Равновесие системы сил. 
Понятие траектории

Задача № 1. Равновесие плоской системы сил

Жесткая рама закреплена в точке, А шарнирно, а в точке В прикреплена к шарнирной опоре на катках; стержень прикреплен к раме и к неподвижной опоре шарнирами.

На раму действуют пара сил с моментом М = 100 Н· м и две силы.

Требуется определить реакции связей в точках, А и В, вызываемые заданными нагрузками. При окончательных подсчетах принять м.

Дано:

М = 100 Н· м; F₁=10 H; F₂=40 H

б = 30°; в = 60°; м

Аналитическое решение:

Из условия, что тело находится в равновесии, следует следующая система уравнений:

Для данной задачи исходя из системы составим соответствующие уравнения:

Из (1) найдем:

Из (3) найдем:

Из (2) подставив, найдем:

Знак «-» указывает на противоположное направление силы, чем было выбрано, т. е. силы будут направлены так:

Ответ:

Проверка:

Составим момент сил относительно точки В:

Задача № 2. Равновесие пространственной системы сил

Однородная прямоугольная плита весом Р = 5 кН со сторонами АВ = 3l, ВС = 2 l закреплена В точке, А сферическим шарниром, а в точке В цилиндрическим шарниром (подшипником) и удерживается в равновесии невесомым стержнем СС'. На плиту действует пара сил с моментом М = 6 кН· м, лежащая в плоскости плиты, и две силы: лежащая в плоскости, параллельной плоскости xz и сила — в плоскости, параллельной плоскости yz. Точки приложения сил (E, D) находятся в серединах сторон плиты.

Требуется определить реакции связей в точках А, В, С.

При окончательных подсчетах принять l = 0,8 м.

Дано:

Р = 5 кН; М = 6 кН· м; F₂=6 кH; F₃=8 кH

F2 + Oz; б = 30°; АВ=; ВC=; м

Аналитическое решение:

Из условия, что тело находится в равновесии, следует следующая система уравнений:

Для данной задачи получим следующую систему уравнений:

Ответ:

Знак «-» указывает на противоположное направление силы, чем было выбрано.

Задача № 3. Кинематика точки

Точка В движется в плоскости xy. Закон движения точки задан уравнениями: где x и y выражены в сантиметрах, а t — в секундах.

Найти уравнение траектории точки; для момента времени t=1 c определить скорость и ускорение точки, а также касательное и нормальное ускорение и радиус кривизны в соответствующей точке траектории. Вычертить в масштабе траекторию точки, показать ее начальное положение и положение в заданный момент времени, показать на рисунке полные скорость и ускорение точки, их проекции на координатные оси, касательное и нормальное ускорение точки.

равновесие траектория скорость кривизна

Дано:

Аналитическое решение:

Так как уравнения заданы в параметрической форме, тогда для перевода этих уравнений к каноническому виду воспользуемся тригонометрическим тождеством о двойном угле :

Значит Отсюда, приравняв левые части уравнений, получим следующий вид канонического уравнения движения материальной точки:

— уравнение параболы В момент времени материальная точка имела положение, а в момент времени — в положении

Определим скорость движения материальной точки через проекции на координатные оси:

Результирующая же скорость будет равна

Тогда в момент времени, получим следующие величины проекций и результирующей скорости:

Аналогично скорости определим ускорение материальной точки:

Результирующая же скорость будет равна Тогда в момент времени, получим следующие величины проекций и результирующего ускорения:

Для определения касательного ускорения продифференцируем следующее равенство:

Отсюда следует, что, тогда в момент времени

Так как, то нормальное ускорение найдем по следующей формуле:

Радиус кривизны определим учитываю, что