Вычислительная математика. 
Моделирование математического анализа принятия решений

Вычислительная математика — раздел математики, включающий круг вопросов, связанных с использованием ПК. С помощью этого раздела можно создавать модели по принятию решений в различных ситуациях.

Содержание термина «вычислительная математика» нельзя считать установившимся. Первоначально вычислительная математика понималась как прикладная математика. Термин «вычислительная математика» применяется и тогда, когда имеют в виду теорию численных методов и алгоритмов решения типовых математических задач.

В рамках современной терминологии вычислительная математика — часть информатики, относящаяся к методологии применения ПК для решения задач науки, техники, производства и практически всех областей человеческой деятельности. Естественно, что многообразие задач вычислительной математики существенно зависит от возможностей типов ЭВМ с соответствующей периферией1.

Современная вычислительная математика занимается изучением математических моделей окружающей нас действительности как сточки зрения исследования различных объектов и явлений, так и с точки зрения развития методов управления ими.

Математические модели могут включать помимо естественнонаучных объектов ещё технические, экономические, социальные и другие явления и объекты, записанные на математическом языке, т. е. в математических терминах. Под математическим языком и математической терминологией подразумевается символическая, формальная запись причинно-следственных отношений между абстрактными объектами и понятиями, также выраженных символами. Тем самым математический язык и его терминология служат для построения схем взаимоотношений реальных объектов и явлений, то есть для построения их математических моделей. Следует отметить, что математическая терминология имеет при этом принципиальное значение, так как с помощью математических методов мы можем изучать следствия, причинно обусловленные принятыми моделями.

Этапы изучения математических моделей2:

• v Создание качественной модели изучаемого объекта или явления;
• v Создание математической модели;
• v Изучение математической задачи
• v Разработка алгоритма для решения задачи на ПК;
• v Создание программы и ее реализация;
• v Вывод и накопление результатов;
• v Управление объектом на основе полученных знаний;

На всех этапах происходит уточнение математической модели.

Математическое моделирование охватывает широкий круг задач научно-технического прогресса. Оно принципиально отличается от натурного моделирования, основанного на изучении физического подобия. При создании новой технической конструкции, ставящей своей целью повышение производительности труда, формулируется техническое задание, которому должна удовлетворять эта новая конструкция. Генеральный конструктор, естественно, может опираться только на тот опыт, которым он обладает. Однако если результатом его работы должна быть установка, повышающая производительность труда в 5−10 раз, то опыт физического подобия здесь, как правило, неправомерен. Создание новых установок или конструкций требует очень много времени и материальных средств, и если в результате проведённой работы оказывается, что установка не удовлетворяет предъявляемым к ней по проекту требованиям, ради которых она создаётся, то это приводит к торможению научно-технического прогресса.

Перед тем, как реализовать проектируемую установку, надо разработать математическую модель этого проекта и с помощью математического моделирования посмотреть, как установка будет работать. Метод математического моделирования на ПК заключается в разработке математической модели установки, выборе эффективного метода и алгоритма решения задачи и просчёте на ПК тех процессов или явлений, которые происходят в проектируемой установке. Это, конечно, не просто, но гораздо быстрее и дешевле, чем натурное моделирование. Более того, решая различные варианты задачи на ПК, можно легко оценить, какое влияние имеют те или иные параметры, которые заложены в конструкцию установки, как их надо выбирать, чтобы конструкция давала максимальную отдачу.

Таким образом, математическое моделирование позволяет выяснить не только работоспособность установки, но и определить оптимальную технологическую конструкцию, режим работы, и это всё для получения наибольшего эффекта отдачи.

Среди встречающихся в практике задач можно заметить три типа математических моделей:

• v Прямая задача, когда по заданным локальным физическим законам, действующим внутри системы, надо ответить на вопрос: как будет действовать эта система;
• v Обратная задача — диагностика, которая заключается в том, что требуется определить модель процесса, недоступного для прямого изучения;
• v Проектирование управляющих систем с заранее поставленными целями. Сюда относятся автоматизированные системы управления (АСУ) и автоматизированные информационные системы. Различают АСУ — производство, АСУ — промышленность, АСУ — министерство и т. д.

Для того чтобы можно было пользоваться различными алгоритмами, не требуя от постановщика задачи специальных знаний, широко развиваются прикладные программы.

Применение ПК непрерывно расширяет круг пользователей, и поэтому возникает тенденция такой степени автоматизации, при которой становится менее существенным знакомство пользователей с численными методами.

Наряду с созданием универсальных алгоритмических языков был разработан ряд проблемно-ориентированных языков для определенного круга пользователей, например, связанных с задачами обработки экономической информации или язык для решения задач с символьными преобразованиями.

Создание таких языков вызвано тем, что универсальные языки и трансляторы, предназначенные для решения широкого класса задач, что снижает эффективность использования всех возможностей машины и создает весьма значительные неудобства.

Современное применение ПК требует организации работы комплексов, включающих большое число различных типов машин, внешние напоминающие устройства, каналы связи между машинами и терминалами пользователей, а зачастую и физические установки.

Такие высокопроизводительные системы создаются, например, для решения и обработки результатов физических экспериментов, требующих ввода обработки большого количества информации.

ПК называют универсальными вычислительными машинами потому, что введённые программы полностью их перестраивают и на одной ПК можно решить чрезвычайно широкий круг задач.

Следовательно, эффективность использования ПК определяется не только её техническими возможностями, но и её «программным образованием».

Однако «математическое и программное образование» ПК складывается не только из программ, реализующих различные методы pрешения отдельных задач, но и из проблемно-ориентированных вычислительных комплексов1.