Уравнения Максвелла для вакуума

Уравнения, описывающие электромагнитные явления, были сформулированы в середине девятнадцатого века и явились результатом исследований Фарадея, Гаусса, Максвелла и других ученых, но в окончательной форме были сформулированы Максвеллом и получили его имя. Уравнения Максвелла устанавливают связь между векторами электрического и магнитного полей, токами и зарядами и параметрами среды, в которой они находятся. Они записываются в двух формах — интегральной и дифференциальной.

Интегральная форма связывает потоки векторов и через замкнутую макроскопическую поверхность с зарядами, расположенными в объеме, охваченном этой поверхностью и циркуляцию этих векторов по замкнутому контуру с токами, пронизывающими поверхность, охваченную контуром, по которому рассчитывается циркуляция.

Дифференциальная форма записывается для тех же величин, но при стремлении к нулю объема или поверхности. Уравнений Максвелла всего четыре и каждое из них имеет свое имя. Рассмотрим последовательно эти уравнения.

Первое уравнение Максвелла. Закон Гаусса.

Этот закон указывает на одну из причин возникновения электрического поля — электрический заряд и связывает величину заряда и величину поля. Рассмотрим объем V, охваченный поверхностью, площадь которой S. В этом объеме есть электрический заряд qэ, который создает электрическое поле. Согласно закону Гаусса они связаны следующим соотношением:

. (1.16).

Закон Гаусса нетрудно получить из определения для электрического поля как силы действующей на единичный заряд. Действительно, воспользуемся выражением (1.2).

=.

и посчитаем поток вектора через сферу радиусом r. Из (1.16) и (1.2) получим:

=.

Опуская промежуточные вычисления и записывая только исходное выражение и результат, получим закон Гаусса в интегральной форме.

. (1.17).

Теперь запишем это равенство в дифференциальной форме. Для этого перейдем от заряда qЭ в (1.17) к его плотности, воспользовавшись выражением (1.10).

= (1.18).

Полученное равенство можно упростить, если слева интегрирование по поверхности заменить интегрированием по объему, охваченному этой поверхностью. Для этого воспользуемся теоремой Остроградского — Гаусса, согласно которой интеграл от потока вектора через замкнутую поверхность равен интегралу от дивергенции этого вектора по объему, охваченному этой поверхностью.

.

Тогда равенство (1.18) перепишется в виде:

.

Ввиду полной произвольности в выборе объема V, это равенство возможно только в том случае, если равны подынтегральные выражения.

. (1.19).

электрический магнитный поле вакуум Это и есть дифференциальная форма закона Гаусса — первого из рассмотренных нами уравнений Максвелла. В соответствии с определением дивергенции равенство (1.19) означает, что источник электрического поля — электрические заряды. Электрические силовые линии начинаются и кончаются на зарядах. Если в объеме нет зарядов, то нет истоков и стоков для электрических силовых линий.

Второе уравнение Максвелла. Уравнение непрерывности магнитных линий.

Это уравнение аналогично предыдущему, но описывает не электрические, а магнитные явления. Оно связывает магнитное поле и магнитный заряд. Снова рассмотрим объем V, охваченный поверхностью, площадь которой S. В этом объеме есть магнитный заряд qм, который создает магнитное поле. Согласно закону непрерывности магнитных силовых линий они связаны следующим соотношением:

. (1.20).

Известно, что в природе отсутствуют магнитные заряды и в правой части равенства должен стоять ноль. Однако в технических приложениях иногда их приходится искусственно вводить. Например, если в задаче рассматривается поле, создаваемое постоянным магнитом и в интересующий нас объем входит только северный полюс магнита, он и будет играть роль магнитного заряда, создающего магнитное поле.

Если введены магнитные заряды, то можно ввести и их плотность. Тогда последнее равенство можно переписать в дифференциальной форме. Введем плотность магнитных зарядов равенством, аналогичным (1.10).

(1.21).

Объединяя (1.20), (1.21), пользуясь теоремой ОстроградскогоГаусса и рассуждая так же, как в предыдущем разделе, получим:

;

. (1.22).

Источник магнитных силовых линий — магнитные заряды. В природе магнитных зарядов нет и, как правило, магнитные силовые линии непрерывны. Поэтому второе уравнение Максвелла называют уравнением непрерывности магнитных силовых линий.

Допуская существование магнитных зарядов, следует признать и существование магнитных токов, которые можно ввести точно так же, как вводились электрические токи:

. (1.23).

Для магнитного заряда, как и для электрического, справедлив закон сохранения. С течением времени магнитный заряд может изменяться, но, в соответствии с законом сохранения, это изменение должно происходить только за счет пересечения зарядами поверхности, ограничивающей объем. Процесс движения заряда через поверхность и есть ток через нее. Выразим в (1.23) магнитный ток через его плотность:

. (1.24).

Получена интегральная форма второго уравнения непрерывности. Чтобы перейти к дифференциальной форме, воспользуемся теоремой Остроградского-Гаусса и заменим интеграл по поверхности от плотности магнитного тока на интеграл по объему от div j? m. Как и ранее, учтем произвольность объема V. Тогда.

;

. (1.25).

Получена дифференциальная форма второго уравнения непрерывности, которая утверждает, что изменение магнитного заряда во времени в выбранной точке пространства приводит к возникновению магнитного тока в этой точке.

Третье уравнение Максвелла — закон полного тока.

При обсуждении уравнения непрерывности магнитных силовых линий указывалось, что в природе магнитных зарядов не существует, и не они порождают магнитное поле. Обычно магнитное поле возникает вокруг проводника с электрическим током. Это явление количественно описывает закон полного тока. Согласно этому закону циркуляция напряженности магнитного поля по замкнутому контуру равна суммарному току, пронизывающему площадь, охваченную этим контуром.

. (1.26).

Выражение в левой части уравнения носит название магнитно-движущей силы.

Закон полного тока следует из определения магнитной индукции. Покажем это. Рассмотрим магнитное поле бесконечно длинного проводника.

и попытаемся получить из него закон полного тока. Пусть контур L — окружность радиусом r, плоскость которой перпендикулярна проводнику с током. Запишем циркуляцию вектора по этой окружности.

.

Закон полного тока записан не для магнитной индукции, а для напряженности магнитного поля. Перейдем в последнем равенстве от магнитной индукции к напряженности магнитного поля.

=; ,.

что полностью совпадает с (1.26).

Получим дифференциальную форму закона. Для этого выразим электрический ток через его плотность.

.

Используем теорему Стокса для того, чтобы преобразовать циркуляцию напряженности магнитного поля по контуру L интегралом от ротора напряженности магнитного поля по площади, ограниченной этим контуром.

Из-за полной произвольности кривой L это равенство возможно лишь тогда, когда равны подынтегральные выражения, то есть:

rot =. (1.27).

Это и есть дифференциальная форма закона полного тока. В обе формулировки закона входит полный ток IЭ или его плотность. Рассмотрим, из каких составляющих состоит полный ток. В вакууме нет носителей заряда, и ток проводимости отсутствует. Магнитное поле может возбудить ток, проходящий за пределами рассматриваемого объема. Такой ток называют сторонним. Однако существует еще один вид тока, который называют током смещения и который существует в вакууме. С этим током мы сталкиваемся тогда, когда рассматриваем электрическую цепь переменного тока, содержащую конденсатор (рис. 1.2). В этой цепи протекает реактивный ток, который можно рассчитать, разделив напряжение источника на сопротивление емкости переменному току. Выясним природу этого тока. Между пластинами конденсатора вакуум, и ток проводимости не может проходить. Оказывается, что изменение электрического поля между пластинами, вызванное изменением заряда на пластинах, можно интерпретировать как ток. Покажем это. Выделим замкнутую поверхность S, охватывающую объем V, который содержит одну пластину конденсатора, а другая пластина находится за пределами объема. qЭ (t) — заряд на этой пластине. Электрические заряды, перемещаясь по проводнику, подходят к пластине конденсатора и накапливаются на ней, изменяя электрическое поле между пластинами. Этот процесс описывается первым уравнением Максвелла — законом Гаусса (см. 1.16), который с учетом знака заряда электрона запишется так:

.

Если продифференцировать это выражение по времени, то справа окажется производная от заряда, а в соответствии с первым уравнением непрерывности (см. 1.15) она вызовет электрический ток. Следовательно, выражение, которое появится в левой части равенства, будет описывать искомый ток. Продифференцируем по времени последнее выражение:

== .

Приравнивая подынтегральные выражения для самой левой и самой правой частей равенства, получим:

. (1.28).

Итак, кроме стороннего тока, протекающего за пределами рассматриваемого объема, в вакууме существует ток смещения, величина которого зависит от скорости изменения электрического поля во времени. Распишем компоненты полного тока в законе полного тока. Тогда для интегральной формы вместо (1.26) получим.

(1.29).

а для дифференциальной формы вместо (1.27):

rot = +. (1.30).

Четвертое уравнение Максвелла. Закон электромагнитной индукции.

Еще из школьного курса физики мы знаем, что при перемещении замкнутого контура в переменном магнитном поле в нем возникает ток. Это явление впервые наблюдал Фарадей в 1831 году и назвал его электромагнитной индукцией. Сформулируем этот закон более строго. Пусть в некоторой области пространства существует переменное магнитное поле и замкнутый контур длиной L, ограничивающий поверхность S. Тогда циркуляция электрического поля по контуру L равна по модулю производной по времени от магнитной индукции, пронизывающей этот контур.

. (1.31).

Выражение в левой части уравнения (1.31) носит название электродвижущей силы. Сравним выражения (1.29) и (1.31). Первое записано для циркуляции магнитного поля, а второе для циркуляции электрического поля. Однако правые части уравнений отличаются числом слагаемых. В выражении (1.29) учтены сторонний электрический ток и ток смещения, а в (1.31) только магнитный ток смещения. Анализируя закон непрерывности магнитных силовых линий, мы ввели магнитный ток. Вероятно, его необходимо учесть в правой части выражения (1.31). Тогда закон электромагнитной индукции в интегральной форме запишется так:

.

От интегральной перейдем к дифференциальной форме закона. Для этого преобразуем левую часть равенства, воспользовавшись теоремой Стокса. Циркуляция электрического поля по замкнутому контуру заменится интегралом по ограниченной контуром поверхности от ротора электрического поля. Выразим магнитный ток через его плотность. Тогда последнее равенство перепишется в виде:

.

Воспользовавшись произвольностью объема, приравняем подынтегральные выражения.

. (1.31).

Это дифференциальная форма закона электромагнитной индукции.