Дифференциальные уравнения равновесия прямого бруса

Рассмотрим прямой брус, нагруженный положительными погонными нагрузками, погонными моментами, некоторым набором сосредоточенных сил и сосредоточенными изгибающими и скручивающими моментами, т. е. брус произвольно нагружен.

Все эти нагрузки считаем приложенными к оси бруса. На участке бруса без сосредоточенных сил и моментов выделим поперечными сечениями а-а и в-в участок малой длины. Этот участок нагружен положительными, , а по торцам положительными внутренними силовыми факторами (рис. 1.10). В сечении а-а (торец правой отсеченной части, его площадка отрицательна) действуют, ,. Они направлены противоположно, чем положительные внутренние силовые факторы на торце левой отсеченной части, показанные на рис. 1.8. В сечении в-в ((торец левой отсеченной части) действуют ранее установленные положительные внутренние силовые факторы с приращениями на участке (рис. 1.10). Точки и в сечении бруса условно смещены влево и вправо (чтобы рис. 1.10 не перегрузился обозначениями силовых факторов).

Под действием всех указанных силовых факторов (внешних и внутренних) рассматриваемый элемент бруса, как вырезанный из целого бруса, должен находится в равновесии. Составим шесть уравнений равновесия (погонные нагрузки умножаем на):

1).

Отсюда.

• 2) Отсюда
• 3) Отсюда

Моментные уравнения равновесия запишем относительно осей, проходящих через т. сечения в-в.

4).

Отсюда Здесь, ввиду малости, последнее слагаемое отброшено как величина значительно меньше, чем другие слагаемые.

5).

Отсюда.

6) .

Отсюда.

Итак, получим шесть зависимостей:

Эти зависимости играют важную роль при изучении «Сопротивления материалов». Их можно использовать для проверки правильности определения внутренних силовых факторов в сечении брусьев.