью генератора случайных чисел.

Рисунок 6. Создание частиц При нажатии на кнопку «Разместить» с помощью метода вязкой суспензии частицы распределяются и занимают все доступное пространство.

Рисунок 7. Размещение частиц В качестве результатов исследования выводятся количество созданных частиц и число тактов, за которое частицы были распределены в пространстве.

Целью исследования является, анализ скорости заполнения пространства частицами при различных значениях плотности «ц» и коэффициента «а» для усечено нормального распределения.

Для этого были проведены исследования в диапазоне параметров;

При больших значениях ц и малых значениях, а количество тактов очень большое. Для плотности ц = 0,8 число тактов очень велико даже при, а близком к 1.

Я получила такие данные:

Таблица 1. Анализ скорости заполнения пространства частицами

Исходя из этих данных, были построены следующие зависимости:

При = 0,5

Рисунок 8. Зависимость скорость от «фи = 0,5»

При = 0,6

Рисунок 9. Зависимость скорости от «ф=0,6»

При =0,7

Рисунок 10. Зависимость скорости от «фи=0,7»

Выводы В ходе контрольной работы был исследован метод вязкой суспензии для моделирования структуры дисперсных систем. Также был изучен метод Монте-Карло для моделирования частиц, используя различные распределения:

· Усеченной нормальное распределение;

· Гамма распределение;

· Экспоненциальное распределение;

· Логнормальное распределение.

Была создана компьютерная программа, реализующая следующие функции:

· Моделирование частиц в соответствии с заданными распределениями методом Монте-Карло.

· Моделирование размещения частиц в области с заданными размерами с помощью метода вязкой суспензии в соответствии с заданными распределениями методом Монте-Карло.

В ходе разработки программы были изучены и освоены некоторые функции языка C# и среды разработки Microsoft Visual Studio 2013:

Ш Компонент ZedGraph для построения графиков функций;

Было проведено исследование скорости размещения частиц в пространстве, в зависимости от плотности распределения, и значений параметров. Полученные результаты показали, что с возрастанием плотности «ц» и уменьшением параметра скорости «a» скорость размещения частиц в пространстве уменьшается. Для уменьшения времени расчетов при заданной плотности, параметр a должен быть равен 1.

1. Рашковский С. А. Курс лекций по предмету «Математическое моделирование сложных молекулярных структур». 2014 г.

2. Википедия — свободная энциклопедия

3. Шпаргалка по ZedGraph.