Анализ характеристик обнаружения многомерных сигналов на основе обобщенного отношения максимального правдоподобия в случае коротких выборок

Актуальность темы

.

Обнаружение полезных сигналов на фоне шума и помех является одной из основных проблем обработки сигналов во многих информационных системах. Задача обнаружения обычно решается на первой стадией приема сигналов в радиолокационных, гидроакустических и радиосвязных системах ([1] - [10]). В простой (двухальтернатив-ной) постановке задача обнаружения сводится к принятию решения о наличии или отсутствии полезного сигнала в наблюдённой реализации входного процесса.

Если статистические характеристики полезного сигнала и действующих шумов и помех априорно (до проведения измерений) известны, то решение задачи оптимального обнаружения в соответствии с наиболее распространенными критериями оптимальности (идеального наблюдателя, Неймана-Пирсона, максимума правдоподобия и др.) сводится к нахождению отношения правдоподобия и сравнению его величины для наблюдённой реализации с некоторым пороговым значением ([1], [4] - [6]). Однако подобный классический подход к обнаружению не удается осуществить при рассмотрении большинства практически интересных задач обработки сигналов. Основной причиной невозможности прямого применения метода отношения правдоподобия является недостаточное количество имеющейся априорной информации о полезном сигнале и действующих шумах. Существует несколько подходов к преодолению указанной трудности. Среди них мы выделим два основных метода.

1.Метод усредненного отношения правдоподобия. В этом методе, рассмотренном подробно в работах В.PI. Тихонова ([2] - [3]), для решения задачи обнаружения используется отношение правдоподобия, дополнительно усредненное по априорному распределению неизвестных параметров. В качестве приближенных априорных плотностей вероятности неизвестных параметров в этом случае часто используются равномерные распределения в ожидаемом интервале изменения параметров или другие достаточно «широкие» плотности вероятности. В радиотехнике этот метод применяется по отношению к таким параметрам, как амплитуда и время появления радиоимпульса, а также другим параметрам, которые на этапе обнаружения рассматриваются как неинформативные. Например, неинформативными параметрами на этом этапе обнаружения, характеризующими цель, могут являться размер, форма, отражающая поверхность, а характеризующими характер ее движения — скорость, дальность, ускорение.

Следует однако отметить, что применение метода усредненного отношения правдоподобия, во-первых, требует априорного знания функций распределения неизвестных параметров полезного сигнала (или шума) и, во-вторых, фактически приводит к оптимальному решению «в среднем» для всех возможных реализаций полезного сигнала.

При таком подходе вид априорной плотности вероятности неизвестных параметров оказывает влияние на характеристики обнаружения. Поэтому в процессе работы обнаружителя априорная плотность вероятности неизвестных параметров, используемая для обнаружения, может «подстраиваться» с ростом статистических данных о принимаемых сигналах и шумах. При разумном задании априорной плотности вероятности, обеспечивающей устойчивую работу устройства, окончательные результаты в стационарном режиме работы не будут зависеть от начального вида выбранной априорной плотности вероятности неизвестных параметров сигнала.

2. Метод обобщенного отношения правдоподобия. При использовании этого метода по имеющимся наблюдениям предварительно отыскиваются максимально правдоподобные оценки всех или части неизвестных параметров сигналов и шумов и эти оценки подставляются в отношение правдоподобия в качестве «истинных» значений неизвестных параметров ([2], [6]). После этого задача сводится к классической задаче обнаружения или различения детерминированных сигналов, в которых вместо истинных значений сопутствующих параметров фигурируют их оценки. Этот метод наиболее эффективен в том случае, когда по принятой реализации можно получить достаточно хорошую оценку неизвестного параметра (то есть в случае большого отношения сигнал/шум или большого объема выборки). Решающие статистики, получаемые на основе обобщенного отношения правдоподобия, мы будем для краткости называть GLR (Generalized Likelihood Ratio) статистиками.

Можно строго доказать, что при большом отношении сигнал/шум и/или при большом объеме выборки (в случае длинных реализаций наблюдаемого процесса) метод обобщенного отношения правдоподобия является асимптотически оптимальным. В настоящее время достаточно хорошо разработаны асимптотические аналитические методы вычисления пороговых значений GLR статистик. Для коротких выборок и малых отношений сигнал/шум аналитические методы нахождения пороговых значений GLR статистик отсутствуют и сам вопрос об эффективности метода обобщенного отношения правдоподобия остается открытым.

В современных системах гидроакустики, локации, мобильных системах связи необходимо обнаружить наличие полезного сигнала в очень сложной помеховой обстановке в случайном канале связи за минимально возможное время (буквально за несколько или несколько десятков выборочных значений). Поэтому для повышения эффективности обнаружения и улучшения дальнейшей обработки сигналов в современных системах связи, радиои гидролокации все более широко используются многоэлементные антенные решетки.

Дополнительная пространственная обработка сигналов позволяет существенно увеличить помехоустойчивость таких систем и, в принципе, позволяет уменьшить время, отводимое на обнаружение сигнала. Таким образом, возникает задача разработки алгоритмов обнаружения сигналов в многоэлементных антенных решетках по коротким выборкам. Этой задаче и посвящена данная диссертация.

В диссертации рассматривается задача обнаружения пространственных сигналов без учета временных характеристик сигналов и помех. Представление наблюдаемого сигнала в виде реализации случайного процесса априори неизвестной формы хорошо моделирует широкий круг задач в радиоастрономии, гидроакустике, дистанционном зондировании и исследовании природных ресурсов, а также многие задачи радио-, гидролокации и связи. Хорошо известно решение задачи обнаружения случайных сигналов многоэлементными антенными решетками при известной форме волнового фронта сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Это классическая задача пассивной локации излучающих объектов в свободной пространстве, которая решается с помощью отношения правдоподобия и хорошо изучена. Однако в реальных системах пассивной гидролокации и связи волновой фронт и пространственные характеристики сигналов априорно неизвестны. Поэтому задача обнаружения случайных сигналов с неизвестными пространственными характеристиками является актуальной.

В настоящей работе сигналы и помехи моделируются в виде векторных комплексных случайных процессов с учетом их пространственных характеристик, но с некоррелированными временными отсчетами. В такой постановке задача обнаружения представляет интерес для пассивных гидроакустических и радиотехнических систем, в которых принимаемый сигнал, как правило, является шумовым или квазишумовым, систем мобильной связи и беспроводной передачи данных, в которых канал распространения сигналов является случайным и настолько сложен, (частотнои пространственно-селективен), что на первоначальном этапе о временной структуре полезного сигнала известно очень мало из-за вносимых каналом связи искажений,.

В диссертации все исследуемые решающие статистики получены на основе обобщенного отношения правдоподобия для выборок произвольного объема. В общем случае (для выборки любого объема) GLR-статистики имеют сложные функции распределения. Это не позволяет аналитически найти пороговые значения тест-статистики для заданного постоянного уровня ложной тревоги Pfa (в соответствии с критерием Неймана-Пирсона). Поэтому для вычисления пороговых значений тест-статистик, как правило, используются асимптотические методы, справедливые только для выборок большого объема. В случае коротких выборок такие методы становятся неприменимыми.

Таким образом, исходя из вышенаписанного, можно сформулировать следующие цели работы:

Цель работы.

1. Получить на основе обобщенного отношения правдоподобия точные выражения GLR-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов с различными характеристиками на фоне однородных и неоднородных шумов.

2. Исследовать статистические характеристики решающих статистик в случае произвольного объема выборок. Разработать методику нахождения пороговых значений тест-статистик, при заданных вероятностях ложной тревоги.

3. Провести сравнительный анализ помехоустойчивости различных GLR-статистик в случае коротких выборок.

Методы исследований.

При решении поставленных задач использовались общие методы статистической радиофизики [1] - [50], теории вероятностей и математической статистики [51] - [101], а также методы теории случайных матриц [102] - [104] и теории ортогональных полиномов [105] ш].

Научная новизна работы.

1.Получены выражения для решающих (GLR) статистик в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума при различных объемах априорной информации о сигнале и шумах.

2.Найдены точные аналитические выражения для моментов решающих статистик, полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия для произвольного объема выборки.

3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения решающих статистик, получаемых на основе обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок.

3. На основе предложенного метода разработан алгоритм для вычисления пороговых значений GLR статистик и решена задача обнаружения для многомерных сигналов с априорно неизвестной пространственной когерентностью.

4. Точность и эффективность предложенных методов и алгоритмов проверена путем численного моделирования.

Практическая ценность.

Полученные в диссертации теоретические и экспериментальные результаты представляют интерес для ряда научно-исследовательских учреждений, занимающихся разработкой радиои гидроакустических адаптивых антенных решеток, а также в организациях, связанных с практическим использованием и разработкой подобных систем, таких, как институт прикладной физики РАН (ИПФРАН, г. Нижний Новгород), Нижегородский институт радиотехники (НИ-ИРТ, г. Нижний Новгород), научно-производственное объединение.

Полёт" (НПО «Полёт», г. Нижний Новгород). Результаты могут быть использованы при проектировании и исследовании эффективных систем обработки многомерных сигналов в радиолокации и гидроакустике. Кроме того, отдельные результаы работы использованы в учебной работе со студентами, специализирующимися в области статистической радиофизики.

Структура и объем работы.

Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем работы составляет 101 страницу, включая 38 рисунков.

Основные результаты диссертационной работы и следующие из них практические выводы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Получены на основе обобщенного отношения правдоподобия выражения GLR-статистик для решения задачи обнаружения многомерных пространственных сигналов с различными характеристиками на фоне однородных и неоднородных шумов.

2. Найдены точные аналитические выражения для моментов GLR статистик, полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия в задаче обнаружения полезного сигнала на фоне шума для произвольного объема выборки. Выражения получены для комплексных гауссовских сигналов с использованием распределения Уишарта путем прямого интегрирования. Эти выражения были проверены путем численного нахождения моментов. Результаты моделирования подтвердили теоретические выражения.

3. Предложен эффективный метод аппроксимации функции распределения тест-статистик обобщенного отношения правдоподобия в случае коротких выборок. Для нахождения вероятностных распределений решающих GLR статистик использовались полученные аналитические выражения для моментов этих статистик. Плотности вероятности статистик представлялись в виде ряда по ортогональным полиномам с весовой функцией, при которой этот ряд сходится наиболее быстро. Неизвестные параметры весовой функции находились из условия равенства первых двух моментов аппроксимируемой и аппроксимирующей функций. Весовая функция с нужными коэффициентами являлась нулевым приближением разлагаемой в ряд плотности вероятности. Дальнейшие члены ряда находились в соответствии с теорией ортогональных многочленов. Численное моделирование подтвердило хорошую аппроксимацию функций распределения (позволяющую оценивать пороги с точностью до 1.

3. На основе предложенного метода аппроксимации плотностей вероятности решающих статистик разработан алгоритм для вычисления пороговых значений тест-статистик и решена задача обнаружения многомерных сигналов с априорно неизвестной пространственной когерентностью.

4. Точность и эффективность предложенных метода и алгоритма проверена путем численного моделирования. Моделировалась 5-элементная линейная эквидистантная антенная решетка с расстоянием между соседними элементами, равным половине длины волны. Экспериментально полученные функции распределения сравнивались с теоретически рассчитанными по предложенному методу аппроксимации с помощью смещенных ортогональных полиномов Якоби для различных порядков приближения (разного количества слагаемых в аппроксимирующем ряде).Сравнение показало, что достаточно уже четырех слагаемых в аппроксимирующем ряде для плотности вероятности, чтобы получить совпадение теории с экспериментом с точностью в среднем до 1 процента.

5.Проведено сравнение эффективности использования различных решающих статистик (алгоритмов обработки), полученных на основе обобщенного отношения правдоподобия, для обнаружения пространственных сигналов. Рассмтаривалось несколько различных моделей сигналов с различной степенью когерентности, в том числе шумовой и плоская когерентная волна, а также несколько моделей шумов с разной степенью неоднородности по элементам антенной решетки. Выявлены наиболее эффективные и робастные (нечувствительные к неоднородности) в каждом случае статистики. Все результаты справедливы в том числе и для коротких выборок.

6. Проведенное сравнение позволяет дать рекомендации по выбору алгоритма обработки сигнала для обнаружения полностью или частично-когерентных сигналов на фоне шумов в различных случаях наличия априорной информации.

5 Заключение.